直线与平面.平面与平面的垂直的判定与性质
直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质及应用、求角
一、知识要点
1.直线和平面垂直:如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面记做l,l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面,
它们的交点P 叫垂足.如右图所示. 2.直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理一览表
3.直线与平面所成的角:如图直线PA和平面相交但不垂直,PA叫做平面的斜线, PA和平面的交点A 叫斜足;PO,AO叫做斜线PA在平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条直线和平面所成的角。 当直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它
们所成的角是0角.因此直线和平面所成角的范围是。
4.求直线和平面所成的角步骤:①一般先定斜足;②再作垂线找垂足;③斜足垂足连线得射影——找到了角;
然后通过解直角三角形求角;写结论。 可以简述为“作证求结论”。
o
5.二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,
这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面。
右图中的二面角可记作:二面角-AB- 或 -l-或P - AB - Q 。
6。二面角的平面角:如图在二面角-l-的l棱上任取一点O ,以点O为垂足,在半平面和内 分别作垂直于棱l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB
(1(2)二面角平面角的做法:
例1.如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,PAAB2,BC4,
E是PD的中点.
(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;(2)求二面角EACD的余弦值.
例2.如右图,把边长为1的正方形ABDC沿对角线BC折起得到三棱锥DABC,O是BC边上一点. (1) 求DO的取值范围; (2) 当DO取最小值时,证明:BC平面DAO; (3) 若DA1,求二面角ACDB的余弦值.
A
C
例3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;(3)求二面角ABCP的大小.
例4.已知直角梯形ABCD
的上底BCBC//AD,BC
是边长为2的等边三角形。
1
PCD平面PDC平面ABCD,CDAD,AD,
2
(1)证明:ABPB;(2)求二面角PABD的大小;(3)求三棱锥APBD的体积。
例5.如图,菱形ABCD的边长为4,BAD60,ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥BACD,点M是棱BC
的中点,DM(1)求证:OM//平面ABD; (2)求证:平面DOM平面ABC;(3)求二面角DABO的余弦值.
例6.在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,AEEB,AD//EF//BC,BC2AD4,AEBE2,
(Ⅰ)求证:AB//平面DEG;(Ⅱ)求直线BD与平面BCFE所成角的正切值; G是BC的中点.
(Ⅲ)求证:BDEG.
A
D
F
BC
例7.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,ADC45,ADAC1,O为AC中
点,PO平面ABCD,PO2,M为PD中点. (Ⅰ)证明:PB//平面ACM; (Ⅱ)证明:AD平面PAC; (Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
例8.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点作EFPB交PB于点F.
(1)证明:PA//平面EDB.(2)证明:PB平面EFD.(3)求二面角CPBD的大小.
1.如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点. (1)求证:EF⊥面BCD; (2)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.
2.在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PAAB,点E是PD的中点。 ⑴求证:ACPB; ⑵求证:PB∥平面AEC; ⑶求二面角EACB的大小。
C
3.如图在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且
B
PAPD
AD,设E、F分别为PC、BD的中点. (Ⅰ) 求证:EF//平面PAD;(Ⅱ)求证:面PAB平面PDC;(Ⅲ)求二面角BPDC的正切值.
AB
17.如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QAAB(1)证明:平面PQC平面DCQ;(2)求二面角QCPD的余弦值.
1
PD. 2
B
D P
A Q
18.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,SAAB,点M是SD的中点,ANSC且交SC于点N. (1) 求证:平面SAC平面AMN; (2)求二面角DACM的余弦值.
19.已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AB//CD,ADAB,ADABCD1,
2
1
PD面
ABCD,PDE是PC的中点
(1)证明:BE//面PAD;(2)求二面角EBDC的大小.
例8.如图所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED平面ABCD,BAD
3
,AD2.(1) 求证:平面FCB∥平面AED;
(2) 若二面角AEFC为直二面角,求直线BC与平面AEF所成的角的正弦值.
7.ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。(1)求三棱锥D1—DBC的体积;(2)证明BD1∥平面C1DE;(3)求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。
数学立体几何综合复习训练题
1、 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC
1
AA1,∠BAC90,D为棱BB1的中点。(1)求异面直2
线C1D与A1C所成的角;(2)求证:平面A1DC平面ADC。
C1
B1
D
C
A
B
2、 在棱长a为的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别棱AB和BC的中点。(1)求二面角D-EF-B1的大小;
(2)求点B到平面B1EF的距离;(3)求A1C1到平面B1EF的距离。
C1
A1
A
E
B
C
6、四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点。(1)求证:AE⊥平面PCD;(2)若AD=AB,试求二面角A-PC-D的正切值;(3)当⊥AC?
AD
为何值时,PBAB
A
B
C