竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动,对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题,中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况,并且经常出现临界状态.
(1)、如图所示,没有物体支撑的小球,在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:
①临界条件:小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零,小球的重力提供其做圆周运动的向心力,即mg=
mv临界
r
2
上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度,通常叫临界速度,v临界=rg. ②能过最高点的条件:v≥vNm
v
2
临界
. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力
r
mg
③不能过最高点的条件:v
①临界条件:由于硬杆和管壁的支撑作用,小球恰能达到最高点的临界速度 v临界=0.
②图(a)所示的小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况是
当v=0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力N,其大小等于小球的重力,即N=mg; 当0N>0.
当v=rg时,N=0;
v
2
v
2
r
,大小随速度的增大而
当v>rg时,杆对小球有指向圆心的拉力Nm大.
r
mg,其大小随速度的增大而增
③图(b)所示的小球过最高点时,光滑硬管对小球的弹力情况是 当v=0时,管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力,其大小等于小球的重力,即N=mg.
当0N>0.
当v=
gr时,N=0.
v
2
r
,大小随速
当v>
gr时,管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力Nm
v
2
r
其大mg,
小随速度的增大而增大.
④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v=
gr.当v>
gr时,小球将脱离轨道做平抛运动.
临界
例1.(2011·东北地区名校联考)如图4-2-21所示,质量为m的小球在竖直平 面内的光滑圆环轨道上做圆周运动.圆环半径为R,小球经过圆环最高点 时刚好不脱离圆环,则其通过最高点时 ( ) A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.小球受到的向心力等于0 图4-2-21 C.小球的线速度大小等于 D.小球的向心加速度大小等于g
解析:小球在最高点时刚好不脱离圆环,则圆环刚好对小球没有作用力,小球只受重力, 重力竖直向下提供向心力,根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a=v2
根据圆周运动规律得a=g,解得v=.
R答案:CD
在竖直平面内作圆周运动的临界问题
⑴如图1、图2所示,没有物体支承的小球,在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
mg
g,再 m
v0
图 1
图
2
图 3
①临界条件:绳子或轨道对小球没有力的作用
v临界=Rg
②能过最高点的条件:v≥Rg ,当v>时, 绳对球产生拉力,轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件:v<v临界(实际上球没到最高点时就脱离了轨道)。
⑵如图3所示情形,小球与轻质杆相连。杆与绳不同,它既能产生拉力,也能产生压力
①能过最高点v临界=0,此时支持力N=mg
②当0<v时,N为支持力,有0<N<mg,且N随v的增大而减小 ③当v=时,N=0
④当v>,N为拉力,有N>0
,N随v的增大而增大
例题2:轻杆长为2L,水平转轴装在中点O,两端分别固定着小球A和B。A球质量为m,B球质量为2m,在竖直平面内做圆周运动。
⑴当杆绕O转动到某一速度时,A球在最高点,如图所示,此时杆A点恰不受力,求此时O轴的受力大小和方向;
⑵保持⑴问中的速度,当B球运动到最高点时,求O轴的受力大小和方向; ⑶在杆的转速逐渐变化的过程中,能否出现O轴不受力的情况?请计算说明。
解析:⑴A端恰好不受力,则mgm
v
2
L
,vgL,B球:T2mg2m
2
v
2
L
,T4mg
由牛顿第三定律,B球对O轴的拉力T4mg,竖直向下。
v
2
⑵杆对B球无作用力,对A球Tmgm
L
,Tmg由牛顿第三定律,A球对O轴的
拉力
T2mg,竖直向下。
v
2
T2mg2mg⑶若B球在上端A球在下端,对B球:
L
Tmgm,对A球:
v
2
L
,
联系得v。若A球在上端,B
球在下端,对A球:Tmgm
v
2
L
,对B球:
T2mg2m
v
2
L
,联系得3mgm
v
2
L
显然不成立,所以能出现O轴不受力的情况,此
时vAvB
。