半球体的焦点在哪里?
【章佳杰的回答(16票)】:
谢邀
题主的问题是单纯的几何光学。
从题主的问题描述中「问题2:改变圆形的光线的投射高度,即改变了投射到半球面圆形的半径」这句话看,题主假设的是一个点光源吧?也就是下面这种场景
那么,很遗憾地告诉你,这些反射光线反向延长后并不汇聚到一个点上,这种现象叫做球差(球面像差)。
如果题主懂解析几何的话,不妨自己建立坐标系算一算。
我这里帮你算了一个(假设球心在原点),B 点的坐标是我这里帮你算了一个(假设球心在原点),B 点的坐标是
我想,这个式子能解答题主的两个问题了。
回答1:不会,上面那个式子里含有角度,说明反射光线的反向延长线的交点是随着角度不同而变化的。
回答2:不是,上面那个式子里含有光源的位置,说明不同位置的光源反射光线的反向延长线的位置也是不同的。
给一些直观的结果吧。
假设 x0 = -3R(也就是距离半球面顶部 2R),那么B点的坐标随角度的变化是这样的:
这里 B 点的位置随着角度不同而不同的现象就叫做「球差」了。
那么,为什么在中学课本中说到凸面镜的时候说「凸面镜对实物成一个正立缩小的虚像」呢?如果光线的反向延长线不交于一点,那怎么成像呢?
答案就是:对于近轴光线,「反向延长线交于一点」这个结论是对的
什么是近轴光线?简单说,就是离光轴特别近的光线。对应到上面这个例子来,就是角度
特别小的光线。
直观来说,你看上面这个曲线,在角度接近0的部分是不是相对比较平坦?说明在角度很小的时候,角度的变化对于 B 点位置的变化是影响不大的。这一点其实很容易证明,把 B 点坐标的表达式在 0 点进行级数展开:
当
很小的时候,上面第二项开始就都可以忽略了,也就是 B 点位置与角度无关。
中学课本里说的所有的结论和公式,全都是在近轴光学范畴里成立的,包括各种透镜成像公式/规律,球面镜成像公式/规律。
再多说一句,如果将 C 点到球面顶点的距离作为物距离 u,将 B 点到球面顶点的距离作为像距 v,那么,在近轴条件下可以得到
所以简单代换一下就可以得到:
看,凸球面镜的成像公式就这么来了,而且可以看出,R/2 就是球面镜的焦距。
其实,从 B 点位置的表达式也可以直接推出球面镜的焦距,令 x0 趋向负无穷:
再再多说一句,近轴光学里的光线行为是线性的,这大大简化了光线的计算。光线的传播、折射、反射都可以用矩阵来描述,上面@Zhang Tianyi 兄弟的答案说的就是这么回事。最早由高斯(是的就是那个大名鼎鼎的高斯)系统地总结归纳了近轴光学的性质,并用纯粹的代数学来计算光学系统的所有行为,建立了近轴光学的理论基础,所以近轴光学也叫高斯光学。
完毕。
【知乎用户的回答(1票)】:
写这个回答之前, 先说一下...自己的作业要自己做!
这个属于几何光学. 在Ray Optics里面, 一束光可以由两个量完全确定, 分别为y 和
(是不是和一次函数的那个斜率k 和截距b 有点像).
如果入射光是
, 反射光是
的话, 那这个模型应该是长成这个样子的.
然后中间那个Optical System就是题主说的那个半球面了. 这个半球面对光的影响可以用一个矩阵完全表示. 所以说这个公式是写成这个样子的.
而半球面所对应的矩阵是
题主说的这个情况, 应该是凸球面, 所以说R > 0. 所有的光线均为theta = 0. 所以对任意满足该条件的入射光线(y, 0), 反射光线为(y, 2y/R).
而光线的Free Space Propagation的矩阵为,
所以任何光线, 在z轴上移动d = -R/2 之后, 都会变成(0, 2y/R). 也就是所有光线都会在z = -R/2, y = 0上会聚. 所以说, 和高度y应该是没关系的. 和
关系能大一点.
【唐仁谋的回答(1票)】:
对 近轴光线 我记得是 R/2
【王韦恩卑鄙的回答(2票)】:
原来是反射 我看错了 噗
将入射光线反过来看 就变成了凹面镜的问题 一束平行光正向射入什么面可以聚焦到一点
凹面镜 - 必应网典
能够聚焦一点的凹面反射面是抛物面 所以球面不符合
【李刚的回答(0票)】:
会有球差的
【风冷的回答(0票)】:
题目本身说的就不怎么具体!怎么帮你解呢
原文地址:知乎