等腰三角形证明题
等腰三角形背景下的证明题
等腰三角形是倍受人们喜爱的特殊三角形之一,它具有许多可利用特性,因此,命题者总喜欢以等腰三角形为背景编些证明题来考查解题者对等腰三角形的性质及其运用能力究竟掌握了多少.请看:
例1 如图1,等腰△ABC中,ABAC,AD是顶角∠BAC的外角的平分线. 求证:AD∥BC.
分析:要证AD∥BC,只须证明同位角∠错角1∠B(或内
件ABAC,∠2∠C)即可,而这些角究竟有什么关系呢?考虑已知条
得∠B∠C;AD平分∠BAC的外角,得∠1∠2,又
角的和),由这三∠1∠2∠B∠C(三角形外角等于与它不相邻的两个内
个相等关系即可得 ∠1∠B,故AD∥BC成立.
例2 如图2,等腰△ABC中,ABAC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且BDCE,DE交BC于F, 求证:DFEF. 分析:要证DFEF,只须设法证明DF与EF所在的三角形全等,但图1 由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大得多,
助线.作DG∥AC交BC于G,则∠DGB∠ACB,从
;由ABAC,得∠DGF∠ECF(等角的补角相等)
从而∠DGB∠B,DGBDCE.
在△DFG与△EFC中,
, ∠DGF∠ECF,∠DFG∠EFC(对顶角相等)
所以△DFG≌△EFC,
所以DFEF.
图2
例3 如图3,等腰△ABC中,ABAC,D是BCDEAB于E,DFAC于F,求证:DEDF为定值.
分析:所谓定值是指不论点D在底边BC的何处,大小总是等于已知的或隐含的某条线段的长,也就是说定值是一题的定值究竟是多少呢?我们可以考虑点D所在的特殊位置,重合时,DE0,DF等于AC上的高,可见,DEDF的高,因此,作△ABC的高BG,然后只须证明DEDFBG
要证DEDFBG,在BG上截取GHDF,然后只
.连接BHDH,则只须证明△BDE≌△DBH.易知
,∠BDH∠C,DF是矩形,从而DH∥AC
故应考虑添加辅
而
∠B∠ACB,
DGCE,
上任意一点,
DEDF的
个常量.那么本当点D与点B
D
图3
C
定值是腰上的即可. 须证四边形
∠BHD∠DHG90∠BED
,又
ABA,
∠ABC∠C,所以∠BDH∠EBD,又BD为公共边,所以△BDE≌△DBH;
如果注意到高,联想到三角形面积,则可采用如下简单的证法:
连接AD.则由
SABDSACDSABC,得
11
ABDEACDFS△ABC, 22
又ABAC,所以
2S
DEDF△ABCAC上的高=定值.
AC
例4 如图4,等腰△ABC中,ABAC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且BDCE,
求证:DE>BC.
分析:要证DE>BC,由于它们不是同一个三角形的两边,通过辅助线把它们迁移到同一个三角形中.把DE沿AB平移到EF,CF,则只许证明∠BCF>∠BFC.因为四边形BDEF是所以∠DEF∠DBF,EFBDCE,∠ECF∠EFC,
又
故应先考虑BF,连接平行四边形,
∠BCF180∠ACB∠ECF
,
图4
C
∠BFC∠BFE∠EFC180∠DEFEFC,
而∠DEF∠DBF>∠ABC∠ACB, 所以∠BCF>∠BFC, 故DE>BC.
例5 如图5,等腰△ABC中,ABAC,D是BC上一点. 求证:ADABBDDC.
分析:由AD2和AB2联想到勾股定理,因此,作高
2
2
AE.则
AD2=AE2DE2,AB2=AE2BE2,
所以AB2-AD2=BE2DE2
(BEDE)(BEDE)BD(BEDE)
E
图4
F
又ABAC,所以BECE,
所以ABADBD(CEDE)BDDC, 所以ADABBDDC.
2
2
2
2
以下两题供做练习:
1.等腰△ABC中,ABAC,D是底边BC延长线上一点, 求证:ADABBDDC;
2.等腰△ABC中,ABAC,D,E分别是AB,AC上的点(中点除外),且BDAE,求证:DE>
2
2
1
BC. 2