数学方法在管理学中的运用

数学方法在管理学中的运用与发展

摘要：本文通过对应用到管理学中的最常用的数学方法进行详细阐述，并结合当前社会经济和市场不确定的背景，指出传统的数学方法在管理学中应用的局限性，又由于管理科学化的发展趋势势在必然，数学的思维和方法在管理科学化的过程中起着举足轻重的作用，同时，管理科学化给数学方法提出了更高的要求，因此，进一步研究和创新数学方法是非常必要的。最后本文给出了几个数学方法在管理学中运用的新方向。

关键字：数学方法 管理

管理学发展至今其研究方法广泛运用了其他各学科的方法，无论是心里学、社会学、哲学、数学、系统学、生物学都为管理学的研究提供的方法和思路上的借鉴。这些学科的方法在运用到管理学的实践是有时间差异的，其中心理学、社会学、系统学方法是现代管理学主要运用的方法，而数学，作为历史最长远的科学，支撑着整个科学界各个学科不断的发展、演进。自从管理学作为一门独立的科学以来，数学方法直接或间接的被管理学运用着，古典管理理论最多的借鉴了经济学的方法，而经济学是以数学为基础的，凡需要是研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等，都少不了数学，尤其后来计算机的广泛应用，使得数学在管理学研究中的作用更为广泛。然而现代数学和经济学的发展越来越远离实际应用，而独立高高在上，另一方面，管理科学化迫切需要应用数学为其作方法上的支撑，又由于环境变化愈加复杂，所以今天的管理学应向着科学化的方向发展，在大力提倡管理科学化的前提下，数学方法对管理学研究的作用进一步加大，同时提出了更实用、更高的要求。

（一）数学方法在管理学中的应用领域

记录数据与核算。管理中存在大量的数据记录，如生产产品的数量、品种、职工人数、股数、原料费用等，核算的有合格率、利润率、成本率、工资等等，这是简单的计算，企业存在的目的就是盈利，是否盈利，盈利多少归根结底要靠数据说话。企业的运营是否健康，资源是否合理、是否利用的有效最有说服力的也是靠数据显示。数据不但是最有说服力的而且是最能精确体现和长久保存的，

无论企业高管换代多少次，只要有数据就能掌握本企业历年的经营情况，进而以此为依据进行预测，一个投资项目的好坏，不是说的，而是拿出数据来，盈利多少，利润率、回收期等，来精确的评价。

预测。预测是对未来可能发生的事情进行评估，预测分为定性预测和定量预测，定量预测的基本原理是依据过去的经验，对未来加以判断。预测的基础是概率论与数理统计，在预测中回归分析的数学方法起到重要作用，因果分析法是因素间（原因与结果）的回归分析，趋势外推法是自回归分析。传统的管理学中预测的地位不是很高，也不是管理学研究的重点，然而在市场化、全球化、信息化不断深入的今天，市场环境的不断变化，市场预测的准确性将被越来越重视。

优化。在管理的计划工作和控制工作中，经常需要对管理活动进行比较和选择，可以把这种管理活动称为“优化”。计划和控制的本质是为达到一定的目标而对各种资源进行分配和整合，而分配资源必然涉及到方案和策略的比较和选择，即管理优化职能。在管理的优化过程中，用到的数学方法有三类：运筹学、边际分析方法、统计概率方法。运筹学是由管理需要而催生和发展出来的一个数学分支，在企业管理研究中起了很大作用。运筹学中的博弈论作为一个独立的分支用数学的方法研究具有对抗性或竞争性的现象，随着市场环境的复杂多样化，竞争优势的重要性突出，以及计算机技术推动了情报业的发展，信息对于一个企业的生存和可持续发展起着越来越重要的作用，因此博弈论有着更广泛的运用空间。

工作评价。在工作评价和方案评价的过程中，都可能涉及对成本、效益、工作效率、用户的满意程度等方面的评价，评价方法可以分为定量和定性两个方面。对数量方面的评价需要数学方法，而定性方面的评价，往往也可以借助于数学方法，例如对效用的量化值分析。

（二）管理中运用的数学方法

在管理中得到应用的数学方法，可以分以下几类： 算术和代数、运筹学、概率与统计、边际分析方法和计算机技术与数学方法。

1、线性规划

线性规划是运筹学中研究最早、最成熟、运用最广范的一个重要分支，它研究的问题是在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一

般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。线性规划数学模型：

（1）列出约束条件及目标函数

（2）画出约束条件所表示的可行域

（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值

线性规划作为一种数学方法，当然可以提供最优的决策方法。但如果数学规划的前提或约束发生变化，最终决策也必然要变化。在市场约束变化不定的情况下，企业只能依靠生产能力的冗余来适应市场。线性规划的局限性就在于它的“线性”和约束条件，目标函数和约束式均为一次函数，在坐标系中的图形是直线，

线性规划主要用于生产计划，线性规划模型是一个静态的模型，随着约束条件的变化，目标函数中的一些指标常常并非一成不变。例如：在考虑生产计划，即如何选择产业结构使生产成本最低的时候，成本系数是一个会根据产业结构和模式之变化而难以绝对保持静态的变量，这就势必导致模型的理想化。生产过程也不是一个绝对静态的过程，即产业结构本身，或者说约束条件中的每一项指标，也会产生某些动态的过程，它并非可以完全按照单纯形法中矩阵变换的简单方法去解决。一旦考虑到时间轴上的某些变化，问题的复杂程度就不是线性规划模型多能够做到了的。

2、边际分析

边际分析实质上是研究函数在边际点上的极值，要研究因变量在某一点递增、递减变动的规律，这种边际点的函数值就是极大值或极小值，边际点的自变量是作出判断并加以取舍的最佳点，据此可以作出最优决策，因此是研究最优化规律的方法。边际分析应用的微分原理，是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点，这时企业获得最大利润。

在管理决策中边际分析法它主要分析企业在一定产量水平时，每增加一个单位的产品对总利润产生的影响。可以用以下的公式来说明

公式：边际值=△f(x)/△X

其中，X 代表投入，f(x)代表产出，表现为X 的函数；△表示变量。

边际分析方法的主要应用方向

（1）确定规模。规模的大小直接影响到企业的生产效益。当一个企业要扩大规模时，它就要分析每增大一个单位的规模，所可能带来的产出的增量，这就是边际分析。科学的边际分析方法可以使企业的规模确定在一个最合理的范围内。 公式：π=MR-MC

其中，π代表边际利润，MR 代表边际收益，MC 代表边际成本。

当π>0时，增加一个单位的产品，获得的收益增量比引起的成本增量大，说明企业还没有达到能够获得最大收益的产量规模，此时，企业应该扩大产量。 当π

当π=0时，企业达到最优的产量规模。

（2）价格决策。每提高（或降低）一个单位的价格，对总收益会产生什么样的影响，这实际上也要用到边际分析方法，它可以帮助企业制定具有竞争力的价格战略。

（3）确定合理的要素投入。在确定生产中需要投入的各个要素的量时，我们需要分析每增加一个单位的某种要素时，对总的收益会产生什么影响。这也是边际分析。

（4）产品结构分析。多数企业都不只生产一个产品，各个产品生产的比例就是产品结构。确定各个产品生产多少的比例关系就可以运用边际分析方法--对各个产品的边际效益进行分析。所谓边际效益，就是对一个产品的生产增加一个单位的资金投入所引起的收益的变化量。如果把资金增量投入到各个产品，所能产生的边际效益是相等的，那么这个企业的产品结构就是合理的；否则，其中必定有某种产品值得扩大规模，以带来更多的收益。针对产品结构进行边际分析，可以明确哪些产品需要增加投入，哪些产品需要缩小生产规模。

边际分析方法的局限性在于其依据的理论的局限性，如：边际效用价值理论、生产函数理论、边际生产力分配理论，这些都是西方经典理论，根据国内学者的研究结果显示，由于我国特殊情形，西方理论在很大程度上并不适用于我国管理实践，边际分析也只是在某些管理领域适用。同时现实管理问题复杂多变，量与量之间存在千丝万缕的联系，如何抓住主要变量并在各个方向满足边际法则愈加

困难。同时要把 不确定性和风险进行考虑。

3、动态规划

动态规划是把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。动态规划广泛应用于经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。动态规划的基本模型如下：

(1)确定问题的决策对象。 (2)对决策过程划分阶段。 (3)对各阶段确定状态变量。 (4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。 (5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。

动态规划的适用条件。1、最优化原理（最优子结构性质）。最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。 2、无后效性。将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。3、子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。 动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

4、决策论

决策分析的基础是事物发展的不确定性和效用的两面性。决策分析着重于两个方面的分析，一方面是对事物发展前景的确定性（概率）分析，另一方面是对效用的判断。决策分析中基本数学方法是，先建立计算各种状态的概率（风险）的决策模型，再比较各个状态的收益或损失，最后按收益和损失的大小进行决策。决策模型分为三种，即确定型决策、不确定型决策、风险型决策，在风险型决策模型中，一般是用状态发生的概率，再乘以这种状态下的效用或收益，就得到期望收益。

5、博弈论

博弈论可以说是一种处理竞争与合作问题的决策方法，也可以说是研究竞争中参加者为争取最大利益应当如何做出决策的数学方法。博弈论不仅考虑自己如何采取对策，也考虑对方会如何反映，从而对自己的影响。基于不同抽象水平，有三种博弈表述方式，标准型、扩展型和特征函数型利用这三种表述形式，可以研究形形色色的问题。因此, 它被称为“社会科学的数学”。在寡头垄断市场中博弈论的应用较成熟。

博弈论对博弈现象的分析方法是建立对策矩阵，并通过对矩阵的分析得出最优策略的计算方法。对策矩阵的解就是博弈的结局。博弈分为合作博弈和非合作博弈。典型的非合作博弈的结局大体上有占优策略、纳什均衡、囚徒困境等。数学在博弈论中作用就是用规范的数学方法证明了这些结局的客观性和唯一性，并给出了计算结局的数学方法。

但是目前博弈论在企业管理中的应用不是很广泛，主要原因是博弈论的研究主要基于两个参与者，而现实中更多的是多个参与者进行博弈，其二，目前企业之间不再强调不友好的非合作博弈，在提倡互利共赢的前提下，非合作博弈的应用显出了极大的局限性，而合作博弈由于比非合作博弈更复杂，研究尚未成熟。

6、概率与统计

概率论在管理活动中的主要应用领域有质量控制、市场预测、以及决策分析和风险分析。数理统计是采集样本、分析数据的方法，为管理学研究的基础信息获得提供大力支持。概率与统计是一个独立的数学领域，但在其他数学领域中也得到广泛的应用。例如在运筹学和预测学中需要概率分析。

概率的基础是事物的不确定性。由于事物存在和发生、发展的不确定性，为说明这种不确定性的程度，用一个小于1的百分数描述这种可能性就是概率。而几个事件联系发生的概率，又可以通过对概率的计算得到。

统计学则是对过去已经发生的事件进行整理，并由此推断事物未来概率，以及事物间影响程度的理论。统计学包括序列分析、相关分析等。概率与统计发现，许多事物的发生规律具有共同特点，如正态分布、泊松分布。

7、计算机与数学结合

由于计算机的广泛运用及其强大功能，以计算机为应用平台，发展出了一些专门的计算机数学，例如数据库、计算机模拟、计算机运算方法（如迭代和回归）、

统计学软件包等。这些数学方法在管理中也得到了应用，如数据库营销、对工作流程进行计算机模拟，而线性规划的求解过程和ERP 的计算过程则必须依赖于计算机的运算。

尽管计算机的功能越来越强大，但如果没有专门的数学方法支持，也不能有效地完成相关的计算任务。计算机数学的实质是优化计算过程，使极为繁杂的运算在更短的时间内完成。这种时间上的进步，既取决于计算机的功能的更新和强大，也取决于计算机数学运算方法对计算过程的优化。

（3）数学方法在管理中发展的新方向

基于以上分析，数学在管理学中已有广泛的运用，但是我们应该看到，随着专业数学的研究深入，使得数学离人们的直接生产生活经验越来越远，纯数学的发展可能不会直接对管理的发展起到重要推动作用。理论是为人类服务的，所以数学与实践之间的中介学科发展是迫切需要的，尤其是应用数学的发展，应用数学是为解决实际问题而发展起来的，其分支不断扩大，不断接近实际，这样，就可以通过应用数学对实践活动进行分析。

在管理科学化大力提倡的今天，数学的思维和方法越来越被重视，但是运用的形式更加多样化和有所创新，数学和管理之间的桥梁——运筹学在不断分化，研究领域也在不断扩大，同时，由于组织外部和内部环境的不断变化，使得传统的数学方法局限性明显增强，而新的适应环境的应用数学的方法尚未研究成熟，所以我们迫切的需要适应当前管理环境的数学方法。

1、运筹学学科的继续分化和完善。并分化出一些独立学科，博弈论作为运筹学的一个独立分支，将有广泛的发展空间，由于竞争将长期存在，非合作博弈在相当长的时间内仍具有现实意义，但是还应看到，现在的竞争是垄断竞争占主导，不是充分的完全自由竞争，而且信息掌握的极不对称，而且人在大多数情况下又是非理性的，所以完全信息博弈的运用空间较窄，不完全信息动态博弈尚能解决实际问题，但也有很多限制条件和假设，有很大的局限性，从当前社会利益的角度来看，合作成为了企业之间保持长久关系的重要渠道，这种现实挑战了非合作博弈的研究，从非合作博弈到合作博弈的趋势将成必然。但是合作博弈理论尚未成熟，所以新的方向应是合作博弈的深入研究。

2、数学方法的研究要逐步的放开假设条件，使假设条件最小化，逐步接近现实，

但是还应指出，西方的理论和我国理论的假设条件的不同，我国的学者应试着以我国实际作为前提来研究数学方法在我国管理中的应用。

3、由于外界环境的多变性，改变了人们的生活方式也改变着企业的运作方式，所以同时改变着企业管理研究的重点，从前认为的（尤其是计划经济时代）市场预测不重要，然而环境的变化使企业不得不重视市场预测，预测的准确性直接关系到企业的发展，风险防范、由批量生产变为柔性制造、由以生产为中心变为以客户为中心，必将加速数学方法在预测和风险防范上的应用，概率论与风险分析、数理统计、灵敏度分析、相关分析的方法会进一步发展。

4、数学与计算机的结合将进一步得到提升，计算机在数学上的帮助主要体现在算法上，计算机大大缩短了计算的过程与时间，使得不能用手工完成的几千次迭代的算法在几秒钟完成，数学与计算机的结合还体现在软件的开发，软件的开发改变着人们的做事方式和思维方式，也给企业带来很大利益，尤其是现代管理软件的数据挖掘功能和数控的发展。

5、数学与其他多学科的融合

影响管理学的因素有多种，这些因素包括各个学科方面的，其对管理学的影响作用不是独立的，而是综合作用的，虽然我们在分析时，为了方便研究，可能抛开其他因素的影响，可是终究这是不现实的，管理学的研究方法最终应是系统的方法，涉及各个方面相互作用，数学方法就是其中一个要素。数学方法与其他学科方法的融合将成为必然。就像决策论分为程序化决策和非程序化决策一样，总要有人的因素在里面，尤其是管理，主客体都是人，不可避免涉及到心理因素，所以经济学里的数学模型都是人的假设，如理性人。如实证研究是将数学方法与心理学方法相结合的结果，在以后的发展趋势中数学方法要想真正为实践所用，必须与其他学科方法相结合。