圆锥曲线轨迹问题

与圆锥曲线有关的点的

轨迹问题复习题

有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、性质有着密切的关系．在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和具体方法．

探求曲线轨迹的基本方法：直接法（轨迹法） 、定义法、 相关点法（代入法）、 参数法、代入法、待定系数法、点差法。

教学重点：灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲

线的类型。 教学难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。（完备性是指符合条件的点都

要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒”。）

思考并回答：

（1）已知A(2,3)且|PA|=7，则点P的轨迹是 圆

（2）已知∆ABC的一边BC的长为6，周长为16，则顶点A的轨迹是什么？（椭圆，除去与BC边共线的两个顶点。） （3）若A(-1,0),B(5,0)且|MA|-|MB|=4则点M的轨迹是 双曲线右支

（4）过点（2，3）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？（抛物线）

（5）(2003〃北京春)在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2>1与ax+by2=0 (a>b>0)的曲线大

致是（ ）

解析:将方程a

a>b>0,因此

2

x+by>1与ax+by=0转化为标准方程：

2

2

2

2

C D

ax2y2

+=1,y2=-x．因为11ba2b2

11

>>0,所以有：椭圆的焦点在ba

y轴,抛物线的开口向左,得D选项．

答案: D

（6）已知圆C：x2+y2+6x-91=0及圆内一点P（3，0），求过点P且与已知圆内切的圆的圆心M的轨迹方程。 分析：（1）圆C的半径与圆心坐标可定。

（2）两圆内切可得：外圆半径＝内圆半径＋连心距。

（3）动点M满足的等量关系：| MC | + | MP | = 10＞| PC | （4）由定义可确定动点M的轨迹为以P、C为焦点的椭圆。

（7）已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 分析：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。

（2）两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距

（3）动圆半径r,依题意有

r1 + r = | P C1 | , r2 + r = | P C2 |

两式相减得：| PC1 | -- | PC2 | = r1 -r2

（4）由双曲线定义得：点P的轨迹是C1 、C2以为焦点的双曲线的右支。 （5）再根据题设条件求出参数a、b即可。 1直接法

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

常见的等量关系：已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式、几何量中的等量关系等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

PA

例1 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？ 解：∵|PA|=

(x+3)2+y2,|PB|=(x-3)2+y2

PB

=2

），

2222|PA|=2⇒(x+3)+y=4(x-3)+4y=222

(x-3)+y|PB|代入得

(x+3)2+y2

22

(x-5)+y=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 化简得

例2 动点P到一高为h的等边△ABC两顶点A、B的距离的平方和

等于它到顶点C的距离平方，求点P的轨迹？

解 以C为原点，AB上的高线CD所在直线为x轴建立直角坐标系

h,h），B（

h3

h,-

h

3）列出等式

h)2=x2+y2

设动点P（x,y），则A（

PA2+PB2=PC2⇒(x-h)2+(y-

42h3

)2+(x-h)2+(y+

化简得

(x-2h)2+y2=

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明 可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2定义法

圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

例3、已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程

【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长

x2y2

+=13轴为4，焦距为2, 短轴长为23, ∴椭圆方程为4,

又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x

x2y2

+=143因此点C的轨迹方程是：(─2

评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

3 相关点代入法 若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。 例4 已知P是以F1、F2为焦点的双曲线

x2y2

-=1上的动点，求ΔF1F2P169

的重心G的轨迹方

程。

解 设 重心G（x, y）, 点 P（x0, y0）， 因为F1（-4，0），F2（4，0）

-4+4+x0⎧

x=x2y2⎪x=3x⎧⎪03则有 , ⎨， 故⎨代入 0-0=1

0+0+y0169⎩y0=3y⎪y=⎪3⎩

得所求轨迹方程

9x2

-y2=1（y≠0） 16

评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

22

练习1：如图所示，已知P(4，0)是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.

知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.

错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.

技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=(x-4)2+y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

.

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得

(

x+42yx+4

－10=0 )+()2-4⋅

222

x+4y+0

, ,y1=

22

整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

4点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直线AB

y-y

的斜率为，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。

x2-x1

x2y2

+=1

例5、过椭圆164内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的

方程。

解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)

M(2,1)为AB的中点 ∴x1+x2=4 y1+y2=2 又A、B两点在椭圆上，则x1+4y1=16，x2+4y2=16 两式相减得(x1-x2)+4(y1-y2)=0 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

y1-y2x+x41

=-12=-=-

4(y1+y2)4⨯22 ∴x1-x2

kAB=-

11

y-1=-(x-2)

2，故所求直线的方程为2，即x+2y-4=0。

2

2222

2222

即

y2

x-=1

2例6、已知双曲线，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，

且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题

设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2) 则x1+x2=2，y1+y2=2

yy2

x1-1=1x2-2=1

22，

2

22

两式相减，得

y1-y21k==2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0AB

x1-x22 ∴

故直线AB:y-1=2(x-1)

⎧y-1=2(x-1)

⎪2⎨2yx-=12⎪2⎩由 消去y，得2x-4x+3=0

2

∴ ∆=(-4)-4⨯2⨯3=-8

这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。

y2x2

+=17525例7、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则

x1+x2=2x， y1+y2=2y

y2xy1x

+1=1+2=1

又 7525，7525

2

2

2

2

两式相减得25(y1+y2)(y1-y2)+75(x1+x2)(x1-x2)=0

y1-y23x

=-

y 即y(y1-y2)+3x(x1-x2)=0，即x1-x2

k=

y1-y23x

=3-=3

x1-x2y ∴，即x+y=0

⎧x+y=0⎪2

x253535353⎨y+=1Q(,-)P(-,)⎪7525⎩2222由，得

点M在椭圆内

∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为

x+y=0(-

553

x2y2

+=13例8、已知椭圆4，试确定的m取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆上总有

不同的两点关于该直线对称。

1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y=4x+m的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的解：设P

中点，则3x1+4y1=12，3x2+4y2=12 两式相减得，3(x1-x2)+4(y1-y2)=0 即3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

2

2

2

2

2222

y1-y21

=-

4 x1+x2=2x，y1+y2=2y，x1-x2

1P2中点P轨迹方程。 ∴y=3x 这就是弦P

它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内

⎧y=3x⎧x=-m3

⎨⎨y2

4， 联立⎩y=4x+m，得⎩y=-3m 则必须满足

322(3m)2

413 即，解得13

注意：（1）双曲线与抛物线的中点弦的存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线的中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。 5参数法

求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。常用的参数：有点参数，角(θ)参数,斜率(k)参数,定比(λ)参数,用此法要注意参数的实际意义.

y2x2

+=1

例9、已知椭圆7525,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

例10如图,设点A和B为抛物线y2= 4px (p>0)

且OA⊥OB,过O作OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程. 解1 (常规设参)设M(x,y)，A(x1,y1), B(x2,y2),则

⎧y2=4px

11⎪

⎪y2=4px

2⎧yy=-16p22⎪⎪y⎪12

⎨∙y=-1⇒⎨4py （※）

y+y=-⎪x1x2⎪12

x⎩⎪y-yy2∙=-1⎪1

⎪⎩x1-x2x

由

yyy24p4p

x+12A,M B共线得y-y1=(x-) 则y=

y1+y2y1+y2y1+y24p

x24px

把（※）代入上式得y=-+化简得

yy

M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0)

1

k

解2 (变换方向) 设OA的方程为y=kx (k≠0) 则OB的方程为y=-x

⎧y=kx由⎨2

y=2px⎩

2p2p

得 A(,

k2k

1⎧

2⎪y=-x

) ， 由⎨k 得 B (2pk,-2pk)

⎪y2=2px⎩

k1-k2

(x-2p)①

所以直线AB的方程为 y=

因为OM⊥AB,所以直线OM

1-k2

x ② 的方程为y=-k

①〓②即得M的轨迹方程: x2+y2-2px=0(x≠0)

解3 (转换观点) 视点M为定点,令M( x0,y0), 由OM⊥AB可得直线AB的方程为

x4py04p22

y-y0=-0(x-x0), 与抛物线y=4px联立消去y 得y2+y-(x+y2)=0,设A(x1,y1), 0x0x00y0

4p2

+y2) B(x2,y2) 则y1y2=-(x00x0

又因为OA⊥OB 所以y1y2=-16p2 故-的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0)

6交轨法

求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

1

例11设ab≠0，则不论k取何值，直线bx+ay=与直线bx-ay=k的交点一定在 （ ）

k

A、一个圆上 B、椭圆上 C、双曲线上 D、抛物线上

x2y2

例12已知MN是椭圆+=1中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求

22ab

4p2

(x+y2)=-16p2即x2+y2-4px0=0 所以000x00

M点

直线 MA和NB的交点P的轨迹方程。

解1:(利用点的坐标作参数) 令M(x1,y1 ) ，则N(x1,-y1)

而A(-a,0),B(a,0) .设AM与NB的交点为P(x,y) 因为A, M, P 共线. 所以因为N, B,P 共线. 所以两式相乘得

x2

y2

y1y= x+ax1+a

yy

=- x-ax1-a

y2

=-

22x-ax12-a2

x12y12b2(a2-x12)2①， 而代入① +=1即y1=

222aba

b2x2y2

得， 即交点P的轨迹方程为 =-=1

22222x-aaab

7韦达定理法

有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程．

例13 过抛物线y=x2的顶点 O,任作两条互相垂直的弦OA,OB, 若分别以OA,OB为直径作圆, 求两圆的另一交点C的轨迹方程．

2), (t,t2) , 则由OA⊥OB得 tt=－1 解：设A,B两点的坐标分别为 (t1,t11222

y-t2y

1∙=-1⇒x2+y2-tx-t2y=0① 因为以OA为直径的圆方程为 11x-t1x

2y=0 ② 同理以OB为直径的圆方程为 x2+y2-t2x-t2

而点C(x,y)满足①② ,由①②知t1,t2是关于t的二次方程yt2 + xt- x2- y2= 0的两根,根据t1t2=－1

x2+y2

及韦达定理得-1=t1t2=-

y

, 即有x2 + y2 - y =0(y≠0)

这就是C点的轨迹方程. 巩固训练

0)的距离小1，则点P的轨迹为1．（2008北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点(2，

（ D ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

5

2.(2008山东理)设椭圆C1的离心率为，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点

13

到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ A ）

x2y2x2y2x2y2x2y2

（A）2-2=1 (B)2-2=1 (C)2-2=1 (D)2-2=1

[1**********]

3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是 .

x2y22

解析：椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k0，∴0

22kk

答案：0＜k＜1

4.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－

12

aa

,0),C(,0)，且满足条件sinC22

－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为 .

5在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)解答： 8x－y－15=0 提示设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),

22

代入抛物线方程得y1=16x1,y2=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2)即

y1-y216

=⇒kAB=8故所求直线方程为y=8x－x1-x2y1+y2

6 如图，弧ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

解 以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222+12=2＞|AB|=4∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴

x2

a=,c=2,b=1∴曲线C的方程为+y2=15

x2y220

7已知圆C1的方程为(x－2)+(y－1)=,椭圆C2的方程为2+2=1(a＞b＞0)，C2的离心率

ab3

2

2

为

2

，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆2

C2的方程2x2y2

解由e=,可设椭圆方程为2+2=1,

22bb

又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,

xyxyx-xy-y

又12+12=1,22+22=1,两式相减，得122+122=0, 2bb2bb2bb

2

2

2

2

2

2

2

2

即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0化简得

y1-y2

=－1,故直线AB的方程为y=－x+3, x1-x2

代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0有Δ=24b2－72＞0,

又|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=

20, 3

24b2-7220

=得2⋅，解得b2=8

93

x2y2

故所求椭圆方程为+=1168

8、点Q为双曲线x2－4y2=16上任一点，定点A（0，4），求内分所成比为轨迹。

1

的点P的2

x2y2

9．P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹+

95

方程为： （ ）

x2y242y2x242x2y2

A．x+=1 =1 B．+y=1 C．+=1 D．+

9595920365

10、已知以C（2，0）为圆心的圆C与两条射线y=±x(x≥0)都相切，设动直

线l与圆C相切，并交两射线于A、B两点。求线段AB的中点M的轨迹。

分析：由于动直线l与两已知射线交于两点A、B，可以理解为射线y=〒x上两点A、B，使直线AB与圆C相切，当A、B分别在这两射线上移动时，研究AB中点M的轨迹，就可把A、B看成是主动点，MM的轨迹方程了。

解：设直线l分别交射线y=±x于A、B两点 以C（2，0）为圆心的圆C与两射线y=±x都相切

∴r=

|2-0|

=222

∴圆C的方程为(x-2)+y=2 2

设A（a,a），B（b,-b）（a>0,b>0）另设动点M(x,y) M为AB的中点

∴x=

a+ba-b

，y=22

从而有a=x+y，b=x-y

(1)

a+b

(x-a)a-b

若a≠b，则直线AB方程为y-a=

即(a+b)x-(a-b)y-2ab=0

∴

AB与圆C相切

|2(a+b)-2ab|(a+b)+(a-b)

(2)

2

2

=r=2

化简得ab-2a-2b+2=0

(x-2)2y2

即-=1(3)22将(1)式代入(2)式，得x-y-4x+2=022 若a=b，则AB与圆C相切于点（2±2，0）

这两点都是所求轨迹上的点，且也满足方程(3) (x-2)2y2

∴点M的轨迹方程为-=1又 点M在∠AOB内部 22

∴所求动点M的轨迹是以（2，0）为中心，以（0，0），（4，0）为

焦点，实轴长为2的等轴双曲线的两支在∠AOB内的部分

11、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的横坐1

标为2，求椭圆的方程。 y2x2

+2=1222a-b=50┅┅① ab解：设椭圆的方程为，则

设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则

x0=11y0=3x0-2=-2，2 ∴x1+x2=2x0=1，y1+y2=2y0=-1 2222y2x2y1x1+=1+=12222bb又a，a

22b(y+y)(y-y)+a(x1+x2)(x1-x2)=0 1212两式相减得

22-b(y-y)+a(x1-x2)=0 12即

2y1-y2a2a=2=32x-xb∴ 12 ∴ b┅┅②

22联立①②解得a=75，b=25

y2x2

+=1∴所求椭圆的方程是7525