老师,我怎么没想到呢
老师,我怎么没想到呢
作者：苏玖
来源：《新高考·高三数学》2012年第06期
每次讲评考试的试题后，总有一些同学捶胸顿足：“当时我怎么没有想到这一点呢？”或者抱怨：“老师没讲过啊！”这就说明，这些同学只会做一些常规的或者做过的类似的题目，对于稍微新颖一点的题目，往往束手无策，不知如何思考，举一反三，找到解题突破口.特别是到了高三最后的冲刺阶段，我们不能仅仅是死记和模仿老师讲过的习题，更重要的是应该从这些题目中走出来，认真反思、仔细体会.问题解决的关键在哪里，思维的触发点是什么？从中学会思考问题，然后再去做一些题目，来检验自己思考问题的能力是否得到了提高.为此笔者约了五位同学，对最近的模拟卷中的新颖题进行分析，和他们交流思维的过程和方法.
生甲：第5题：设a，b，c为实数，f（x）＝（x＋a）（x 2＋bx＋c），g（x）＝（ax＋
1）（cx 2＋bx＋1）.记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}，若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数.给出如下五个结论： ① |S|＝ 0且|T|＝0；② |S|＝1且|T|＝0；③ |S|＝1且|T|＝1；④ |S|＝2且|T|＝2；⑤ |S|＝2且|T|＝3.则上述结论中不可能的是 . 我就不知道从哪里入手.
师：先观察两个集合的元素特征、两个方程的系数关系.
生甲：通过观察，发现集合S中至少有一个元素-a，又分析出集合T中方程的解是集合S中元素的倒数，于是①、②是不可能的.
生丁：由于0的倒数不存在，所以当a＝b＝c＝0时，|S|＝1且 |T|＝0，故②是正确的.方程x 2＋bx＋c=0和cx 2＋bx＋1=0的判别式均为b 2-4c，下面对该判别式进行分类，当a≠0，c≠0且b 2-4c0时，|S|＝3且|T|＝3.应该填①、⑤.
师：观察是思维的外壳和先导.在读懂题意的前提下，学会观察题目的结构特征、条件之间的内在联系，然后进行分析比较，就可以找到解决问题的突破口.
生乙：第10题：某届世乒赛期间，某商店橱窗里同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就一个球.以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）= ；f（n）= （答案用n表示）.
图1
我看图后，发现第1堆1个球、第2堆3个球、第3堆6个球、第4堆10个球，于是由归纳推理得第n堆球的个数f（n）=1+2+3+…+n=n（n+1）2，结果却是错的.
师：虽然你利用的从特殊到一般的归纳推理的思维方法是正确的，但是你没有弄清题意.按照你的理解，各堆乒乓球均为“正三角形”的形状，与题意相符吗？
生乙：哦，题目是要求堆成“正三棱锥”形的，每一堆都是“立体”的了.
师：你们想一想，每一堆各有几层？各层的球数是多少？先特殊化，写出前4堆的各层情况，再利用归纳推理，寻找一般化的规律，这是从特殊到一般的思维方法.以后遇到类似的问题要学会退，退到特殊的情况，再进行比较，归纳出一般的情况.
生丙：第6题：已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，对任意的p，q∈N *满足S p+q =S pS ，且qS 2=4，那么a n等于 . 对已知的关系式S p+q =S pS ，我试了几个数，没有发现规律，不知如何求q
a n或S n，也找不出关于a n的递推关系式.
师：没有找到关于a n的递推关系式的话，是否可以考虑寻找关于S n的递推关系式呢？既然S p+q =S pS 对任意的qp，q∈N *都成立，那么对特殊的几组p,q也成立，所以你们要从一般的情况退到最简单的情况，如令p=q=1,可以先求出S 1.那么如何找到S n与S n+1 的关系呢？
生丙：令p=q=1，得S 1S 1=4，求出S 1=2.再令p=n,q=1，得
S n+1 =S 1S ，即nS n+1 =2S ，这样n{S n}是等比数列，首项为2，公比为2，所以S n=2 n，于是a n=2, n=1, 2 -1n ,n≥2.
师：这就对啦！其实本题考查的是从一般性中发现特殊性，强调特殊性的运用.我们知道，如果命题在一般情况下成立，那么在特殊的情况下也是成立的，这就是从一般到特殊的演绎思维的具体体现.
请比较：（2007年江西卷第15题）已知数列a n对于任意p，q∈N *满足a p+a q=a p+q ，若a 1=19，则a 36 = ；
（2008年北京卷理第6题）已知数列a n对任意的p，q∈N *满足
a p+q =a p+a ，且qa 2=-6，那么a 10 等于（ ）
A -165 B -33
C -30 D -21
这些题目十分类似.所以我们一定要认真研究做过的题目，从中领悟数学的本质和思维方法，使自己的思维能力不断提升.