用几何法求二面角的平面角2015
用几何法求二面角的平面角2015-8-1
一、定义法:
例1:如图1,设正方形ABCD-A 1B 1C 1D !中,E 为CC 1中点,求截面A 1BD 所成二面角的度数。
和EBD
练习1: 如图3,设三棱锥V-ABC 中,VA⊥底面ABC ,AB⊥BC,DE 垂直平分VC ,且分别交AC 、VC 于D 、E ,又VA=AB,VB=BC,求二面角E-BD-C 的度数。
二、垂线法
例2、如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形. 已知AB =3, AD =2, PA =2, PD =22, ∠PAB =60 . (1)证明AD ⊥平面PAB ;
(2)求二面角P -BD -A 的正切值.
练习2 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。 F 四点共面; 的余弦值。
(1)求证:A 1、E 、C 、(2)求二面角A 1-EC-D
三.补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 例3 如图10,设正三棱柱ABC-A'B'C' 各棱长均为α,D 为CC 1中点,
求平面A'BD 与平面ABC 所成二面角的度数。
练习3、已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
(1)求证:A 1C AB 1
(2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。
四、射影面积法(cos q =
s 射影S
)
二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos θ=
S 射S 斜
)求出二面角的大小。
例4设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AA 1上点,A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底面ABCD
所成二面角的余弦值。
练习4.(2008北京理)如图,在三棱锥P -ABC 中,
AC =BC =2,∠ACB =90,
AP =BP =AB ,PC ⊥AC .
(Ⅰ)求证:PC ⊥AB ;
(Ⅱ)求二面角B -AP -C 的余弦值;
A P
B
C
解:(Ⅱ)AC =BC ,AP =BP ,∴△APC ≌△BPC .
P E A
B
又PC ⊥AC ,∴PC ⊥BC . 又∠ACB =90,即AC ⊥BC ,且AC
∴BC ⊥平面PAC .
PC =C ,
取AP 中点E .连结BE ,CE .
AB =BP ,∴BE ⊥AP .
EC 是BE 在平面PAC 内的射影,∴CE ⊥AP .
∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影, 设二面角B -AP -C 的大小为ϑ, 则θ=
S 射S 斜