抽象函数单调性的判定及应用
例谈抽象函数单调性的判定及应用
湖南省张家界市武陵源一中 高飞 颜建红 电话[1**********] 邮编:427400
抽象函数问题是指没有给出解析式,只给出一些特殊条件的函数问题,一般以中学阶段所学的基本函数为背景,构思新颖,条件隐蔽,技巧性强。解法灵活,因此它对发展同学们的 抽象思维,培养同学们的创新思想有着重要的作用。下面就抽象函数单调性及应用问题举例分析,供大家参考。
例1, 定义在R 上的函数f(x)满足,当x>0时f(x)>1,且对任意x,y ∈R 都有
f (x +y ) =f (x ) f (y ) ,若f (1)=2 (1)求f (2) ⑵证明对任意x 有f (x )>0
恒成立且f(x)在R 上是增函数 ⑶解不等式f (2-x )>4
分析; 恰当赋值可求函数值,用定义可证单调性,应用单调性可解不等式 解; (1)f (2)=f (1+1)=f (1)∙f (1)=2⨯2=4 ⑵令x =1, y =0由f (x +y ) =
f (x ) f (y ) 得f (1)=f (1)⋅f (0)∴f (0)=1,当x 0, f (x )⋅f (-x )=f (x -x )=
f (0)=1其中f (-x )>1, ∴f (x )>0故对任意x 有f (x )>0恒成立。设x 1, x 2∈R , 且x 10, ∴f (x 2-x 1)>1由f (x 2)=f [x 1+(x 2-x 1)]=f (x 1)⋅f (x 2-x 1)> f (x 1), ∴f (x )在R 上是增函数⑶ f (2)=4,∴f (2-x )>4即f (2-x )>f (2)由⑵知
2-x >2⇒x
点评: 单调性定义是判断抽象函数单调性的重要方法,抽象函数不等式问题关键是利用函数的单调性“脱去f ”化为一般的不等式来解。本题背景函数为指数函数。
例2,函数f(x)满足∀x 1, x 2∈R 都有f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3, 并且当x>0时, f(x)>3 (Ⅰ) 求证f(x)是R 上的增函数 ⑵若f(3)=6,解不等式f(a2-3a-9)
x 1
则x 2-x 1>0, ∴f (x 2-x 1)>3,因为=
f(x1)+
f (x 2)-f (x 1)=f [x 1+(x 2-x 1)]-f (x 1)=f (x 2-x 1)-3> 0,所以
f(x1)
f(x2) ,即
f (x 2-x 1)-3-
f(x1)=
f(x)是R 上的增函数 ⑵
f(3)=f (1)+f (2)-3=3f (1)-6=6,∴
f (1)=4. 所以f(a2-3a-9)
a -3a-92
2
点评: 单调性定义证明利用题设使抽象的问题变为比较f (x 2-x 1)与3的大小的具体问题。本题中的隐含条件f (1)=4不可忽视,本题背景函数为一次函数。 3,定义在(0,+∞)上的函数f(x) 对任意x,y ∈R +都有f (xy ) =f (x ) +f (y ) 且当0
x 1
x 2
x 2的使用可正确解题
解; (1)f 1 )=f (1⨯1)=f (1)+f 1),∴f (1)=0 ⑵f 1)+f (x )=f (x ⋅1x )=f (1)=0,222x
∴
)=-f (x )f x
。
x 1x 2
2
设
0
0
x 1x 2
)
x 1x 2
,
f (x 1)=f
x 1x 2
∙x 2=f
))+f (x )
)=f )
12
x 12
1
f (x 2), ∴f (x )在(0,
+∞)上是增函数 ⑶f (x -2)
点评: 本题运用单调性“脱去f ”时不能忽略f(x)的定义域,否则会出错,注意等价命题的证明,要证f )=-f (x ),不妨先证f x )+f (x )=0,本题背景函数为x 对数函数。
4,已知函数f(x)定义域为R 满足f(x)>0对任意x,y ∈R 都有f (xy ) =[f (x )]y ,(1)求f (0),⑵求证f (1)>1且f (x )=[f (1)]判断f(x) 的单调性,⑶当)>1,f 1
3
x
x ∈[0, 1]时f (x +m )
x
解析;f (0)=[f (0)]=1,f (1)=[f 1,f(x)= 所以f(x)是R 上的增函()[f 1])]>103
数⑶由⑵知f (x +m )
m
2⎧⎪x +4x , x ≥02
5, (天津卷) 已知函数f(x)=⎨,若f 2-a >f (a ),求实数a 的取值2
⎪⎩4x -x , x
()
范围
解析;本题解答的关键是正确作出函数的图象,概括出函数在R 上是单调递增函数,所以由f 2-a 2>f (a )⇔2-a 2>a ⇒-2
⎧x 2+1, x ≥0
6,(江苏卷) 已知函数f(x)=⎨求满足不等式f 1-x 2>f (2x )的x 取值范
⎩1, x
()
()
围
2
⎧⎪1-x >0
解析;由函数f(x) 函数特征将不等式化为⎨,解得-1
⎪⎩1-x >2x
7,辽宁卷已知偶函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增求满足f (2x -1)
解析;由偶函数性质得f (2x -1)=f 2x -),又f(x)在区间[0, +∞)上单调递增解得1
点评:运用偶函数性质f (-x )=f (x )=f x )可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解。