直线的交点以及距离
一、两条直线的位置关系
已知两条直线的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0 1)两条直线相交、平行与重合条件: ① 相交的条件:A 1B 2-A 2B 1≠0
② 平行的条件:A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-C 1B 2≠0 ③ 重合的条件:A 1=λA 2,B 1=λB 2,C 1=λC 2(λ≠0) 2)两条直线垂直的条件:A 1A 2+B 1B 2=0 延伸:
斜率存在的情况下:两条直线为l 1:y =k 1x +b 1;l 2:y =k 2x +b 2
相交的条件:k 1≠k 2;平行的条件:k 1=k 2且b 1≠b 2;重合的条件:k 1=k 2,b 1=b 2. 两条直线垂直的条件:k 1k 2=-1.
二、点到直线的距离公式
1)点P (x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d
的计算公式:d =
)
设A ≠0,B ≠0这时l 与x 轴、y 轴都相交.
如图:过P (x 0, y 0)作x 轴的平行线,交l 于点R (x 1, y 0);
作y 轴的平行线,交l 于点S (x 0, y 2),由Ax 1+By 0+C =0,Ax 0+By 2+C =0, 得x 1=
-By 0-C -Ax 0-C Ax 0+By 0+C
|,,y 2=,∴|PR |=|x 0-x 1|-|
A B A
Ax 0+By 0+C
|,|RS |=
B
|PS |=|y 0-y 2|=
|
=|Ax 0+By 0+C |
|A ⋅B |
由三角形面积公式知:d ⋅|RS |=|PR |⋅|PS |,
∴d =
,当A =0或B =0时,以上公式仍适用.
2)两条平行线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0之间的距离为d ,
则d =
3)已知A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),则d (A , B )
=三、对称问题
1)求已知点关于点的对称点
P (x ', y ' )关于点Q (x 0, y 0)的对称点为(2x 0-x ',2y 0-y ' )
2)求直线关于点的对称直线
方法一:利用中点公式可求得点P (x 0, y 0)关于点A (a , b )的对称点为
P ' (2a -x 0,2b -y 0),求一条直线关于点A (a , b )的对称直线方程时可在该直线上取某个
两个特殊点,再求它们关于点A 的对称点坐标,然后利用两点式求其直线方程; 方法二:(一般性方法)可设所求的直线上任一点坐标为(x , y ),再求它关于A (a , b )的对称点坐标,而它的对称点在已知直线上,将其代入已知直线方程,便可得到关于x , y 的方程,即为所求的直线方程. 常见的对称结论有:
设直线l :Ax +By +C =0,
① l 关于2x 轴对称的直线是Ax +B (-y )+C =0 ② l 关于y 轴对称的直线是A (-x )+By +C =0 ③ l 关于原点对称的直线是A (-x )+B (-y )+C =0 ④ l 关于y =x 对称的直线是Ay +Bx +C =0
⑤ l 关于y =-x 对称的直线是A (-y )+B (-x )+C =0 3)求点关于直线的对称点
①设P (x 0, y 0),l :Ax +By +C =0A +B ≠0,设P 关于l 的对称点的坐标
2
2
()
Q (x , y ),则l 是PQ 的垂直平分线,即a. PQ ⊥l ;b. PQ 的中点在l 上,解方程组
⎧y -y 0⎛A ⎫
⋅ -⎪=-1⎪⎪x -x 0⎝B ⎭
可得Q 点坐标. ⎨
⎪A ⋅x +x 0+B ⋅y +y 0+C =0⎪⎩22
②点A (x , y )关于直线x +y +c =0的对称点A ' 的坐标为(-y -c , -x -c ),关于直线
x -y +c =0的对称点A '' 的坐标为(y -c , x +c ).曲线f (x , y )=0关于直线
x +y +c =0的对称曲线为f (-y -c , -x -c )=0,关于直线x -y +c =0的对称曲线为
f (y -c , x +c )=0.
常见的结论有:
a. A (a , b )关于x 轴的对称点为A ' (a , -b ); b. B (a , b )关于y 轴的对称点为B ' (-a , b ); c. C (a , b )关于y =x 轴的对称点为C ' (b , a ); d. D (a , b )关于y =-x 轴的对称点为D ' (-b , -a ); e. E (a , b )关于x =m 轴的对称点为E ' (2m -a , b );
一、两条直线位置关系与距离问题
用点到直线的距离公式时,直线方程要化为一般式,还要注意公式中分子含有绝对值的符号,分母含有根式的符号.而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点,再求这一点到另一直线的距离.
【题干】已知直线l :x -2y -5=0,且P (a , b )在直线l
最小值. 【答案】 【解析】 【点评】
【题干】已知直线l 1:mx +8y +n =0与l 2:2x +my -1=0互相平行,且l
1,l 2之间的l 1的方程.
【答案】2x -4y +9=0或2x -4y -11=0. 【解析】因为l 1 l 2,∴
m 8n ⎧m =4⎧m =-4
=≠,∴⎨或⎨ 2m -1n ≠-2⎩⎩n ≠2
(1)当m =4时,直线l 1的方程为4x +8y +n =0,把l 2的方程写成4x +8y -2=0.
=n =-22或n =18. 所以,所求直线的方程为2x +4y -11=0或
2x +4y +9=0.
(2)当m =-4时,直线l 1的方程为4x -8y -n =0,l 2的方程为2x -4y -1=0,
-n +2∴=,解得n =-18或n =22. 所以,所求直线的方程为2x -4y +9=0或16+64
2x -4y -11=0.
【点评】
【题干】已知点A (-3,8)和B (2,2),求x 轴上与点A 、B 距离之和最短的点的坐标,以及对应的距离和的最小值. 【答案】 【解析】 【点评】
二、对称问题
解决这类对称问题要抓住两条:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.注意中点坐标公式的应用.
【题干】光线从A (-4, -2)点射出,到直线y =x 上的B 点后被直线y =x 反射到y 轴上
C 点,又被y 轴反射,这时反射光线恰好过点D (-1,6),求BC 所在的直线方程.
【答案】10x -3y +8=0.
【解析】作出草图如图,设A 关于直线y =x 的对称点为A ',D 关于y 轴的对称点为D ',则易得A '(-2, -4),D '(1,6).由入射角等于反射角可得A 'D '所在直线经过点B 与C . 故
BC 所在的直线方程为
y -6x -1
=,即10x -3y +8=
0. 6+41+2
【点评】设A 关于直线y =x 的对称点为A ',D 关于y 轴的对称点为D ',则直线A 'D '经过点B 与C .
【题干】已知直线l :x -y -1=0,l 1:2x -y -2=0. 若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( ). A. x -2y +1=0 C. x +y -1=0 【答案】B.
【解析】l 1与l 2关于l 对称,则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上.又易知(0, -2)为l 1上一点,设其关于l 的对称点为(x , y ),
B. x -2y -1=0 D. x +2y -1=0
⎧x +0y -2
--1=0⎪⎧x =-1⎪22
则⎨,得⎨,即(1,0)、(-1, -1)为l 2上两点,可得l 2方程为
y +2y =-1⎩⎪⨯1=-1⎪⎩x
x -2y -1=0.
【点评】
【题干】直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是( ) A. x +2y -1=0 C. 2x +y -3=0 【答案】D.
【解析】在直线在直线x -2y +1=0上任取两点(1,1), 0⎪,这两点关于直线x =1的
B. 2x +y -1=0 D. x +2y -3=0
⎛
⎝1⎫2⎭
对称点分别为(1,1), 2⎪,过这两点的直线方程为y -1=-即x +2y -3=0. 【点评】
⎛⎝1⎫2⎭
1
(x -1), 2
三、直线综合
【题干】
=a (x -1)恰有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( )
A. -1
a
或a >
或
1或-1
222
C. -1
【答案】 【解析】 【点评】
【题干】
若方程x +y -lg m =0仅表示一条直线,则实数m 的取值范围是. 【答案】 【解析】 【点评】
x y
+=1通过点M (cos α, sin α),则( ) a b
11112222
A. a +b ≤1B. a +b ≥1C. 2+2≤1 D. 2+2≥1
a b a b
【题干】若直线【答案】D. 【解析】若直线
x y
cos αsin α
+=1通过点M (cos α, +=1, sin α),则【题干】已知过点A (11, )且斜率为-m (m >0)的直线l 与
x , y 轴分别交于P , Q
,过P , Q 作直线2x +y =0的垂线,垂足分别为R , S ,求四边形PRSQ 的面积的最小值. 【答案】3.6.
【解析】设l 的方程为y -1=-m (x
-1),则P 1+从而可得直线PR 和QS 的方程分别为x -
2y -
⎛
⎝1⎫
,0⎪
,Q (0,1+m ). m ⎭
m +1
=0
和x -2y +2
(m +1)=0. m
又PR ||QS ,所以RS =
3+2m +=
12
2+
,. 又PR =
QS =
PRSQ 为梯形,S PRSQ 21⎡⎤2+3+2m +1⎢⎥=2
1⎛19⎫11⎛9⎫1
= m ++⎪-≥ 2+⎪-=3.6,所以四边形PRSQ 的面积的最小值为5⎝m 4⎭805⎝4⎭80
3.6.
【点评】
【题干】直线l 过点M (2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ,点O 是坐标原点,
(1)求当∆ABO 面积最小时直线l 的方程; (2)当MA ⋅MB 最小时,求直线l 的方程. 【答案】(1)x +2y -4=0;(2)x +y -3=0. 【解析】(1)设直线l 方程为
22
x y
+=1(a 、b 均为正数),因为l 过点M (2,1),所以a b
212121+=1.
因为1=+≥ab ≥8,当且仅当=时,即a =4,a b a b a b b =2时,等号成立,所以当a =4,b =2时,ab 有最小值8,此时∆OAB 面积为
s =
1x y
ab =4达到最小值. 直线l 的方程的方程为+=1,即x +2y -4=0. 242
(2)过M 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为P 、N ,设∠MAP =α,则Rt ∆MPA 中,sin α=
MP MP 21
,得MA =,同理可得:MB =, =MA cos αsin αsin α
所以MA ⋅MB =
24︒
=. 因为sin 2α∈(0,1],所以2α=90时,
sin αcos αsin 2α
4
=4达到最小值,此时直线l sin 2α
︒
即α=45时,sin 2α=1达到最大值,MA ⋅MB =
的斜率k =-1,得直线l 方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.
【点评】
【题干】设直线y =m +2m +2x -3m -6m -1,其中m 为任意实数,求证:不论m 为何值时,所给直线过定点. 【答案】 【解析】 【点评】
(
2
)
2