阿波罗尼斯圆的解题运用
誓
赵春雷常国庆
让我们首先来回顾一下２０１３年江苏高
Ｏ），Ｂ（１，Ｏ），如果动点Ｐ满足】ＰＡｌ＝２ＩＰＢｌ，考第１７题：
则点Ｐ的轨迹所包围的面积等于
（
）
如图１，在平面直角‘ｙ
Ａ．７ｃ
Ｂ．４７ｃ
Ｃ．８ｎ
Ｄ．９ｎ
坐标系ｘＯｙ中，点Ａ（０，３），直线Ｚ：Ｙ一２ｘ一４，设圆Ｃ的半径为１，圆心在。
皤ｒ
２．（２００８年江苏卷）若ＡＢ＝２，ＡＣ＝
√２ＢＣ，则Ｓ△ＡＢｃ的最大值是
．
Ｚ上．
／
？
既然阿波罗尼斯圆经常会在高考中考查到，那么我们有必要对阿波罗尼斯圆的理（１）若圆心Ｃ也在直线了一ｚ一１上，过点Ａ７
解与解题运用再作一次深入的探究．先仿照作圆Ｃ的切线，求切线的图１
课本习题做一个练习：
方程；
矽例１已知点Ｐ（ｚ，ｙ）与两定点Ａ（一导，
（２）若圆Ｃ上存在点Ｍ，使ＭＡ＝２ＭＯ，
０），Ｂ（一５，０）的距离之比为导，那么点Ｐ的
求圆心Ｃ的横坐标盘的取值范围．
解答省略．
坐标应满足什么关系？
此题第（２）小题中点Ｍ的轨迹为圆，并解
由题意侍两ＰＡ＝了３，即嚣一吴，
且此圆有一个名称，叫做阿波罗尼斯圆．如
，
．９、２
。
果能清楚这个阿波罗尼斯圆的概念，此题就
Ｊ十ｙ。
ｏ
很容易转化为两个圆之间的位置关系：两圆所以专ｊ矗衙一旦２５，整理得２５Ｔ２＋８１
ｌｚ十ｉ有公共点，即两圆相交或相切（包括内切和
＋９０ｘ＋２５ｙ２＝９ｘ２＋９ｙ２＋２５×９＋９０ｘ，所外切）．
以１６ｘ２＋１６ｙ２＝１６×９，即ｚ２＋∥２＝９．
但是阿波罗尼斯圆在课本上并没有给
这道题本质上就是阿波罗尼斯圆定义出明确的定义，只有这样一道习题：已知点
的一个直接运用．反过来，我们知晓了阿波Ｍ（ｘ，ｙ）与两定点Ｏ（０，ｏ），Ａ（３，０）的距离之
罗尼斯圆的定义之后，可以很方便地找到一１
些题目的解题方法．
比为÷，那么点Ｍ的坐标应满足什么关系？
厶
事实上，阿波罗尼斯圆的定义如下：在
ｔ例２已知两定点Ａ（一詈，ｏ），Ｂ（一５，
平面上给定两点Ａ，Ｂ，设点Ｐ在同一平面上
ｏ），点Ｐ在圆ｚ
２＋ｙ２＝９上，求嚣．
Ｄ＾
且满足嚣一Ａ，当Ａ＞ｏ且Ａ≠１时，点Ｐ的
解
略．
轨迹是一个圆．
此题不过是已知阿波罗尼斯圆和两个
课本上虽然没有阿波罗尼斯圆的定义，
定点，然后求这个比值而已．我们事先就应但在高考中的考查却并非第一次．如：
该知道这个比值是一个定值，且是不为１的１．（２００６年四川卷）已知两定点Ａ（一２，
正数．事实上，只要给出其中一个定点的坐
●＿。、
ｉ瞄险、目＿－ｍ！腑州。Ｕｉｌｉｆ．，ｅｒ酊ｔｙ‘Ｌ：ｌｔｔｎｌｎｃｅ匹《。？ｍｎ￡幻ｎ万方数据
曩
标，另一个定点的坐标就已经确足Ｊ．
一一７９，所以Ａ
０
眵例３
已知圆Ｏ：ｘ２＋２２＝９，点Ｂ（一５，
Ｏ），在直线ＯＢ上，存在定点Ａ（不同于点
以Ａ（一号，ｏ）
在此题中
点共线的结论．事实上，即便不清楚这个结论，也一样可以求出比值和另一个定点．
Ｂ），满足对于圆０上任意一点Ｐ，都有万ＰＡ—
ｉ３，试求所有满足条件的点Ａ的坐标．
解设Ｐ（ｘｏ，ｙｏ），Ａ（ｔ，ｏ），￡≠一５且ｔＥ
■例５
已知圆Ｏ：ｚ２＋了２—９，点Ｂ（一５，
Ｒ，则ｚｊ＋ｙｊ一９，因为嚣一詈，所以瓦ｐＡ酽２一
０），是否存在定点Ａ（不同于点Ｂ），满足对于
鑫，即毫糕＝磊９，整理得器
Ｚ０
圆。上任意一点Ｐ，都有篙为一常数？若
存在，求所有满足条件的点Ａ的坐标，并求
０＋９５０ｔ１８—２５ｔ２２一８１，此方程对无一磊９，即（＋一磊，即（）ｚ。一２５）ｚ。一，此方程对无
篙；若不存在，说明理由．
‘解题过程请同学们自己动手．
由本题可以看出，运用阿波罗尼斯圆的定义，只要圆方程和其中一个定点的坐标确定，另一个定点的坐标就已经确定了，而且比值也确定了．至于条件是否给出比值，是否运用两个定点与圆心三点共线的结论，一样可以求出结果，差别就是运算过程中字母的多少与运算的繁简．
事实上，像２０１３年江苏高考题的第１７题，对阿波罗尼斯圆的考查是比较直接的，也是比较能容易看出来的，而有的时候考查得却比较隐蔽．如上文提到的２００８年江苏高考题，此题的难度在于首先要有解析几何的思想方法，建系以后可以得到圆方程，这样本题就迎刃而解了．当然此题也可以用解
穷多个ｚ。恒成立，巨ｆｉ
ｐｊ，｛９０－１－５０ｔ＝０＇．所以￡
一一詈，所以Ａ（一詈，ｏ／１．
０
＼
０
例２是已知圆方程和两个定点，求出比值；例３是知道圆方程、一个定点和比值，求出另一个定点．那么把两者结合，能否由圆方程和一个定点出发，同时求出比值和另二个定点呢？
嗲例４
已知圆０：ｚｚ＋ｙｚ一９。占、Ｂ（一５，
０），在直线ＯＢ上，存在定点Ａ（不同于点
Ｂ），满足对于圆０上任意一点Ｐ，都有万ＰＡ为
一常数，试求所有满足条件的点Ａ的坐标，
并求嚣．三角形的知识解决．下面再看两个题目：
解设Ｐ（ｚ。，ｙ。），Ａ（￡，ｏ），￡≠一５，嚣矽例６设复数２一ｚ＋ｙｉ（ｚ，ｙ∈Ｒ）且
一Ａ，Ａ＞。且Ａ≠１，则ｚ；＋ｙｇ＝９，因为面ＰＡ一
ｚ一１｝一２
ｚ＋１
Ｉ，则复数ｚ所对应的点的
．
轨迹的形状是
棚以警甜朋高等兹刊，整理
得笨筹窨甜卿（１吖＋２岫。彰＋９
—３４Ａ２，此方程对无穷多个ｚ。恒成立，所以
首先此题可以直接求解出轨迹方程．代入条件可得，／（ｘ－１）２＋夕一２￣／（ｚ＋１）２＋ｙ２，两边平方得ｚ２—２ｚ＋１＋ｙ２—４ｘ２＋８工＋４＋４ｙ２，
／
￡、２
移项得３ｘ２＋３ｙ２＋１０ｘ＋３—０，即（ｚ＋昔）＋
ｙ２一芸，所以答案是圆．
了
｛。ｌ。Ｏ十Ａ２。＋一２Ｊｔ４＝＾Ｏ。一，。，消去Ａ２得５ｔ２＋３４ｔ＋４５一
但事实上没有必要求出方程，利用复数
ｍｗ‘Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ＇／：：订ｉｒａ咒ｃｅ＇ｆ２叼ａｍｉｎａｔｉｏ托－一＿
万方数据
，——◆
鏊囊－－ｉ＿誓＿＿
专题五
初等数论与组合数学
谢广喜（江南大学理学院）
题意要求的）存在性问题、构造性问题、可能
～一、初等数论基础知识及有关问题
相关的常见知识和问题主要有：奇数的平方被８除余１、质数与合数（２是唯一的偶质数，其余质数都是奇数）、奇数与偶数（两个整数的和与差的奇偶性相同）、不定方程的整数解、“对于任意一个有限大的自然数
情形有多少种（计数问题）、是否存在最“好”情形（最优化情形），等等．当然，其中部分问题（如染色问题等）也与其他内容（如图论、规划理论等）有交叉，我们熟悉的数列、排列与组合等都是组合数学的重要组成部分．
总而言之，求解自主招生考试中的组合数学部分试题，通常不像我们求解其他数学问题那样对背景、方法较为熟悉，而主要是结合具体的问题，采取具体的手段和方法，其中，抽屉原理等是必须要了解的．在解题中，如何巧妙地构造“抽屉”往往是关键．
Ｎ，Ｎ！兰Ｎ・（Ｎ一１）…・・２・１中含有素
因子户的方次为［鲁］＋［笋］＋［笋］＋…
（ｒｚ］是取整函数，此式虽然无限加下去，但是对于任意一个有限大的自然数Ｎ，从某一项开始向后全部为０，表达式自动截断为有限项）”，等等．
矽例１
２
（２０１２年北约试题）在１，２，…，
０１２中取一组数，使得任意两数之和不能
被其差整除，最多能取多少个数？
★二、组合数学初步
组合数学的研究对象主要包括：（满足模的几何意义，即点Ｚ到点（１，０）的距离是点Ｚ到点（一１，０）的距离的２倍，再利用阿波罗尼斯圆的定义，直接得到复数ｚ所对应的点的轨迹是圆，无需任何运算过程．
解析
在１，２，…，２０１２中取一组数，
记其中任意两数分别为ａ，ｂ（ａ＞６），若ａ一６—１，显然此时必有两数之和能被其差整除，
考此题：点Ｂ、点Ｄ即为定点，罴一２为定
，１上／
值，故点Ａ的轨迹即为一个阿波罗尼斯圆（同学们自己思考如何建系求点Ａ的轨迹方程），且圆心在ＢＤ上，故以ＢＤ为底边的△ＡＢＤ的最大的高即为圆半径，所以所求三角形ＡＢＣ面积最大值为２．
以上题目充分说明，阿波罗尼斯圆对于求解某些数学问题发挥着很大的作用．同学们在理解阿波罗尼斯圆概念的同时，要体会其中的数学思想和数学方法，融会贯通，在实际解题中灵活运用，那么一些题目我们就能轻松解决了．
参例７
在等腰三角形
ＡＢＣ中（如图２），ＡＢ—
ＡＣ，ＢＤ是腰ＡＣ的中线，且ＢＤ＝√ｉ，则Ｓ△船。的最大值是
．
ＢＣ
图２
本题旨在考查三角形面积公式、余弦定理，可利用解三角形的知识去解决此题（同学们可以思考一下怎么做）．换个角度去思
峰——、
瀚黪ｋ一万方数据