实验08:用单摆测定重力加速度

实验八：用单摆测定重力加速度

【实验播放】

1、实验目的：

(1)明确用单摆测定重力加速度的原理和方法；

(2)学会用单摆测当地的重力加速度，学会减小实验误差的方法； (3)知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。

2、实验原理：

物理学中的单摆是在一根细线的一端系一小球，另一端固定于悬点，若细线的伸长和质量可忽略，且小球的直径远小于线长，这样的装置称为单摆。

单摆在偏角很小(不超过10°)时，可看成是简谐运动，其固有周期为T=2π

42LT2

L

，由此g

可得g=；据此，通过实验方法测得摆长L和周期T，即可计算得到当地的重力加

速度的值。

由于一般单摆的周期都不是太长，摆长在1m左右的单摆，其周期大约2s，依靠人为操作的秒表来测量单摆振动一个周期的时间，其误差必然较大，所以，我们不是测量单摆振动一个周期的时间，而是测量几十个周期的总时间，再来利用平均值确定一个周期的时间，从而减小由于人为操作而产生的误差。

3、实验器材

铁架台和铁夹、金属小球(球上有一通过球心的小孔、秒表、细线(长约1m)、刻度尺(最小刻度为mm)。

4、实验步骤

(1)让细线穿过球上的小孔，在细线一端打一个稍一些的线结，制成一个单摆。

(2)将小铁夹固定在铁架台的上端，将铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后将单摆的上端固定在铁架台的上端，使摆球自然下垂，在实验桌边缘正对摆球(或摆线)处做上记号，如图所示，实验时以摆球通过此标志为准。 (3)用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心的距离)。

(4)将单摆从平衡位置拉开一小角度，再释放小球，当小球摆动稳定后，过最低位置(即标志处)时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出单摆一次全振动的时间，即单摆振动的周期。 (5)改变摆长，反复测量3次，算出周期T及测出的摆长L，将每次实验数据填入实验记录表格中。

5、数据处理

4LT2

(2)方法一(公式法)：将实验数据代入公式g=后求g的平均值，即为本地的重力加速度。

，求出每次重力加速度的值，然

方法二(图象法)：利用实验中的数据进行l—T2图像处理，从单摆的周期公式T=2π

L

g

知道，当重力加速度g一定时，单摆的摆动的周期T2跟摆长l的成正比，将实验的数据作相应的转换，即算出T2，将其数据点描绘到l—T2图像中去，则楞通过图像的斜率求出重力加速度的值。

(3)将测得的重力加速度与当地重力加速度的数值进行比较，分析产生误差的可能原因。

6、注意事项

(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1m，小球应选密度较大的金属球，直径应较小，一般不超过2cm。

(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动发生摆线下滑，摆长改变。

(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过10°。

(4)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，检查摆是否在同一个平面内应从侧面观察摆的摆动情况。

(5)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通过做有标志的最低点时计数，并且采用倒数到0开始记时计数的方法，即…4、3、2、1、0，在数到“0”时同时按下秒表开始计时计数。

(6)要测出30到50次全振动的时间，取平均值的办法求周期。

7、误差分析

(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的摆动以及测量摆长是否出现失误等等，只要注意到了这些，就可使系统误差减小到远远小于偶然误差的程度。 (2)本实验的偶然误差主要来自于时间(即单摆的周期)的测量上，为了准确，应采取倒计时的方法测量全振动的次数，同时应多次振动次数。 (3)本次实验中进行长度(摆线长、摆球直径)的测量时读数读到毫米位即可，秒表读数读到秒的十分位即可。

【试题解析】

例1 在用单摆测定重力加速度实验中：

(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些?将你所选用的器材前的字母填在题后的横线上． A．长lm左右的细绳； B．长30cm左右的细绳； C．直径2cm的铅球； D．直径2cm的铁球； E．秒表； F．时钟； G．分度值是lcm的直尺； H．分度值是lmm的直尺；

所选器材是 。

(2)实验时对摆线偏离竖直线的要求是；理由是 。 解析 (1)所选器材为A、C、E、H．(2)偏角要求小于10°。 根据本实验的原理：振动的单摆，当摆角小于10°时，其振动周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比，而与偏角的大小(振幅)、摆球的质量无关，周期公式为：T=2π

42LL

，经变换得g=2．因此，在实验中只要测出单摆的摆长L和振动周gT

期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，本实验的目的是测出g的值，而不是验证单

摆的振动规律．如果在实验中选用较短的摆线，既会增大摆长的测量误差，又不易于保证偏角θ小于10°。摆线较长，摆角满足小于10°的要求时，单摆的振动缓慢，方便计数和计时．所以应选A。摆球应尽量选重的，所以选C。

因为单摆振动周期T的测量误差对重力加速度g的影响较大，所以计时工具应选精确度高一些的秒表．摆长的测量误差同样对g的影响较大，也应选精度较高的最小刻度为毫米的直尺，即选H。

(2)因为当摆球振动时，球所受的回复力F=mgsinθ，只有当θ

L

的关系式才成立。 g

例2 在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g= 。如果已知摆球直径为2.00cm，用刻度尺的零刻线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是 。如果测定了40次全

振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是 s。 单摆的摆动周期是 s.

解析 这是一道考查考生观察能力和刻度尺及秒表的读数方法的考题．关于秒表的读数问题，高考题中不只一次出现过，但是学生仍不会读，主要原因是不清楚分钟(短针)和秒钟(长针)之间的关

系．因此此题仍具有较

强的考查功能

本题答案为：g=

42LT2

，0.8740m或87.40cm，75.2s，1.88s．单摆的摆长应等于测量

值88.40cm减去摆球的半径lcm，得到87.40cm。

例3 某同学在用单摆测定重力加速度的实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：

以L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2—L图线，并利用此图线求重力加速度．

解析 由单摆周期公式T=2π

2

L24L，所以可得T=

gg

42

T—L图线是过坐标原点的一条直线，直线斜率是k=，

g

2

42

因此g=，作出图象如图所示，求得直线斜率为是k=4.00，

k423.1424

即g===9.86(m/s2)。

k4.00

例4 一位同学用单摆做测量重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤： A．测摆长l：用米尺量出摆线的长度。

B．测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间t，算出单摆周期T=t/60．

C．将所测得的l和T代入单摆的周期公式，算出g，并将它作为实验的最后结果写入报告中．

指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母并加以改正．(不要求进行误差计算)．

解析 单摆的摆长应该是悬点到球心的距离，周期应该是完成一次全振动所用的时间，最终结果应该是多次测量的平均值．据此解答如下：

A改正为：要用卡尺测摆球直径d．摆长l等于摆线长加d/2．(或：用米尺测量摆长时，摆长的下端从球心算起．)

B改正为：当数到摆球第60次通过最低点时，单摆只振动了59个“半周期”；所以T=t/29.5。

C．改正为：g应测量多次，然后取g的平均值作为实验最后结果。(或摆长和周期测量要进行多次，并取它们的平均值为l和T，算出g)

在分析步骤B时，有的同学可能认为T=t/59，有的同学可能认为T=t/30，主要原因在于对在时间t内单摆振动是经过了59个“半周期”没有获得正确的认识。

例5 将一根细线从天花板上吊下来(无法直接测量它的长度)，下面悬挂一个形状不规则的物体，构成一个单摆．现在给你一个秒表、直尺，试设计用此单摆测定重力加速度的方法．

解析 本实验是分组实验“用单摆测重力加速度”的实验的演变，这种类型的设计实验，在设计实验中占有较大的比重，解决的突破点是看一下原实验的实验方法在解决本实验中有何困难，然后再找出办法来突破这一难点。用单摆测重力加速度的公式是由T=2π

42LL

，得g=2，其中T为单摆的振动周期，L为单摆的摆长，它是指从悬点到gT

摆球重心之间的距离．在本题中有两方面的困难：一是摆线太长，悬点太高，无法直接

测量；二是悬挂的重物形状不规则，其重心难以测定，这时就需要采用其他途径．我们可以采用两次悬挂法来解决这个问题．

先测出在某一摆长下的单摆的周期T1，设此时的摆长为L1，根据单摆的周期公式有

T12gL1

T1=2π，解得L1=。

g42

然后，将摆长缩短ΔL，使摆长变为L2，测出此时的周期为T2，根据单摆的周期公式

T22gL2

有T2=2π，解得L2=。 2g4

因为L1- L2=ΔL。 所以 ΔL =

22

(T1-T2)g

4

2

解得 g=

42LT1-T2

2

2

所以只要测出ΔL、T1和T2就可以测出当地的重力加速度g。

【实验拓展】

1．用滴水法测重力加速度

例6 调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一个水滴落到盘子时恰好有另一水滴从水龙头开始下落，而空中还有一个

正在下落的水滴．测出水龙头到盘子间距离为h，再用秒表测时间。从第一个水滴离开水龙头开始计时，到第N个水滴落至盘中，共用时间为T，第一个水滴落到盘子时，第二个水滴离开水龙头的距离是 ，重力加速度g＝ 。 解析 如图所示，用标号1，2，3分别表示第一、二、三滴水滴，水滴做自由落体运动，设每滴水从水龙头落至盘中经历时间为t0，则第一滴水落至盘中时有h=中，它已从水龙头下落历时有

h1=

1t02hg()= 242

121

t0=t0 22

1

gt02，此时第二滴水正在空2

t0

，设此时它离开水龙头距离为h1，2

第一滴水落盘时：t1= t0，(从第一个水滴离开水龙头开始计时) 第二滴水落盘时：t2= t0+第三滴水落盘时：t3=……

第N滴水落盘时：tN= 则 t0=

N1

t0=T 2

3131t0+t0=t0 222

12T

，代入h=gt02

2N1

N12h

得g=()

T2

答案：

hN12h

； ()。 4T2

2．利用电磁打点计时器做“测定重力加速度”的实验：

例7 利用打点计时器来研究物体做自由落体运动的规律可用来测定g值。在实验中让重锤带动穿过竖直固定的打点计时器的纸带自由下落，利用电磁打点计时器打出的一系列点，便可测出自由落体的加速度的大小，某同学按照打点计时器打出的自然点的情况，记下如图所示的七个点x0，x1，x2，x3，x4，x5，x6，并测量出各点到x0点的距离分别如图所示，(1)根据图中数据可求出打x1，x2，x3，x4，x5各点时的瞬时速度大小分别为 (均以m/s为单位)；(2)根据求得的瞬时速度的大小绘出v—t图像，可求出重力加速度g的值为 m/s2。

解析 本题处理实验数据时要注意：①题中给出的是自然点作为记数点，每两个点间的时间间隔为0.02 s；②题中给出的距离是各个点到x0点的距离，且单位是厘米须换算 成米；③求瞬时速率的方法是根据求平均速度的方法求得的，即做匀加速直线运动的质 点，在一段时间丁内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速率，所以各点的瞬时速率可求出。

v1=v2=v3=v4=v5=

2.300.01

=0.575 m/s

0.04(4.00-0.95)0.01

=0.763 m/s

0.04(6.10-2.30)0.01

=0.950 m/s

0.04(8.60-4.00)0.01

=1.150 m/s

0.04(11.50-6.10)0.01

=1.350 m/s

0.04

v

=9.70 m/s2 t

绘v—t图像采用描点法，图像从略． 由图像可得：g=

答案：(1) 0.575、0.763、0.950、1.150、1.350；(2) 9.70。

3．测量凹球面的半径

例8 请用秒表、卡尺和一个小钢球粗略测量凹面镜(或凹透镜)的半径。

解析 其简要测量方法如下： 将凹面镜水平放置，上面放一个小钢球，如图所示，如果球在凹面内振动，不难证明，它的振动完全跟摆长为R-r的单摆的谐振相似．

由T=2π

gT242

R-r

g

得R=+r

由上式可知，只需测量小球在凹面内的振动周期和小球的半径即可测出凹球面的半径，测周期T的方法同前述实验中所述测单摆周期的方法一致．r可由游标卡尺测量小球的直径d后由r=

d

求得。 2

4．利用单摆实验测定山的高度

例9 某山高耸入云，两登山运动员想估算一下山顶到山脚的高度，但他们没有带

尺，也没有手表等计时装置．他们开动脑筋，在背包上抽出一根较长的细线，两人合作

在山脚和山顶各做了一次实验，便估算出了山的高度。请写出测量方法及需记录的数据，推导出山的高度的计算公式(假设他们的身体状况没有因为登山活动而改变，地球的半径只已知)．

解析 长为l的细线拴住一个石子做成一个单摆，由于他们的身体状况没有因为登山活动而改变，故脉搏跳动的快慢不变．设甲运动员的脉搏两次跳动的时间间隔为Δt，先在山脚下记下某段时间内甲运动员脉搏跳动的为次数n1，在甲运动员的脉搏跳动n1的时间内单摆振动的次数N1．设Tl为单摆在山脚时的周期，g0为山脚的重力加速度，显然有

n1Δt= N1Tl=2πN1

l g0

①

在山顶，记下某段时间内甲运动员脉搏跳动的为次数n2，在甲运动员的脉搏跳动n2

的时间内单摆振动的次数N2．设T2为单摆在山顶时的周期，gh为山顶的重力加速度，则有

n2Δt= N2T2=2πN2

l gh

②

由①②两式有

g0nN

=(1)2 (2)2 ghn2N1

③

设山的高度为h，地球的质量为M，物体的质量为m，万有引力常数为G，由万有引

力定律与牛顿第二定律有，

GMmmg0=2

R

mgh=

GMm(Rh)2

g0R2

=() ghRhn2N1-n1N2

R。

n1N2

由上两式可得由③④可得h=

④

5．航天活动

例10 假设我们已经进入了航天时代，一个由三名高中学生组成的航天兴趣小组正乘外星科学考察飞船前往X星球，准备用携带的下列器材测量X星球表面的重力加速度gx，这些器材是：

A．钩码1盒，质量未知且各钩码质量不等 B．重锤1个，质量未知

C．带孔金属小球一个，直径已知为d

D．太阳能电池板一块，输出的直流电压可满足测量要求 E．无弹性丝线若干根 P．导线，开关若干

G．刻度尺l把 H．测力计1个

I．天平1台(含砝码l盒)

J．打点计时器1台(含复写纸、纸带) K．电子秒表1只

L．带有光控计时器的实验平板一块(在乎板两端各有一个光控门，同时还配有其 专用的直流电源、导线、开关、重锤线、滑块，该器材可用来测量滑块从一个光控门运动到另一个光控门的时间)

M．支架(能满足实验所需的固定作用)

到达X星球后，三名学生从以上器材中选择各自所需的器材(同一器材可以重复选用)，用不同的方法各自独立地测出了重力加速度gx的值．现请你完成他们所做的实验． 解析 实验一：

(1)器材有A，H，I． (2)主要的实验步骤是： ①选取一个合适的钩码，用天平测出其质量m； ②用测力计测出该钩码的重力F； ③计算重力加速度的表达式为gx=

F

。 m

实验二：

(1)选用的器材有C，E，G，K，M． (2)主要的实验步骤是： ①组装并安装好单摆，测出摆线长度l； ②测出几次全振动的时间t，算出周期T= ③由单摆周期公式可得gx=

22n2(2ld)

t

2

t

； n

。

实验二：

(1)选用的器材有G，L，M． (2)主要的实验步骤是： ①将带光控计时器的平板用支架竖直架稳； ②测量两个光控门之间的距离h ③把滑块从上面的一个光控门处自由释放，读出下落时间t

12h

由公式h=gt2可知gx=2。

2t

【考点训练】

1．某同学在做利用单摆测定重力加速度实验中，如果测得的g值偏小，可能原因是 A．测摆线长时摆线拉得过紧

B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动使摆线长度增加了 C．开始计时时，秒表按下时刻滞后于单摆振动的计数 D．实验中误将49次全振动记为50次全振动

2．在“用单摆测重力加速度”的实验中，以下的做法中正确的是( )。 A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线的长

B．测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及 时停止计时，然后求出完成一次全振动的时间

C．要保证单摆自始至终在同一竖直平面内摆动 D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°

3．图 所示是一只秒表，这只秒表最小分度是 ，最大计时是 ，此表所记录的时间示数为 。

3．用单摆测定重力加速度实验中，得到如下一组有

(1)利用上述数据在图 中描出图线

(2)利用图线，取4π2=39.5，则重力加速度大小为。

(3)在实验中，若测得g值偏小，可能是下列原因中的 ( ) A．计算摆长时，只考虑悬线长度，而未加小球半径 B．测量周期时，将n次全振动误记为n +1次全振动

C．计算摆长时，将悬线长加小球直径 D．单摆振动时，振幅偏小

5．在用单摆测重力加速度实验中，操作时，必须注意下面的问题．请在横线上填上题设中的关键问题． A．摆球要选用密度较而直径较的小球．摆线要选取较 且线径较 和不易伸长的线．

B．在固定摆线上端时应用铁夹夹紧，不要缠绕，悬点要固定不变，以免在摆动过程中 发生变化．

C．摆长是从

D．实验时必须控制摆角在以内，并且要让单摆在内摆动．

E．测量单摆周期时，等单摆自由振动几次之后，从摆球经过位置开始计 时，因为这时摆球的速度 ，容易观察，可以减小误差．

6．某同学用单摆测重力加速度，测得的结果比当地重力加速度的真实值偏小，他在实验操作上可能出现的失误是 ( )．

A．测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的直径 B．选用摆球的质量偏大

C．在时间t内的n次全振动误记为n+1次 D．在时间，内的n次全振动误记为n-1次

若各组实验技术水平一样，那么第组测定的

结果最准确．

该组用实验方法作出的单摆的振动图像如下图所

示，则该组测出的重力加速度是

m/s2．(取三位有效数字) 8．在用单摆测定重力加速度的实验中，测得摆球直径d=1.00cm，摆线长l′=99.50 cm，单摆在80.5s内完成40次全振动，问： (1)当地的重力加速度的测量值多大?

(2)将此实验装置移到高山顶上，所得周期如何变化? (3)该次测量的相对误差是多大?

(当地公认的重力加速度值为9.80m/s2)

9．为了测定当地的重力加速度，某同学设计了如图所示的实验装置．A是放在斜面上的小车，B和C是固定在斜面体侧面的光电计时器D的光电门．当小车上的挡板先后经过B和C两光电门时，计时器D就会记录下小车在B 和C两点间运动所用的时间t．该同学还测出了小车与斜面间的摩擦因数μ，为了完成实验，他还须测出哪些物理量的值?用测出的物理量的代表字母，写出计算g值的表达式．

10．你能用一块秒表、一个小球(沿直径方向穿孔)、细线及支架测量出一个矩形桌面的面积吗？如果能，请简要说明其测量方法。

【答案与提示】

1．B．根据g=

42LT2

可知，g偏小可能原来是L的测量值偏小或T的测量值偏大．选项

A中摆线拉得过紧，使L变大，因此测得g偏大；选项B中，在摆长已测定情况下，由于悬点松动使摆长增加，实际振动的摆长大于测量值，所以测量g值也偏小．选项C和D均为测得的周期偏小，故g值偏大．

2．C．实验中摆长L应是悬点到钢球上边缘的距离L′加上钢球的半径R，所以A错． 观察和记录振动次数，应以平衡位置为准，这是因为摆球在通过平衡位置时的即时速度最大，因此判定摆球经过这个位置时的时刻产生的计时误差较小，所以B错． 必须保证单摆自始至终在同一竖直平面内摆动，否则会形成锥形摆，而锥形摆的周期公式和单摆的周期公式是不同的，因此C正确． 单摆振动时，偏角不能超过10°，所以D错．

3．0.1s，12min，3′43″2

4．(1)如图 所示；

(2)9.875m/s2(由图可知，只有第1次测量数据偏离直线较远，也说明摆长太短，测量误差较大．从第2次至第5次的结果均在图线上．ΔT2=(4.8-2.4)s2=2.4s2，

L

ΔL=(1.2-0.6)m=0.6m，k′=，根据由单摆周期公式2

TT=2π

g

gL

可得L=2T2，所以L—T2图线的斜率是g4

k′=

0.622L22，因此g=4πk′=4π(m/s)=9.875(m/s)。 222.44T

5．A(大、小、长、细)；B．摆长发生变化；C．摆线悬点，摆球球心；D．10°，竖直平面(防止摆球做圆锥摆运动)；E．平衡位置，最大．

A项操作的目的是尽量使摆球的运动接近理想中的单摆．B项操作的目的是尽量保证摆长在振动中保持不变．C项强调测量摆长时不要将摆球的半径漏掉．D项操作的目的是防止摆球做圆锥摆运动，要求释放摆球时既不得使摆球旋转，又不能给它以水平方向的初速．E项操作的目的是保证测单摆振动周期时既方便观察、方便记录全振动次数，又能减小计时误差．

6．本实验中，当满足单摆偏角小于10°时有T=2π

42LT

2

L

，即T与摆球的质量和振幅无关，g

上述公式变形得g=，所以测量时如果摆长没有加上摆球半径，会导致L偏小，从

而导致g偏小，所以选A．

因与摆球质量无关，故B错．

测周期时，在时间t内将n次全振动误记为n-1次全振动，会导致T偏大，从而导致g值偏小，故选D，而C错． 答案 选A，D．

7．在实验中，为了保证单摆做简谐振动，摆角应小于10°，为了保证振幅足够大且振动周期较大，应选用长度约为l m的摆线，为减小空气阻力的影响，应选用体积小、密度大的摆球．为减小周期测量误差，应进行多个周期的测量，一般测30一50个周期的总时间，所以第5组最准确．从振动图像可以看出，周期T=1.80 s，由g=

42LT2

计算得

g=9.74m/s2。

8．(1)9.76 m/s2 (2)高山上的重力加速度将减小，在摆长不变的条件下，周期将增大，摆动变慢了。 (3)0.408%

9．须测的物理量是：斜面倾角θ和B，C两点间斜面的长度l。计算g值的表达式为g=

2l

(sin-cos)t2

10．能。用细线和小球做成一个单摆，使小球的球心到悬点的距离等于桌子的长边的长度L1，测出单摆的周期T1，查出当地的重力加速度g值，由公式T=2π

gL

导出L=2T2，g4

把T1和g的值代入上式便可计算出L1，用同样的方法可提到桌面短边的长度L2，则桌面

的面积为S= L1 L2。