求函数的解析式
1.2.2 函数的表示法
第三课时 求函数的解析式
教学目标:
根据已知条件求函数的解析式
教学重点与难点:
求函数解析式的各种方法的选择和灵活应用
教学内容:
请同学们回顾一下函数的三要素是什么?
定义域、值域、对应关系
之前我们已经学过求定义域和值域的方法,请大家回顾一下怎么求函数的定义域和值域? 求函数定义域的方法:
①如果f (x )是整式,那么其定义域为实数集R ;
②如果f (x )是分式,其定义域为使分母不为0的实数的集合;
③如果f (x )是偶次根式,其定义域为使根号内的式子不小于0的实数集合;
④如果f (x )是是由几个部分的数学式子构成的,其定义域为使各部分都有意义的实数的集合,即交集。
求函数值域的方法:
①观察法:通过观察得出所求函数的值域,如f(x)=x2−1
②直接法:从自变量x 的范围入手,逐步推出y= f(x)的范围
③配方法:对二次函数,可通过配方法求其值域
④换元法:适用于无理式中含自变量的函数
⑤判别式法:形如y=a1x2+b1x+c1
a2x+b2x+c2a1≠0,a2≠0,且分式不可约)
x+2x−3⑥分离常数法:适用于分式形式的函数,如y=
⑦图象法
⑧反解法
这节课我们一起来学习求对应关系的方法,也就是求函数的解析式的方法 求函数解析式的常用方法:
① 代入法(替换法):
比如,已知f (x )=x2+1,求f(x2+x),有f(x2+x)=(x2+x)+1 已知f (x+1)=x2,求f (x ),用x-1代x 得f (x )=(x−1)
② 配凑法: 22
如已经f (t )=g(x ),t 是关于x 的式子,求f (x )。这时可以把g (x )通过变形、整理变成只含有t 和常数的式子,然后将t 换成x ,即得到f (x )的解析式
③换元法:
已知f(g(x))的解析式,我们令t=g(x),反解出x (用t 表示x 的式子),然后代入已知函数中,得到f (t )的解析式
④待定系数法:
已知f (x )的函数类型时,可以根据类型设其解析式,确定其系数即可
⑤方程组法:
已知f(x)和f(g(x))满足的关系式,可以用g (x )代x ,又得到一个关于f(x)和f(g(x))的关系式,解方程组可得到f (x )
⑥赋值法:
给自变量赋予特殊值,观察规律,从而求出函数解析式
例1:求下列函数的解析式:
(1)已知f (x+1)=x2−3x+2,求f (x );
(2)已知f(x)+2f( (x ≠0),求f (x ); x1(3)已知f (x )是二次函数,且满足f (0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f (x )。
解:(1)方法一(代入法)
在f (x+1)=x2−3x+2中,用x-1代换x 得
f(x)=(x−1)−3 x−1 +2=x2−5x+6
方法二(配凑法)
f (x+1)=x2−3x+2=(x+1)−5 x+1 +6
所以f(x)=x2−5x+6
方法三(换元法)
令t=x+1,得x=t-1
∴f (t )=(t−1)−3 t−1 +2=t2−5t+6
即f(x)=x2−5x+6
(2)用代f(x)+2f()=x 中的x ,可得f(x)=xxxx1111222
于是得关于f (x )的方程组
f(x) +2f(x=x 11 f(x+2f(x) =x
解得f (x )=3x - 32x1( x ≠0 )
(3)∵ f (x )是二次函数,∴设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0)
由f(0)=1,得c=1
由f(x+1)-f(x)=2x得
a (x+1) 2+b x+1 +1− ax 2− bx −1=2x 整理得2ax+(a+b)=2x
2a=2∴ a+b=0a=1解得 b=−1∴f (x )=x 2− x +1
课堂作业:
求下列函数的解析式:
①已知f (x-2)=3x-5,求f (x ); ②已知f (x )+2f(-x )= x2+2 x ,求f (x ); ③已知f (x )是二次函数,且满足 f (0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f (x )。