八年级下册初二数学 [因式分解]教案

因式分解

【知识梳理】

 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式几个整式的积 例：axbx1

3131x(ab) 3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；

(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解：

因式分解的方法

 提公因式法：

定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数---取各项系数的最大公约数 字母---取各项都含有的字母 指数---取相同字母的最低次幂(指数)

【例题】12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约

[1**********]2数为2；字母部分abc,abc,abc都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc．

小结提公因式的步骤：

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

【基础练习】

1．ax、ay、－ax的公因式是__________；6mn2、－2m2n3、4mn的公因式是__________．

2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）

A．a2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1

C．（x＋2）（x－2）＝x2－4 1B．2x22x2x2(1 xD．x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）

3．将多项式－6x3y2 ＋3x2y2－12x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）

A．－3xy

4．多项式an－a3n＋an＋2B．－3x2y C．－3x2y2 D．－3x3y3 分解因式的结果是（ ）

D．an（－a3＋an） A．an（1－a3＋a2） B．an（－a2n＋a2） C．an（1－a2n＋a2）

5．把下列各式因式分解：

5x2y＋10xy2－15xy

3x（m－n）＋2（m－n） 3（x－3）2－6（3－x）

y（x－y）2－（y－x）3 －2x2n－4x n x（a－b）2n＋xy（b－a）2n

＋1

6．应用简便方法计算：

（1）2012－201

（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．

（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）－16a2b－8ab＝________________________；

（2）x3（x－y）2－x2（y－x）2＝________________________．

2．在空白处填出适当的式子：

（1）x（y－1）－（ ）＝（y－1）（x＋1）；

（2）84（2a＋3bc）． ab2b3c（ ）279

3．如果多项式x2＋mx＋n可因式分解为（x＋1）（x－2），则m、n的值为（ ）

A．m＝1，n＝2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝－2 D．m＝－1，n＝－2

4．（－2）10＋（－2）11等于（ ）

A．－210 B．－211 C．210 D．－2

2xy6,5．已知x，y满足求7y（x－3y）2－2（3y－x）3的值．

x3y1,

16．已知x＋y＝2，xy,求x（x＋y）2（1－y）－x（y＋x）2的值 2

7．因式分解：（1）ax＋ay＋bx＋by；

（2）2ax＋3am－10bx－15bm．

 运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

 平方差公式

式子： a2b2(ab)(ab)

语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

【例题1】在括号内写出适当的式子：

0．25m4＝（ ）2； 42n2262y（ ）； 121ab＝（ ）． 9

【例题2】因式分解：（1）x2－y2＝（ ）（ ）； （2）m2－16＝（ ）（ ）；

（3）49a2－4＝（ ）（ ）；（4）2b2－2＝（ ）（ ）．

【基础练习】

1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）

A．y2－49x2 B．1x4 49C．－m4－n2 1D．(pq)29 4

2．下列因式分解错误的是（ ） ．．

A．1－16a2＝（1＋4a）（1－4a） B．x3－x＝x（x2－1）

C．a2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc） D．

3．把下列各式因式分解：

（a＋b）2－64

4222m0.0ln2(0.lnm)(m0.ln) 933m4－81n4 （2a－3b）2－（b＋a）2

4．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092； （2）3.14×512－3.14×492．

5．已知x＋2y＝3，x2－4y2＝－15，（1）求x－2y的值；（2）求x和y的值．

【提高练习】

1．因式分解下列各式：

（1）

（3）a134mm＝_____________________； （2）x－16＝_____________________； 16m1am1＝_____________________； （4）x（x2－1）－x2＋1＝_________________．

2．把（3m＋2n）2－（3m－2n）2分解因式，结果是（ ）

A．0 B．16n2 C．36m2 D．24mn

3．下列因式分解正确的是（ ）

A．－a2＋9b2＝（2a＋3b）（2a－3b） B．a5－81ab4＝a（a2＋9b2）（a2－9b2）

C．112a2(12a)(12a) D．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）（x＋2y－3） 22

4．把下列各式因式分解：

m2（x－y）＋n2（y－x） 3（x＋y）2－27 （3m2－n2）2－（m2－3n2）2

5．已知x

6．分别根据所给条件求出自然数x和y的值：

（1）x、y满足x2＋xy＝35；（2）x、y满足x2－y2＝45．

2225,y,求（x＋y）2－（x－y）2的值． 7544

5．已知x＋2y＝3，x2－4y2＝－15，（1）求x－2y的值；（2）求x和y的值．

【提高练习】

1．因式分解下列各式：

（1）

（3）a134mm＝_____________________； （2）x－16＝_____________________； 16m1am1＝_____________________； （4）x（x2－1）－x2＋1＝_________________．

2．把（3m＋2n）2－（3m－2n）2分解因式，结果是（ ）

A．0 B．16n2 C．36m2 D．24mn

3．下列因式分解正确的是（ ）

A．－a2＋9b2＝（2a＋3b）（2a－3b） B．a5－81ab4＝a（a2＋9b2）（a2－9b2）

C．112a2(12a)(12a) D．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）（x＋2y－3） 22

4．把下列各式因式分解：

m2（x－y）＋n2（y－x） 3（x＋y）2－27 （3m2－n2）2－（m2－3n2）2

5．已知x

6．分别根据所给条件求出自然数x和y的值：

（1）x、y满足x2＋xy＝35；（2）x、y满足x2－y2＝45．

2225,y,求（x＋y）2－（x－y）2的值． 7544

 完全平方公式

（1）式子：a22abb2(ab)2a2abb(ab)222 拓展：a3b3(ab)(a2abb2)ab(ab)(aabb)3322

【例题】分解因式：

【变式练习】 x214x49x227x72(x7)2a4a4a22a2(a2)2222

21．分解因式：4x2x12a49 a14． 4

2．因式分解44aa，正确的是( )

A．4(1a)a B．(2a) C．(2a)(2a) D．(2a) 2222

【注意】①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

【例】(mn)26(mn)9(mn)3 2

②当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。

【例】2x38x2x(x24)2x(x222)2x(x2)(x2)

【变式练习】

1．分解因式：2x20x50．

2．分解因式：412(xy)9(xy)．

3．分解因式：8xy8xy2y________．

4．分解因式：(a+b)3－4(a+b)=__________________________________________________．

5．分解因式：3m(2x－y)2－3mn2＝_______________________________________________．

6．因式分解：x(y1)2x(y1)(y1)

2222222

【基础练习】

1．在括号中填入适当的式子，使等式成立：

（1）x2＋6x＋（ ）＝（ ）2；（2）x2－（ ）＋4y2＝（ ）2；

（3）a2－5a＋（ ）＝（ ）2；（4）4m2－12mn＋（ ）＝（ ）2

2．若4x2－mxy＋25y2＝（2x＋5y）2，则m＝__________．

3．将a2＋24a＋144因式分解，结果为（ ）

A．（a＋18）（a＋8） B．（a＋12）（a－12） C．（a＋12）2 D．（a－12）2

4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）

①9a2－1； ②x2＋4x＋4； ③m2－4mn＋n2； ④－a2－b2＋2ab； ⑤m

A．2个 221mnn2; ⑥（x－y）2－6z（x＋y）＋9z2． 39B．3个 C．4个 D．5个

5．下列因式分解正确的是（ ）

A．4（m－n）2－4（m－n）＋1＝（2m－2n＋1）2 B．18x－9x2－9＝－9（x＋1）2

C．4（m－n）2－4（n－m）＋1＝（2m－2n＋1）2 D．－a2－2ab－b2＝（－a－b）2

6．把下列各式因式分解：a2－16a＋64

（a－b）2－2（a－b）（a＋b）＋（a＋b）2

7．计算：（1）2972 （2）10.32

8．若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0，求a2－b2的值．

4x3＋4x2＋x －x2－4y2＋4xy

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）25（p＋q）2＋10（p＋q）＋1＝__________________________________________；

（2）an1＋an1－2an＝__________________________________________； ＋－

（3）（a＋1）（a＋5）＋4＝__________________________________________．

2．如果x2＋kxy＋9y2是一个完全平方公式，那么k是（ ）

A．6 B．－6 C．±6 D．18

3．如果a2－ab－4m是一个完全平方公式，那么m是（ ）

A．12b 16B．12b 161C．b2 8D．b 1

82

4．如果x2＋2ax＋b是一个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（ ）

A．b＝a B．a＝2b C．b＝2a D．b＝a2

5．把下列各式因式分解：

2mx2－4mxy＋2my2 x3y＋2x2y2＋xy3

（m2＋n2）2－4m2n2

（a＋1）2（2a－3）－2（a＋1）（3－2a）＋2a－3

6．若x

x2＋2x＋1－y2 x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1 1xx3x2 4113,求x22的值． xx

7．若a4＋b4＋a2b2＝5，ab＝2，求a2＋b2的值．

8．已知x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）称为立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：

（1）a3＋8

（2）27a3－1

 分组分解法(拓展)

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)

形式：amanbmbn 、 abab等

步骤：1．分组 2．提取公因式 22

【例题1】把多项式abab1分解因式

解：abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)

【变式练习】因式分解：a2abacbc

a3a2a1 x2xy2y

②将多项式分组后能运用公式进行因式分解．(三一分项)

形式：a2abbc 222

【例题2】将多项式a22ab1b2因式分解

解：a22ab1b2=(a22abb2)1(ab)21(ab1)(ab1)

【变式练习】因式分解：x225y22xy x26xy9y21

 十字相乘法(拓展)

 形式：x2(pq)xpq(xp)(xq)(二次项系数为1)

x2(pq)xpq

分析：常数项拆成两个因数p和q，

这两数的和pq为一次项系数。

【例题1】分解因式：x22x3 2．因式分解：x25x6

形式：axbxc(a1xc1)(a2xc2).(拓展) 2

ax2bxc

(a1xa2x)(a1c2xa2c1x)(c1c2x)

(a1xc1)(a2xc2).

分析：a=a1a2；c=c1c2，ba1c2a2c1

形式如axbxc的式子要进行因式分解，确定其中的a1,a2,c1,c2是一个尝试的过程。 2

【例题2】分解因式2x2x3

221

331 121(3)1

所以 2xx3(2x3)(x1) 2

【基础练习】

1．将下列各式因式分解：

（1）x2－5x＋6＝________________； （2）x2－5x－6＝________________；

（3）x2＋5x＋6＝________________； （4）x2＋5x－6＝________________．

2．将a2＋10a＋16因式分解，结果是（ ）

A．（a－2）（a＋8） B．（a＋2）（a－8） C．（a＋2）（a＋8） D．（a－2）（a－8）

3．因式分解的结果是（x－3）（x－4）的多项式是（ ）

A．x2－7x－12 B．x2－7x＋12 C．x2＋7x＋12 D．x2＋7x－12

4．如果x2－px＋q＝（x＋a）（x＋b），那么p等于（ ）

A．ab B．a＋b C．－ab D．－a－b

5．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），则k的值为（ ）

A．－9 B．15 C．－15 D．9

6．把下列各式因式分解

m2－12m＋20

x2＋xy－6y2 x2－10xy＋9y2

（x－1）（x＋4）－36

7．已知x＋y＝0，x＋3y＝1，求3x2＋12xy＋13y2的值．

ma2－18ma－40m x3－5x2y－24xy2

【提高练习】

1．多项式x2－3xy＋ay2可分解为（x－5y）（x－by），则a、b的值为（ ）

A．a＝10，b＝－2 B．a＝－10，b＝－2 C．a＝10，b＝2 D．a＝－10，b＝2

2．若x2＋（a＋b）x＋ab＝x2－x－30，且b＜a，则 b的值为（ ）

A．5 B．－6 C．－5 D．6

3．将（x＋y）2－5（x＋y）－6因式分解的结果是（ ）

A．（x＋y＋2）（x＋y－3）

C．（x＋y－6）（x＋y＋1） B．（x＋y－2）（x＋y＋3） D．（x＋y＋6）（x＋y－1）

4．观察下列各式：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由．

【全章巩固练习】

1．把(x－y)2－(y－x)分解因式为( )

A．(x－y)(x－y－1) B．(y－x)(x－y－1) C．(y－x)(y－x－1) D．(y－x)(y－x＋1)

2．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是( )

A．8 B．16 C．2 D．4

3．(8)2006(8)2005能被下列数整除的是( )

A．3 B．5 C．7 D．9

4．下列分解因式结果正确的是( )

A．6(x－2)+x(2－x)=(x－2)(6+x) B．x3+2x2+x=x(x2+2x)

C．a(a－b)2+ab(a－b)=a(a－b) D．3xn+1+6xn=3xn(x+2)

5．如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是( )

A．42 B．－42 C．13 D．－13

6．已知x2－7xy+12y2=0，那么x与y的关系是_________．

7．利用因式分解简便计算5799449999正确的是( )

A．99(5744)991019999 B．99(57441)991009900

C．99(57441)9910210098 D．99(574499)992198

8．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边

长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等

腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如

图乙)．那么通过计算阴影部分的面积可以验证

公式______________．

甲 a 乙 b

9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方

形(ab)，再沿虚线剪开，如图(1)，然后拼成一个 a梯形，如图(2)．根据这两个图形的面积关系，表明

下列式子成立的是( ) (1)

a

(2) a

A．a2b2(ab)(ab) B．(ab)2a22abb2

C．(ab)2a22abb2 D．a2b2(ab)2

10．利用简便方法计算：

(1)23×2.718+59×2.718+18×2.718； (2)57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×(－20)

11．分解多项式： (1)16x2y2z2－9 (2)81(a+b)2－4(a－b)2 (3)x(x－y)－y(y－x)

(4)－12x3+12x2y－3xy2 (5)(x+y)2+mx+my (6)a(x－a)(x+y)2－b(x－a)2(x+y)

200812．已知a－b＝2005，ab＝，求a2b－ab2的值。 2005

13．已知(4x－2y－1)2+xy2=0，求4x2y－4x2y2+xy2的值．

14．求证：无论x、y为何值，4x212x9y230y35的值恒为正。

15．用分解因式说明：257512能被60整除。

16．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a22b2c22b(ac)0，试判断此三角形的形状．

17．观察下列各式：

12+(1×2)2+22=9=32

22+(2×3)2+32=49=72

32+(3×4)2+42=169=132 ……

你发现了什么规律? 请用含有n (n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理．

18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3

(1) 上述分解因式的方法是法，共应用了

(2) 若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2007，则需要应用上述方法 次，分解因式后的结果是 。