三角函数公式典型例题大全

高中三角函数公式大全以及典型例题

2009年07月12日 星期日 19:27

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tanA +tanB

tan(A+B) =

1-tanAtanB tanA -tanB

tan(A-B) =

1+tanAtanB cotAcotB -1

cot(A+B) =

cotB +cotA cotAcotB +1

cot(A-B) =

cotB -cotA

倍角公式

2tanA

tan2A =

1-tan 2A

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin 2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA

ππ

tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)

33

半角公式 sin(

A A -cos A 1+cos A )= cos()= 2222A A -cos A 1+cos A )= cot()= 221+cos A 1-cos A

tan(tan(

A 1-cos A sin A )== 2sin A 1+cos A 和差化积

a +b a -b a +b a -b

sina+sinb=2sincos sina-sinb=2cossin

2222a +b a -b a +b a -b

cosa+cosb = 2coscos cosa-cosb = -2sinsin

2222

sin(a +b )

tana+tanb=

cos a cos b

积化和差

1

[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21

sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =

2

诱导公式

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa

sinasinb = -

1

[cos(a+b)+cos(a-b)] 21

[sin(a+b)-sin(a-b)] 2

ππ

-a) = cosa cos(-a) = sina 22ππ

sin(+a) = cosa cos(+a) = -sina

22

sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa sin(tgA=tanA =万能公式

sin a

cos a

a a

1-(tan) 2

cosa= sina=

a a

1+) 21+) 2

22a 2tan

tana=

1-) 2

2

其它公式

2tan

a•sina+b•cosa=(a2+b 2) ×sin(a+c) [其中tanc=a•sin(a)-b•cos(a) = 1+sin(a) =(sin

b ] a

a ] b

(a2+b 2) ×cos(a-c) [其中tan(c)=

a a a a +cos) 2 1-sin(a) = (sin-cos ) 2 2222

其他非重点三角函数

11

csc(a) = sec(a) =

cos a sin a

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα 公式六：

3ππ

±α及±α与α的三角函数值之间的关系：

22ππππsin （+α）= cosα cos （+α）= -sinα tan （+α）= -cotα cot （+α）= -tanα

2222ππππ

sin （-α）= cosα cos （-α）= sinα tan（-α）= cotα cot （-α）= tanα

22223π3π3πsin （+α）= -cosα cos （+α）= sinα tan （+α）= -cotα

2223π3π3πcot （+α）= -tanα sin （-α）= -cosα cos （-α）= -sinα

2223π3πtan （-α）= cotα cot （-α）= tanα

22(以上k ∈Z)

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b 2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角 正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 三角函数 积化和差 和差化积公式 记不住就自己推，用两角和差的正余弦： 3. 三角形中的一些结论：(不要求记忆) (1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................

已知sinα=m sin(α+2β), |m|

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

三角函数典型例题

1 ．设锐角∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c , a =2b sin A .

(Ⅰ) 求B 的大小;

(Ⅱ) 求cos A +sin C 的取值范围.

【解析】:(Ⅰ) 由a =2b sin A , 根据正弦定理得sin A =2sin B sin A , 所以sin B =

1, 2

由∆ABC 为锐角三角形得B =

π. 6

(Ⅱ) cos A +sin C =cos A +sin π-

⎛⎝π⎫-A ⎪ 6⎭

⎛π⎫

=cos A +sin +A ⎪

⎝6⎭

1=cos A +cos A +

A

2π⎫⎛

= A +⎪.

3⎭⎝

2 ．在∆ABC 中, 角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c, 且满足(2a-c)cosB=bcos C．

(Ⅰ) 求角B 的大小;

(Ⅱ) 设m =(sin A,cos 2A ),n =(4k, 1)(k >1), 且m ⋅n 的最大值是5, 求k 的值.

【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,

∴(2sinA -sin C )cos B =sinB cos C． 即2sin A cos B =sinB cos C +sinC cos B

=sin(B +C )

∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA． ∵0

1. 2

∵0

π. 3

(II)m ⋅n =4k sin A +cos2A．

=-2sin2A +4k sin A +1,A ∈(0,设sin A =t , 则t ∈(0, 1].

2π) 3

则m ⋅n =-2t 2+4kt +1=-2(t -k ) 2+1+2k 2, t ∈(0, 1].

∵k >1,∴t =1时, m ⋅n 取最大值.

依题意得,-2+4k +1=5,∴k =

3. 2

3 ．在∆ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a ，b ，c , sin

A +B C

+sin =2. 22

I. 试判断△ABC 的形状;

II. 若△ABC 的周长为16, 求面积的最大值.

【解析】:I.sin

π-C

2

+sin

C C C C π=cos +sin =2sin(+) 22224

∴

C πππ

+=即C =, 所以此三角形为直角三角形. 2422

II. 16=a +b +a 2+b 2≥2ab +2ab , ∴ab ≤64(2-2) 2当且仅当a =b 时取等号,

此时面积的最大值为326-42.

4 ．在∆ABC 中, a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边, C =2A , cos A =

()

3, 4

(1)求cos C , cos B 的值; (2)若BA ⋅BC =

27

, 求边AC 的长｡ 2

2

【解析】:(1)cos C =cos 2A =2cos A -1=2⨯

91-1= 168

13737

由cos C =, 得sin C =; 由cos A =, 得sin A =

8844∴cos B =-cos (A +C )=sin A sin C -cos A cos C =

737319

⨯-⨯= 484816

2727, ∴ac cos B =, ∴ac =24 ① 22

a c 3

=, C =2A , ∴c =2a cos A =a ② 又

sin A sin C 2

(2)BA ⋅BC =由①②解得a=4,c=6

∴b 2=a 2+c 2-2ac cos B =16+36-48⨯∴b =5, 即AC 边的长为5.

9

=25 16

2

5 ．已知在∆ABC 中, A >B , 且tan A 与tan B 是方程x

-5x +6=0的两个根.

(Ⅰ) 求tan(A +B ) 的值; (Ⅱ) 若AB =5, 求BC 的长.

【解析】:(Ⅰ) 由所给条件, 方程x

2

-5x +6=0的两根tan A =3, tan B =2.

∴tan(A +B ) =

tan A +tan B 2+3

==-1

1-tan A tan B 1-2⨯3

(Ⅱ) ∵A +B +C =180, ∴C =180 -(A +B ) . 由(Ⅰ) 知, tan C =-tan(A +B ) =1,

∵C 为三角形的内角,

∴sin C =

2

∵tan A =3, A 为三角形的内角,

∴sin A =

由正弦定理得:

AB BC

=

sin C sin A

∴BC =

=6 ．在∆ABC 中, 已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c , 向

量

m =2s i B n (, 3n = cos 2B ,2cos

⎛

⎝

2

B ⎫

-1⎪, 且m //n ｡ 2⎭

(I)求锐角B 的大小;

(II)如果b =2, 求∆ABC 的面积S ∆ABC 的最大值｡

2

【解析】:(1) m //n ⇒ 2sinB(2cos-1)=-3cos2B

B 2

⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ 3

2ππ

∵0

33π5π

(2)由tan2B =-3 ⇒ B=或36π

①当B=, 已知b=2,由余弦定理, 得:

3

4=a 2+c 2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) 13

∵△ABC 的面积S △ABC = acsinB=≤3

24∴△ABC 的面积最大值为3

5π

②当B=时, 已知b=2,由余弦定理, 得:

6

4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c=2时等号成立) ∴ac≤4(23)

11

∵△ABC 的面积S △ABC = acsinB=ac≤ 23

24∴△ABC 的面积最大值为2-3

7 ．在∆ABC 中, 角A ． B ．C 所对的边分别是a , b , c , 且a +c -b =

2

2

2

1

ac . 2

(1)求sin

2

A +C

+cos 2B 的值; 2

14

(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.

【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=

sin 2

1A +C

+cos2B= -

42

(2)由cos B =

1, 得sin B =. ∵b =2, 44

a

2

811

+c 2=+4≥2ac , 得ac ≤, S △ABC =si nB ≤(a =c 时取等号)

2233

故S △ABC 的最大值为

3

sin(+θ)

8 ．已知tan α=a , (a >1) , 求⋅tan 2θ的值｡ sin(-θ)

2

【解析】

π

2a ; 1-a