层次分析法确定权重的研究
第29卷 第1期 武汉理工大学学报・信息与管理工程版 Vol.29No.1()文章编号:1007-144X(2007)01-0153-04
层次分析法确定权重的研究
常建娥,蒋太立
(武汉理工大学机电工程学院,湖北武汉430070)
摘 要:权重是专家经验和决策者意志的体现,相当程度上决定了多目标决策的精度,关键。应用层次分析法可以确定出权重,从而为决策提供依据。得到很好的应用,并编写了相关程序。关键词:多目标决策;权重;层次分析法中图法分类号:C81 文献标识码:A
1 引 言
,会遇到一些变量繁多、结构复杂和不确定因素作用显著等特点的复杂系统,这些复杂系统中的决策问题都有必要对描述目标相对重要度做出正确的估价。而各因素的重要程度是不一样的,为了反映因素的重要程度,需要对各因素相对重要性进行估测(即权数),由各因素权数组成的集合就是权重集。权重是指标本身的物理属性的客观反映,是主客观综合量度的结果。
系统工程理论中的层次分析法(AnalyticHi2erarchyProcess,AHP)是一种较好的权重确定方
要性数值。并由uij组成A-U判断矩阵P。
u11u12…u1n
P=
u21
u22
……
u2n
…
un1
…
un2
u (2)计算重要性排序。根据判断矩阵,求出其最大特征根λ方程如max所对应的特征向量w。下:
Pw=λmaxw所求特征向量w经归一化,即为各评价因素的重
要性排序,也就是权重分配。
(3)一致性检验。以上得到的权重分配是否合理,还需要对判断矩阵进行一致性检验。检验使用公式:
CR=CI/RI
(1)
法。它是把复杂问题中的各因素划分成相关联的有序层次,使之条理化的多目标、多准则的决策方法,是一种定量分析与定性分析相结合的有效方法。
2 层次分析法
层次分析法首先将所要进行的决策问题置于一个大系统中,这个系统中存在互相影响的多种因素,要将这些问题层次化,形成了一个多层的分析结构模型。之后运用数学方法与定性分析相结合,通过层层排序,最终根据各方案计算出的所占的权重,来辅助决策。
层次分析法(AHP)确定权重的步骤如下
[1,2]
式中,CR为判断矩阵的随机一致性比率;CI为判断矩阵的一般一致性指标。它由下式给出:
(2)CI=(λmax-n)/(n-1)
RI为判断矩阵的平均随机一致性指标,1～9阶的
判断矩阵的RI值参见表1。
表1 平均随机一致性指标RI的值
nRI
10
20
3456789
0.580.901.121.241.321.411.45
:
当判断矩阵P的CR
=0时,认为P具有满意的一致性,否则需调整P中的元素以使其具有满意的一致性。
(1)构造判断矩阵。以A表示目标,ui、uj(i,
j=1,2,…,n)表示因素。uij表示ui对uj的相对重
收稿日期:2006-11-15.
作者简介:常建娥(1962-),女,湖北襄樊人,武汉理工大学机电工程学院副教授.基金项目:湖北省自然科学基金资助项目(2003ABA014).
武汉理工大学学报・信息与管理工程版 2007年1月
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3 应用实例
以企业如何从可靠性、维修性、经济性三个方面来决策设备的维修方式为例,阐述AHP确定权重的基本过程。
(1)分层。首先将设备维修方式决策问题所
涉及的因素分层,第一层包括3个因素,即U={u1,u2,u3};第二层包括8个因素,即u1={u11,
u12,u13,u14},u2={u21,u22},u3={u31,u32}。各层
因素的实际意义和关系如图1所示
。
图1 层次结构模型
定义第一层次权重集为A=(a1,a2,a3),第二层次权重集为A1=(a11,a12,a13,a14);A2=
(a21,a22);A3=(a31,a32)
(2)确定各层次判断矩阵P。构造第一层次
T3
表5 T3←{u31,u32}
u31
u32
u31u32
13
1/31
的判断矩阵P,如表2所示。构造第二层次的判断矩阵P,如表3、表4和表5所示。
表2 T←{u1,u2,u3}
Tu1u2u3
u1
u2
u3
(3)求解特征向量w。根据方根法求解,以
第一层次的U←{u1,u2,u3}为例,其判断矩阵具
体形式如下:
u11
P=
u21u31
u12u22u32
u13u23u=
11/41/8
411/5
851
11/41/8
411/5
表3 T1←{u11,u12,u13,u14}
T1u11u12u13u14
u11
u12
u13
u14
①计算判断矩阵P每一行元素的乘积Mi;
②计算Mi的3次方根Wi;
③对向量W=(W1,W2,W3,)作归一化或正规划处理,即
Wi=Wi21/21/21
11/21/21/2
2112
2112
6W
i=1
3
表4 T2←{u21,u22}
T2u21u22
u21
u22
11/6
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则W=(W1,W2,W3)即为所求特征向量。
根据以上步骤可以算出U←{u1,u2,u3}判断矩阵的特征向量为,W=(W1,W2,W3)=(0.6986,0.2370,0.0643)。
(4)一致性检验。以上特征向量是否就是合
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理的权重分配,还需要对判断矩阵进行一致性检验。其方法如下:
①计算判断矩阵的最大特征值λmax。
λmax=
用户界面如图2所示,在性能因素框内勾选
可靠性时,评价因素框内会相应的点选可靠性包含的几个评价因素。选择维修性、经济性的情况与勾选可靠性类似。
性能因素全部选择完后,单击图2中的“下一步”按键就会弹出图3的界面。在判断矩阵P方框内输入判断矩阵数据后,单击“计算”按键,在计算结果方框内显示出结果。如果一致性检验满足的话,就不需重新调整。
,”按键,判断矩阵,,直到。按照同样的方法和类似的。
6
3
(PW)inWi
=
n
i=1
6
3
(PW)iWiu13u23uW1W2W(3)
i=1
式中,(PW)i表示PW的第i个元素,且n=3。
(PW)1
PW=
(PW)2(PW)=
u11u
21u31
u12u22u32
代入已知数据计算得λ.0940。max=3
②一致性检验,检验使用公式:CR=CI/RI,CI=(λmax-n)/(n-1)代入n=3,RI=0.58,λ.max=30.0810
,因此W=(W1,W2,U←{u1,u2,u3},A=(a1,a2,a3)=(0.6986,0.2370,0.0643)。
(5)计算第二层次的权重集。按照上述方
法,可以计算出如下第二层次权重集:
A1=(a11,a12,a13,a14)=(0.3925,0.1650,0.1650,0.2775),λ1max=4.0604,CR1=0.0224
A2=(a21,a22)=(0.8571,0.1429),λ2max=2,CR2=0
A3=(a31,a32)=(0.2500,0.7500),λ3max=
图3 判断矩阵P及其权重计算结果
2,CR3=0
5 结 论
层次分析法思想简洁,使用灵活,成功地应用
于多目标决策,特别适用于缺少定量数据进行定性判断的情况下。采用判断矩阵构造方法可将判断结果定量化,得到具有足够满意一致性的判断矩阵,且有利于在计算机上实现。参考文献:
[1] 许树伯.层次分析法原理[M].天津:天津出版社,
1988.
[2] 谢承华.AHP及其应用[J].兰州商学院学报,2001,
(2):79-82.
4 应用程序
用AHP计算权重要涉及大量的矩阵计算,且
计算复杂繁琐。为了能使计算简便快捷,便于使用者操作,笔者用MATLAB编写了应用程序,设计了比较简洁明了的用户界面。
图2 因素选择
武汉理工大学学报・信息与管理工程版 2007年1月
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ResearchontheWeightofCoefficientthroughAnalyticHierarchyProcess
ChangJian′e,JiangTaili
Abstract:Theweightofcoefficientistheembodimentofexperts′experiencesanddecisionmakers′will,whichliesontheprecisionofmultistagedecision.Itisthekeyofmultistagedecision.Theweightofcoefficientcanbeobtainedinanalytichierarchyprocess,whichoffersgroundsfordecision.Practicalexamplesprovethatthisdecisionmethodisvalidinenterprises.
Keywords:multistagedecision;weightofcoefficient;analytichierarchyprocess
ChangJian′e:Lect.;SchoolofMechanicalandElectricalChina.
[编辑:李道文]
(上接第152PredictionoftheDemandofSparePartsStorageCostinWartime
SunShengxiang,LiZhengyu,AnTianxia
Abstract:Onthebasisofthecharacteristicsofthedemandofsparepartsinthefirst-aidrepair,thereasonofthedemandofsparepartsisanalyzed.Thepredictionmodelofthedemandofsparepartsstoragecostinwar2timeisestablished.Thismodelconsidersfactorsinfull-scale,thedatacanbecollectedeasily,andtheac2countisnotdifficult,sothedecision-makercanmakeascientificdecision-makingonwhatisactuallyhap2peninginthewartime.
Keywords:spareparts;wartime;storagecost;predictionmodel
SunShengxiang:Lect.;DepartmentofEquipmentEconomics,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China.
[编辑:李道文]