高一数学[函数奇偶性]教案
第三节 函数奇偶性(高一秋季班组第五次课10.05)
一.教学目标
1. 了解奇偶函数的概念,会判断函数奇偶性;
2. 奇偶性的应用
3. 奇偶性与单调性综合
二.教学内容
1. 偶函数:一般地,如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ,都有f (-x ) =f (x ) ,那么函数f (x ) 就叫做偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ,都有f (-x ) =-f (x ) ,那么函数f (x ) 就叫做奇函数。
奇偶性:如果函数f (x ) 是奇函数或偶函数,那么就说明函数f (x ) 具有奇偶性。
正确理解函数奇偶性的定义:定义是判断或讨论函数奇偶性的依据,由定义知,若x 是定义域中的一个数值,那么-x 也必然在定义域中,因此,函数y =f (x ) 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是:定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之,所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性。
无奇偶性函数是非奇非偶函数;若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质,则既是奇函数,又是偶函数。 两个奇偶函数四则运算的性质:
①两个奇函数的和仍为奇函数;②两个偶函数的和仍为偶函数;③两个奇函数的积是偶函数; ④两个偶函数的积是偶函数; ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
例1. 判别下列函数的奇偶性: f(x) =|x+1|+|x-1| ; f(x)=
思考:f(x)=0的奇偶性?
练习1. 判断下列函数的奇偶性. 3x 2 ; f(x)=x +1x ; f(x)= ; f(x)=x 2,x ∈[-2,3] 2x 1+x
(3)f(x)=(x-1+x ⎧⎪-x 2+x x>0 , (4)f(x)=⎨ 21-x ⎪⎩x +x x
2.奇函数y =f(x)(x∈R ) 的图像必过点( C )
1A .(a,f(-a)) B .(-a ,f(a)) C .(-a ,-f(a)) D .(a,a
解析 ∵f(-a) =-f(a),即当x =-a 时,函数值y =-f(a),∴必过点(-a ,-f(a)).
3.已知f(x)为奇函数,则f(x)-x 为( A )
A .奇函数 B .偶函数 C .既不是奇函数又不是偶函数 D .既是奇函数又是偶函数
解析 令g(x)=f(x)-x ,g(-x) =f(-x) +x =-f(x)+x =-g(x).
4.设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A )
A .f(x)+|g(x)|是偶函数 B .f(x)-|g(x)|是奇函数
C .|f(x)|+g(x)是偶函数 D .|f(x)|-g(x)是奇函数
解析 由f(x)是偶函数,可得f(-x) =f(x).由g(x)是奇函数,可得g(-x) =-g(x). 由|g(x)|为偶函数,∴f(x)+|g(x)|为偶函数.
5. 设f(x)=ax +bx +5,已知f(-7) =-17, 求f(7)的值。
6. 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=1,求f(x)、g(x)。 x +177.设f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,又f(x)+g(x)=,则f(x)=________,g(x)=________. x -1
答案 x 2-1x 2-1
111x 1解析 ∵f(x)+g(x) ①∴f(-x) +g(-x) =又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴f(x)- x -1-x -1
g(x)=. ②①+②,得f(x)=2g(x)=2 -x -1x -1x -1.
8. 已知函数f(x),对任意实数x 、y ,都有f(x+y)=f(x)+f(y),试判别f(x)的奇偶性。
9. 已知f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为4,那么f(x)在[-7,-3]上是 函数,且最 值是 。
10. 已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。
11. 设函数f (x ) =11x (x +1)(x +a ) 为奇函数,则a = . x
12.设f(x)是(-∞,+∞) 上的奇函数,f(x+2) =-f(x),当0≤x ≤1时,f(x)=x ,则f(7.5)=________. 答案 -0.5
13.设f(x)是定义在(-∞,+∞) 上的奇函数,且x>0时,f(x)=x 2+1,则f(-2) =________.
答案 -5解析 由f(x)在(-∞,+∞) 上是奇函数,得f(-x) =-f(x),即 f(-2) =-f(2),而f(2)= 22+1=5. ∴f(-2) =-5.
2. 奇函数、偶函数的图像的性质: 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形(奇函数的图像不一定过原点);反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数。 由于奇函数的图像关于原点对称,那么我们可以得出结论:如果奇函数f (x ) 的定义域为R 时,那么必有f (0) =0。
如果一个函数是偶函数,则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数。f(x)=f(|x|)
例2. y =f (x ) 是偶函数,图像与x 轴有四个交点,则方程f (x ) =0所有实根之和是()
(A )4 (B )2 (C )1 (D )0
练习1. 若函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数,在(-∞, 0]上是减函数,且f (2) =0,则使得f (x )
(A )(-∞, 2) (B )(2, +∞) (C )(-∞, -2) (2, +∞) (D )(-2,2)
+∞) 上为增函数,且f (1)=0,则不等式2. 设奇函数f (x ) 在(0,
,0) (1,+∞) (B )(-∞,-1) (0,1) (A )(-1f (x ) -f (-x )
3. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且y =f (x ) 的图象关于直线x =
则f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) =________________. 1对称, 2
4. 已知定义域为R 的函数f (x ) 在(8, +∞) 上为减函数,且函数y =f (x +8) 为偶函数,则( )
(A )f (6) >f (7) (B )f (6) >f (9) (C )f (7) >f (9) (D )f (7) >f (10)
5. 下面四个结论:①偶函数的图像一定与y 轴相交;②奇函数的图像一定通过原点;③偶函数的图像关于y 轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R ) .其中正确命题的个数是( a )
A .1 B .2 C .3 D .4
3. 函数的奇偶性与单调性之间的关系:
一般地,若f (x ) 为奇函数,则f (x ) 在[a , b ]和[-b , -a ]上具有相同的单调性;若f (x ) 为偶函数,则f (x ) 在[a , b ]和[-b , -a ]上具有相反的单调性。
若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M ,则f(x)在[-b ,-a]上增函数,且有最小值-M . 例3. 定义在(-1, 1) 上的奇函数f (x ) 在整个定义域上是减函数,若f (1-a ) +f (1-a 2)
练习1.定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)
1答案 m ∈[-1,2
解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(1-m)
1∴|1-m|>|m|,两边平方,得m
⎧1⎪-2≤1-m ≤2,⎨∴解之得-1≤m ≤2,综上得m ∈[-1,. 2-2≤m ≤2,⎪⎩
2, 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m 的取值范围.
【解析】 由f(m)+f(m-1)>0,得f(m)>-f(m-1) ,即f(m)>f(1-m) .
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数,∴f(x)在[-2,2]上为减函数.
⎧⎪ ∴⎨-2≤1-m ≤2,
⎪⎩m
3. 设f(x)是R 上的偶函数,且在(0,+∞) 上是减函数,若x 10,则( A )
A .f(x1)>f(-x 2) B .f(-x 1) =f(-x 2) C .f(-x 1)
4.. 若偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( c )
A .f(-1)
C .f(2)
5.若函数y =f(x),x ∈R 是奇函数,且f(1)
A .f(-1)f(-2) C .f(-1) =f(-2) D.不确定
6.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是( A )
A .f(-1)f(2) D .f(2)>f(0)
解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-3) =f(3),f(-1) =f(1),又f(3)>f(1),∴f(-3)>f(-1) ,f(3)>f(-1) 都成立.
7.设f(x)为定义在(-∞,+∞) 上的偶函数,且f(x)在[0,+∞) 上为增函数,则f(-2) ,f(-π) ,f(3)则大小顺序是( a )
A .f(-π)>f(3)>f(-2)B .f(-π)>f(-2)>f(3)C.f(-π)
解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-2) =f(2),f(-π) =f(π) .又f(x)在[0,+∞) 上为增函数,∴f(2)
f(-π) ,∴f(-2)
8.若奇函数f(x)当1≤x ≤4时的关系式是f(x)=x 2-4x +5,则当-4≤x ≤-1时,f(x)的最大值是( D )
A .5 B .-5 C .-2 D .-1
解析 当-4≤x ≤-1时,1≤-x ≤4,∵1≤x ≤4时,f(x)=x 2-4x +5.
∴f(-x) =x 2+4x +5,又f(x)为奇函数,∴f(-x) =-f(x),
∴f(x)=-x 2-4x -5=-(x+2) 2-1, 当x =-2时,取最大值-1.
9.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6) +f(-3) 的值为________.答案 -15
10.若函数f(x)是R 上的偶函数,且在[0,+∞) 上是减函数,则满足f(π)
答案 (-π,π)
解析 若a ≥0,f(x)在[0,+∞) 上是减函数,且f(π)
若a
由于f(-π)-π,即-π