2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)
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2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)
例1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x －( 2k＋3 )x＋
2
k ＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
解析：（1）∵AB、AC方程x－(2k＋3)x＋k＋3k＋2＝0的两个实数根
2
22
∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k＋3k＋2
2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5 ∴AB ＋AC ＝BC ，(AB＋AC)－2AB·AC＝25
222
即(2k＋3)－2(k＋3k＋2)＝25
22
∴k＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2
2
当k＝－5时，方程为x＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍
2
去）
当k＝2时，方程为x－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4
2
∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形
（2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况
∵△＝(2k＋3)－4(k＋3k＋2)＝1＞0
22
∴AB≠AC，故第①种情况不成立
∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x－(2k＋3)x＋k＋3k＋2＝0的根
22
∴5－5(2k＋3)＋k＋3k＋2＝0
22
即k－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4
2
当k＝3时，方程为x－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5
2
此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14
当k＝4时，方程为x－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6 此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为16
2
例2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x －2( a＋b )x＋c ＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x －( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根． （1）求m的值；
（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．
解析：（1）∵关于x的方程x－2(a＋b)x＋c＋2ab＝0有两个相等的实数根
22
2
22
∴△＝4(a＋b)－4(c＋2ab)＝0，即a＋b＝c
22222
∴△ABC是直角三角形
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∵sinA、sinB是关于x的方程(m＋5)x－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根
2
∴sinA＋sinB＝
2m－5m－8
，sinA·sinB＝m＋5m＋5
∵在Rt△ABC中，sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝1 ∴(sinA＋sinB)－2sinA·sinB＝1
2222
2
即(
2m－52m－8)－2×＝1 m＋5m＋5
∴m－24m＋80＝0，解得m1＝4，m2＝20
2
当m＝4时，方程为9x－3x－4＝0，解得x1＝
2
3＋1533－153
，x2＝＜0 1818
∵在Rt△ABC中，sinA＞0，sinB＞0 ∴m＝4不合题意，舍去
当m＝20时，方程为25x－35x＋12＝0，解得x1＝
2
34
，x2＝，符合题意 55
∴m＝20
（2）∵△ABC的外接圆面积为25π
∴外接圆半径为5，∴c＝10 34
由（1）知，sinA＝或sinA＝
55
A
t
C
∴△ABC的两条直角边长分别为6，8 设△ABC的内接正方形的边长为t
①若正方形的两边在△ABC的两直角边上，则24
解得t＝7
B t
t
B
8－tt
＝86
A
24
－t524t
②若正方形的一条边在△ABC的斜边上，易得斜边上的高为，则＝
51024
5
解得t＝
12037
例3．已知关于x的方程x －( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n； （2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（
15
，C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝ ？若存在，求 ，1）
2 4
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2
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出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：
（1）解：∵α、β为方程x－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根
2
∴△＝(m＋n＋1)－4m＝(m＋n－1)＋4n≥0，且α＋β＝m＋n＋1，αβ＝m
22
∴m＝αβ，n＝α＋β－m－1＝α＋β－αβ－1 ························································· 2分
（2）证明：∵(1－α)(1－β)＝1－(α＋β)＋αβ＝－n≤0（n≥0），又α≤β
∴α≤1≤β ········································································································· 4分
（3）解：要使m＋n＝
59
成立，只需α＋β＝m＋n＋1＝ 44
①当点P（α，β）在BC边上运动时
11
由B（，1），C（1，1），得α≤1，β＝1
22
而α＝
995
－β＝－1＝＞1 444
∴在BC边上不存在满足条件的点 ·································································· 6分 ②当点P（α，β）在AC边上运动时 由A（1，2），C（1，1），得α＝1，1≤β≤2 此时β＝
9955
－α＝－1＝，又∵1＜＜2 4444
5
∴在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1） ···································· 8分
4
③当点P（α，β）在AB边上运动时
11
由A（1，2），B（，1），得≤α≤1，1≤β≤2
22
由对应线段成比例得
1－α2－β
＝β＝2α 12－11－
2
9α＋β＝433
由 解得α＝，β＝
42
β＝2α
133
＜＜1，1＜＜2
242
33∴在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（，
42
5
综上所述，当点点P（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1）和
4
335，），使m＋n＝成立 ····································································· 10分
424
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