2013数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一

一、 填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程x 3+x -4=0在区间[1, 2]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

⎧x 30≤x ≤1⎪S (x ) =⎨132

(x -1) +a (x -1) +b (x -1) +c 1≤x ≤3⎪⎩23、已知是三次样条函数，

则

a =( 3 )，b =（3 ），c =（ 1 ）。

4、l 0(x ), l 1(x ), , l n (x ) 是以整数点x 0, x 1, , x n 为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑l

k =0

n

k

(x ) =

( 1 ) ，

∑x l

k =0

n

k j

(x k ) =

( x j ) ，当n ≥2时

∑(x

k =0

n

4k 2+x k +3) l k (x ) =

( x 4+x 2+3 ) 。

⎡10a ⎤

⎥A =⎢01a ⎢⎥22

-, ⎢⎣a a 1⎥⎦，当a ∈（ 22 ）时，必有分解式10、设

A =LL T ，其中L 为下三角阵，当其对角线元素l ii (i =1, 2, 3) 满足

（ l ii >0 ）条件时，这种分解是唯一的。

二 选择题（每题2分）

三、 2、（8分）已知方程组AX =f ，其中

⎡43⎤⎡24⎤

⎥⎢30⎥A =⎢34-1f =⎢⎥⎢⎥

⎢⎢⎣-14⎥⎦，⎣-24⎥⎦

（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。

⎧dy

⎪=-y +1⎨dx

⎩

y (0) =1用改进的欧五、1、（15分）取步长h =0. 1，求解初值问题⎪

拉法求y

(0. 1) 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y (0. 1) 的值。

数值计算方法试题二

一、判断题：（共16分，每小题２分）

１、若A 是n ⨯n 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵

U ，使A =LU 唯一成立。 （ ）

２、当n ≥8时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（ ） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ）

i =13、形如的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代

数精确度的次数为2n +1。 （ ）

⎰a f (x ) dx ≈∑A i f (x i )

b

n

⎛210⎫ ⎪A = 111⎪

012⎪⎝⎭的２－范数A 2＝９。４、矩阵（ ） ⎛2a a 0⎫ ⎪A = 0a 0⎪

00a ⎪⎝⎭，5、设则对任意实数a ≠0，方程组Ax =b 都是病态的。

（用⋅∞） （ ） 6、设A ∈R n ⨯n ，Q ∈R

n ⨯n

T

，且有Q Q =I （单位阵），则有A 2=QA 2。

7、区间[a , b ]上关于权函数W (x ) 的直交多项式是存在的，且唯一。

8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解：

⎛223⎫⎛100⎫⎛223⎫ ⎪ ⎪ ⎪A = 477⎪= 210⎪ 0b 1⎪

-245⎪ -1a 1⎪ 006⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a , b 的值分别为a =2，b =2。

（ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ）

二、填空题：（共20分，每小题2分） ３、区间[a , b ]上的三次样条插值函数S (x ) 在[a , b ]上具有直到_______二___阶的连续导数。

T

4、向量X =(1, -2)

⎛7-2⎫A = -31⎪⎪

⎝⎭，则AX , 矩阵

1

1

=___，

cond (A ) ∞=__________。

5、为使两点的数值求积公式：⎰-1

f (x ) dx ≈f (x 0) +f (x 1)

具有最高的代

数精确度，则其求积基点应为x 1=_

-, 3，x 2=__________。

6、设A ∈R n ⨯n ，A T =A ，则ρ(A ) （谱半径）_=_A 2。（此处填小于、

大于、等于）

⎡1⎢A =⎢2

1⎢⎣47、设

⎤

0⎥1⎥⎥lim A k =2⎦，则k →∞____。

数值计算方法试题三

一、（24分）填空题

(1) (2分) 改变函数f (x ) =x +1-x (x >>1) 的形式，使计算结果较精确

(2) (2分) 若用二分法求方程f (x )=0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10次。

2

⎛x 12+x 2⎫

⎪f (x )= x x ⎪

⎝12⎭，则f ' (x )= (3) (2分) 设

f (x )=

1x +1+x

⎛2x 1

x ⎝2

2x 2⎫

⎪x 1⎪⎭

⎧2x 3, 0≤x ≤1

S (x )=⎨3

2

x +ax +bx +c , 1≤x ≤2是3次样条函数，则 ⎩(4)(3分) 设

(4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 若用复化梯形公式计算⎰0

1

e x dx

，要求误差不超过10-6，

利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。

⎧x 1+1. 6x 2=1

⎨

(6) (6分) 写出求解方程组⎩-0. 4x 1+x 2=2的Gauss-Seidel 迭代公⎛0-1. 6⎫ 0-0. 64⎪⎪⎝⎭ 式

， 此迭代法是否收敛 收敛 。

⎛54⎫

A = ⎪

43⎝⎭, 则A (7) (4分) 设

∞

= 9 ，Cond ∞(A )=91

(8) (2分) 若用Euler 法求解初值问题y ' =-10y , y (0)=1，为保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范围为 h

二. (64分)

(2) (12分) 以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。

(4) (10分) 用复化Simpson 公式计算积分值，要求误差限为0. 5⨯10-5。

9

I =⎰

sin (x )dx

0x 的近似

1

(5) (10分) 用Gauss 列主元消去法解方程组：

⎧x 1+4x 2+2x 3=24⎪

⎨3x 1+x 2+5x 3=34⎪2x +6x +x =27

23 ⎩1

⎛13⎫⎛5⎫

⎪⎛x 1⎫ ⎪ 12⎪ x ⎪⎪= 2⎪ 11⎪⎝2⎭ 1⎪

⎭⎝⎭ 的最小二乘解。 (6) (8分) 求方程组 ⎝

(7) (8分) 已知常微分方程的初值问题：

⎧dy dx =x y , 1≤x ≤1. 2⎨

⎩y (1) =2

. ) 的近似值，取步长h =0. 2。 用改进的Euler 方法计算y (12

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)

(1) (1) (6分) 求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

p (1)=15，p ' (1)=20，p ' ' (1)=30，p (2)=57，p ' (2)=72

三. (12分) (1) 差分表：

p (x )=15+20(x -1)+15(x -1)+7(x -1)+(x -1)(x -2)

2

3

3

=5+4x +3x 2+2x 3+x 4

23

其他方法：设p (x )=15+20(x -1)+15(x -1)+(x -1)(ax +b )

令p (2)=57，p ' (2)=72，求出a 和b