选择题.填空题常用解法

选择题、填空题常用解法

■技法概述

选择题、填空题是高考必考的题型，共占80分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是：答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定了选择题及填空题会有一些独到的解法．

方法一 直接法

直接法直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得出结果．直接法是求解填空题的常用方法，在用直接法求解选择题时，可利用选项作出判断，同时应注意，在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，同时还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度．

11

2

2015·四川卷]如果函数

f(x)＝－2)x ＋(n－8)x ＋1(m≥0，n≥0)在区间⎡2⎤上单调递减，

2⎣2⎦

那么mn 的最大值为( )

81

A ．16B ．18C ．25D. 2

[分析]根据二次项系数分情况求出m ，n 满足的不等式，再结合基本不等式求解mn 的最大值． [解析]B ①当m ＝2时，f(x)＝(n－8)x ＋1， 则0≤n

n －8

②当m ＞2时，抛物线的对称轴为x m －2

n －8

根据题意得－≥2，即2m ＋n≤12，

m －22m ＋n

≤6，

2

所以mn≤18(当且仅当m ＝3，n ＝6时取等号) ．

n －81

③当m ＜2时，由题意得－≤2n ＋m ≤18，

m －22

m ＋2n 81

≤9，所以，

22

由2n ＋m ＝18，且2n ＝m ，得m ＝9(舍去) ．

要使得mn 取得最大值，应有2n ＋m ＝18(m＜2，n ＞8) ， 所以mn ＝(18－2n)n ＜(18－2×8)×8＝16. 综上所述，mn 的最大值为18.

3

1．定义在R 上的函数y ＝f(x)满足f(x)＋f ⎛x ＋＝0，且函数y ＝f(x＋1) 的图像关于点(－1，0) 成

⎝22a －3

中心对称，若f(1)≥1，f(2)＝，则a 的取值范围是( )

a ＋1

2

A ．－1

3

22

C ．a

162

2．若m ＝3⎛1(x＋sinx)dx ，则(x＋的展开式中的常数项为________．

⎠－1m x 方法二 等价转化法

等价转化法就是把未知的问题转化为在已知知识范围内可解的问题．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题．在转化的过程中，一定要注意转化前后的等价性，求解选择题时，出现不等价的情形，常常就是选项中出现陷阱的地方；求解填空题时，出现不等价的情形，常常就会出现漏解或多解的情况．

2015·浙江卷]若实数x ，y 满足x ＋y ≤1，则|2x＋y －2|＋|6－x －3y|的最小值是________． [分析]求解目标含有两个绝对值符号，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的问题加以解决．

[答案]3

2

2

⎧2x ＋y －2＝0，3222

[解析]当x ，y 满足x ＋y ≤1时，6－x －3y>0.由⎨2⇒5x －8x ＋3＝0⇒x ＝或x ＝1，直2

5⎩x ＋y ＝1

线2x ＋y －2＝0把单位圆分成如图1所示的两部分．

①当(x，y) 在阴影部分内时，2x ＋y －2≥0，则原式＝2x ＋y －2＋6－x －3y ＝x －2y ＋4，由线性规划可

34

知，经过A 时，原式取得最小值3.

55图1

②当

(x，y) 在另一部分内时，

2x ＋y －2≤0，则原式＝－2x －y ＋2＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋8，由线性

34

规划可知，经过A ⎛，时，原式取得最小值3.

⎝55综上，原式的最小值为3.

3．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得对定义域内的任意一个x ，都有f(x)＝－f(2a－x) ，则称f(x)为“准奇函数”．下列函数中是准奇函数的是________(把所有满足条件的序号都填上) ．

2

x ；②f(x)＝x ；

③f(x)＝tanx ；④f(x)＝cos(x＋1) ．

4．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 在线段AC 上，且AD ＝kAC(k为常数，且

0

方法三 特值法

在解决选择题和填空题时，可以通过取一个(或一些) 特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等) 来确定其结果，这种方法称为特值法．由于特值法只需要对特殊数值、特殊情形进行检验，从而节省了推理论证、烦琐演算的时间，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效．

2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是

________．

[分析]根据ABCD 为平面四边形，在∠A＝∠B＝∠C＝75°的条件下，可由点D 的极端位置确定AB 的取值范围．本题也可以通过作辅助角、辅助线段等进行一般化求解．下面给出极端位置法和一个一般解法，读者可以比较其优劣．

[解析]方法一：平面四边形如图2所示，在BC 长度固定的情况下，点D 有两个极端位置：①点D 与点

14

A 重合，如图3，此时AB ＝＝6；②点D 与点C 重合，如图4，此时AB ＝2×2cos75°

cos75°6－2＝6－2.

显然AB 的长度在上述两个长度之间，即AB 的取值范围是(6－2，6＋2) ．

方法二：如图5所示．延长BA ，CD 交于E ，过C 作CM∥AD，交AB 于M ，则有MB

－43＝(6－2) ，所以MB

2

222

中，设EB ＝x ，由余弦定理知4＝x ＋x －2×x×xcos30°，

得x ＝8＋43＝6＋2) ，2，即EB ＝6＋26－2

5．已知集合A ＝{a1，a 2，a 3，„，a n }，其中a i ∈R (1≤i≤n，n≥2)，f(A)表示a i ＋a j (1≤i

n *

有不同值的个数．若集合A ＝{2，4，8，„，2}，n∈N 且n≥2，则f(A)关于n 的解析式为______________________．

→→2

6．设坐标原点为O ，抛物线y ＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA ·OB ＝________． 方法四 数形结合法

数形结合法是一种将数学问题从“数”与“形”两个方面相互联系的思想方法．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的形状、位置、性质，得出结论．对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题中条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果．

⎧0，0

2015·江苏卷]已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝⎨2则方程|f(x)＋g(x)|＝1的实

⎩|x－4|－2，x>1，

根的个数为________．

[分析]先根据x 的范围确定g(x)，然后再等价地转化为方程f(x)＝－g(x)＋1，f(x)＝－g(x)－1，再构造函数，画出函数图像，两函数图像交点的个数即为所求．

[答案]4

1

[解析]当0

e

22

当x>1时，由|f （x ）＋g （x ）|＝1得|lnx |＝3－|x －4|或|lnx |＝1－|x －4|. 分别在同一个坐标

22

系中作出函数y ＝|lnx |与y ＝3－|x －4|的图像(如图6) 和函数y ＝|lnx |与y ＝1－|x －4|的图像(如图7) ．

2

2

2

2

6

当x>1时，它们分别有1个、2个交点，故x>1时，方程有3个实根． 综上，方程|f （x ）＋g （x ）|＝1共有4个不同的实根．

7

1⎧⎫7．已知平面点集P ＝⎨（x ，y ）|（x －y ）⎛y －≤0⎬，Q ＝{(x4－x }，记P∩Q所表示

⎝x ⎭⎩

的平面区域为M ，若向区域Q 内投一粒黄豆，则黄豆落在区域M 内的概率为( )

1123A. B. D. 3457

8．设函数f(x)的定义域为D ，如果存在正实数k ，使得对任意x∈D，都有x ＋k∈D，且f(x＋k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D 上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－2a ，若f(x)为R 上的“2015型增函数”，则实数a 的取值范围是________．

方法五 构造法

构造法是指在解决某些数学问题时，根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度、用新的观点去观察、分析、理解问题，利用问题的数据、外形、坐标等特征，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题．用构造法求解选择题和填空题时，关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，然后利用数学模型的性质、结论快速解答．

2015·福建卷]若定义在

R 上的函数f(x)满足

f(0)＝－1，

其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )

11A ．f ⎛

⎝k k 11B ．f ⎛>

⎝k k －111

C ．f ⎛⎝k －1

D ．f ⎛⎝k －1>k －1[分析]构造函数，通过已知不等式确定构造的函数的单调性，结合选项作出判断．

[解析]C 构造函数g(x)＝f(x)－kx ，则g′(x)＝f′(x)－k>0，即函数g(x)在R 上单调递增，所以

1k 1

当x>0时，g(x)>g(0)，即当x>0时，f(x)－kx>f(0)－0，即f(x)>kx－1. 因为k>1，所以>0，所以f ⎛>

k ⎝k k

1111

－1＝0，所以f

k k ⎝k ⎭k －1

1⎫k 1⎫111

由于k>1>0，所以f ⎛>1＝f ⎛k －1k －1⎝k －1⎭k －1⎝k －1⎭

3222

9．已知函数f(x)＝x ＋ax －bx ＋c ，若f(x)在区间(－1，0) 上单调递减，则(a＋1) ＋b 的取值范围是( )

A. [5，＋∞) B. (0，5] C ．[5，＋∞)D．(0，5]

n ＋1*

10．已知数列{an }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2＋1，n∈N ，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，则a n ＝________．

方法六 排除法

排除法充分利用单选题中有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的选项逐一排除，从而获得正确结论．使用该方法的前提是答案唯一，即四个选项中有且只有一个答案正确．排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找到明显与之矛盾的选项并予以否定，这样逐步筛选，直至得出正确的答案．

2015·陕西卷]对二次函数f(x)＝ax ＋bx ＋c(a为非零整数) ，四位同学分别给出了下列结论，

其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )

A ．－1是f(x)的零点 B ．1是f(x)的极值点 C ．3是f(x)的极值

D ．点(2，8) 在曲线y ＝f(x)上

[分析]在假设三个选项正确的情况下推断第四个选项是否正确，逐个验证、排除，直到找出正确选项．

b 3

[解析]A 若前三个选项中的结论正确，则a －b ＋c ＝0＝1，a ＋b ＋c ＝3，解得a ＝－，与a 为

2a 4

非零整数矛盾，故错误的结论一定在前三个选项，选项D 中的结论一定正确；若选项A ，B 正确，则有a －

b 8

b ＋c ＝0，－1，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a a 为非零整数矛盾，故错误结论一定在选项A ，B 中，

2a 3

即选项C ，D 的结论正确；若选

2

4ac －b

项A 正确，则a －b ＋c ＝0，＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，整理得a 无实数解，与a 为非零整数矛盾，

4a

故错误的只能是选项A 中的结论．

3π12

x ⎫，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图像是( ) 11．已知函数f(x)＝＋sin ⎛4⎝2⎭

2

8

12．对于定义域为

R 的函数f(x)，若存在非零实数x 0，使函数f(x)在(－∞，x 0) 和(x0，＋∞)上均有零点，则称x 0为函数f(x)的一个“界点”．下列四个函数中，不存在“界点”的函数是( )

2x 2

A ．f(x)＝x ＋bx －1(b∈R ) B ．f(x)＝2－x C ．f(x)＝2－|x－1| D ．f(x)＝sinx －x

第1讲 集合与常用逻辑用语

1．[2015·江苏卷改编]若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为____________．

2

2．[2015·陕西卷改编]若集合M ＝{x|x＝x}，N ＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝________．

3．[2015·天津卷改编]设全集U ＝{n∈N |1≤n≤8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则A∩(∁U B) ＝________．

x

4．[2015·安徽卷改编]“11”的____________________条件．

22

5．[2014·湖南卷改编]已知命题p ：若x>y，则－xy，则x >y. 在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q) ；④(綈p)∨q中，真命题的序号是________．

2

6．[2014·安徽卷改编]命题“∀x ∈R ，|x|＋x ≥0”的否定是______________________． ．．7．[2015·山东卷改编]设m∈R ，命题“若m>0，则方程x ＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是______________________________________________．

2