不定积分总结
不定积分
一、原函数
定义1 如果对任一x ∈I ，都有
F '(x ) =f (x ) 或 dF (x ) =f (x ) dx 则称F (x ) 为f (x ) 在区间I 上的原函数。 例如：(sinx ) '=cos x ，即sin x 是cos x 的原函数。 [ln(x ++x 2) '=
原函数存在定理：如果函数f (x ) 在区间I 上连续，则f (x ) 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F (x ) ，使得对任一x ∈I ，有F '(x ) =f (x ) 。
注1：如果f (x ) 有一个原函数，则f (x ) 就有无穷多个原函数。
设F (x ) 是f (x ) 的原函数，则[F (x ) +C ]'=f (x ) ，即F (x ) +C 也为f (x ) 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果F (x ) 与G (x ) 都为f (x ) 在区间I 上的原函数，则F (x ) 与G (x ) 之差为常数，即F (x ) -G (x ) =C （C 为常数）
注3：如果F (x ) 为f (x ) 在区间I 上的一个原函数，则F (x ) +C （C 为任意常数）可表达f (x ) 的任意一个原函数。
1+x
2
，即ln(x ++x 2) 是
1+x
2
的原函数。
二、不定积分
定义2 在区间I 上，f (x ) 的带有任意常数项的原函数，成为f (x ) 在区间I 上的不定积分，记为⎰f (x ) dx 。
如果F (x ) 为f (x ) 的一个原函数，则
⎰f (x ) dx =F (x ) +C ，（C 为任意常数）
三、不定积分的几何意义
图 5—1
设F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，则y =F (x ) 在平面上表示一条曲线，称它为
f (x ) f (x ) 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f (x )
的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f (x ) ．
在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式y =F (x ) +C ，再从中确定一个满足条件 y (x 0) =y 0 (称为初始条件) 的原函数y =y (x ) ．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x 0, y 0) 的积分曲线．
四、不定积分的性质（线性性质）
⎰[f (x ) ±g (x )]dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx
k 为非零常数） ⎰kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx （
五、基本积分表
∫ a dx = ax + C，a 和C 都是常数
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a 为常数且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1 ∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C ∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C ∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C ∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C ∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C ∫ csc^2(x) dx = - cotx + C ∫ secxtanx dx = secx + C ∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C ∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C
六、第一换元法（凑微分）
设F (u ) 为f (u ) 的原函数，即F '(u ) =f (u ) 或 ⎰f (u ) du =F (u ) +C 如果 u =ϕ(x ) ，且ϕ(x ) 可微，则
d
F [ϕ(x )]=F '(u ) ϕ'(x ) =f (u ) ϕ'(x ) =f [ϕ(x )]ϕ'(x ) dx
即F [ϕ(x )]为f [ϕ(x )]ϕ'(x ) 的原函数，或
⎰f [ϕ(x )]ϕ'(x ) dx =F [ϕ(x )]+C =[F (u ) +C ]u =ϕ(x ) =[⎰f (u ) du ]因此有
定理1 设F (u ) 为f (u ) 的原函数，u =ϕ(x ) 可微，则 ⎰f [ϕ(x )]ϕ'(x ) dx =[⎰f (u ) du ]公式(2-1)称为第一类换元积分公式。
u =ϕ(x )
u =ϕ(x )
(2-1)
⎰f [ϕ(x )]ϕ'(x ) dx =⎰f [ϕ(x )]d ϕ(x ) =[⎰f (u ) du ]u =ϕ(x )
1f (ax +b ) d (ax +b ) =1[f (u ) du ]f (ax +b ) dx =u =ax +b ⎰⎰⎰
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
常用凑微分公式
11dx =d (ax +b ) xdx =d (x 2)
a 2
111dx =-d () dx =
d ln x x x
e x dx =de x =d
cos xdx =d sin x sin xdx =-d cos x
1122
dx =sec xdx =d tan x dx =csc xdx =-d cot x cos x sin x 1dx =d arctan x =d arcsin x 1+x
1=1(1-1) dx ⎰x -a ⎰
⎡⎤111⎢=d (x -a ) -⎰d (x +a ) ⎥
⎰⎥ ⎢⎣⎦
=1(lnx -a -ln x +a ) +C
=1(lnx -a -ln x +a ) +C
1=1ln x +a +C ⎰a -x
配方
=
x x =arcsin +C (a >0)
111(x ) =1arctan x +C 1=dx =⎰a 2[1+() 2]⎰a +x ⎰1+(2
七、第二换元法
定理2 设x =ψ(t ) 是单调的可导函数，且ψ'(t ) ≠0，又设 f [ψ(t )]ψ'(t ) 具有原函数，则⎰f (x ) dx =
[⎰f [ψ(t )]ψ'(t ) dt ]
t =(x )
(2-2)
其中t =(x ) 为x =ψ(t ) 的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。
例1 求 ⎰a 2-x 2dx ， (a >0)
解：令 x =a sin t ，-
π
2
≤t ≤
π
2
，则
a 2-x 2=a cos t ，dx =a cos tdt ，因此有
⎰a 2-x 2dx =⎰a cos t a cos tdt
1+cos 2t
dt 2a 2t +sin 2t +C
4a 2t +sin t cos t +C
2
=a 2⎰cos 2tdt =a 2⎰a 2
=
2a 2
=
2
a 2x a 2x a 2-x 2
=arcsin ++C
2a 2a a a 2x 1
=arcsin +x a 2-x 2+C
2a 2
例2 求 ⎰
dx a +x
2
2
，(a >0)
解：令 x =a tan t ，-
π
2
≤t ≤
π
2
，则
a 2+x 2=a sec t ，dx =a sec 2tdt ，因此有
⎰
dx a 2+x 2
=⎰
1
a sec 2tdt a sec t
=⎰sec tdt
=ln |sec t +tan t |+C
a 2+x 2x
=ln |+|+C =ln |x +x 2+a 2|+C 1
a a
其中C 1=C -ln a 。用类似方法可得 ⎰
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会
用。主要有以下几种：
(1) a 2-x 2：x =a sin t ；x =a cos t
(2) x 2+a 2：x =a tan t ；x =a cot t ；x =asht (3) x 2-a 2：x =a sec t ；x =a csc t ；x =acht
(4) ax +b ax +b =t
dx x 2-a 2
=ln |x +x 2-a 2|+C
(5) ax +b ax +b
=t cx +d cx +d
1
(6) 当被积函数含有x ⋅m ax 2+bx +c ，有时倒代换x =也奏效。
t
八、分部积分法
设 u =u (x ) ，v =v (x ) ，则有(u v ) '=u 'v +u v ' 或 d (u v ) =v du +u dv
两端求不定积分，得⎰(u v ) 'dx =⎰v u 'dx +⎰u v 'dx
或 ⎰d (u v ) =⎰v du +⎰u dv
即⎰u dv =u v -⎰v du (3-1) 或 ⎰u v 'dx =u v -⎰v u 'dx (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取μ、ν时，通常基于以下两点考虑：
（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型
例1． 求 ⎰x cos xdx
解： ⎰x cos xdx =⎰xd sin x
=x sin x -⎰sin xdx =x sin x +cos x +C
例2． 求 ⎰x 2e x dx
解： ⎰x 2e x dx =⎰x 2de x
=x 2e x -⎰e x dx 2
=x 2e x -2⎰xe x dx =x e -2(xe -⎰e dx ) =x 2e x -2xe x +2e x +C
2
x
x
x
注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u ，其余部分取为dv 。
例3 求 ⎰x ln xdx
解： ⎰x ln xdx =
=
12
ln xdx ⎰2
12
x ln x -⎰x 2d ln x 21
=x 2ln x -⎰xdx 2
1⎡1⎤=⎢x 2ln x -x 2⎥+C 2⎣2⎦11
=x 2ln x -x 2+C 24
[[
]
]
例4 求 ⎰x arctan xdx
解： ⎰x arctan xdx =
12
arctan xdx ⎰2
1
=x 2arctan x -⎰x 2d arctan x 2
⎤1⎡2x 2
=⎢x arctan x -⎰dx ⎥2⎣1+x 2⎦
[]
1⎡21⎤x arctan x -(1-) dx ⎰1+x 2⎥2⎢⎣⎦1
=x 2arctan x -x +arctan x +C 2=
[]
注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为u ，其余部分取为dv 。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在⎰μd ν=μν-⎰μd ν中，μ、ν的选取有下面简单的规律：
(1) μ=P m (x ) ，ν=e ax , sin ax , cos ax (2) μ=ln x , arctan x , arcsin x ，ν=P m (x ) (3) μ=e ，ν=cos βx , sin βx
ax
(3) 会出现循环，注意μ，ν选取的函数不能改变。
九、几种特殊类型函数的积分。
（1）有理函数的积分
有理函数积分法主要分为两步：1. 化有理假分式为有理真分式；2. 化有理真分式为部分分式之和。 有理函数P (x ) P *(x ) P *(x ) 先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干Q (x ) Q (x ) Q (x ) 个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现I n =⎰时，记得用递推公式：I n =x 2n -3+I n -1） 222n -122a (n -1)(x +a ) 2a (n -1) dx (a 2+x 2) n
（2）三角函数有理式的积分 x ⎧2tan ⎪⎪sin x =⎪1+tan 2⎪2 万能公式：⎨x ⎪1-tan 2
⎪cos x =⎪21+tan ⎪2⎩
P (sinx , cos x ) x dx 可用变换t =tan 化为有理函数的积分，但由于计算较烦，⎰Q (sinx , cos x ) 2
应尽量避免。
对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成sin x cos x 。再用待定系数 或cos x sin x
A (a cos x +b sin x ) +B (a cos' x +b sin' x ) 来做。（注：没举例题并不代表不重要~） a cos x +b sin x
(3)简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x 和+x 时，可令x =tan 2t ；x 时，可令同时出现x -x 时，可令x =s in 2t ；同时出现-x 2和arcs in
x=sint；同时出现-x 2和arccos x 时，可令x=cost等等。
参考文献
1. 百度文库 求不定积分的方法及技巧
2. 百度文库 高职不定积分教案
3. 百度文库 不定积分的基本公式
4. 百度文库 不定积分的常用求法
5. 百度文库 不定积分解法总结