使用均值不等式求最值的变形技巧
高中数学教材中给出了两个重要的不等式定理，即均值不等式，这两个定理在解题中应用十分广泛.使用不等式求最值的约束条件非常严格，只有同时具备了“一正（即各项或各因式必须为正数）、二定（即必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构）、三相等（即要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值，而且要同时具备这三个条件，才能求出最值）”三个条件，才能求出最值.这就需要一定的变形技巧，构造出取得最值的条件.下面介绍常见的变形技巧. 1.配系法 使用均值不等式求最值时需要重新搭配变量的系数，使之符合均值不等式三条件. 例1 设0 分析：由于两个变量1-2sinx与sinx中的sinx的系数绝对值不同，所以“和”不是定值，因此需要重新搭配的系数，使1-2sinx与sinx的和为定值. 解：因为00，sinx>0， 所以y=（1-2sinx）sinx=12（1-2sinx）·2sinx≤12（1-2sinx+2sinx2）2=18. 当且仅当1-2sinx=2sinx，即sinx=14时，不等式取等号. ∴y=（1-2sinx）sinx的最大值是18. 2.凑项法 为使求最值的解析式符合均值不等式的三个条件，需要将某些项拆成两项或添加某些项，就是凑项法.凑项法往往需要与配系法同时使用. 例2 设a>2，求P=a+1a-2的最小值. 分析：需要通过加减2，使a 变成a-2，同时还要保证a-2·1a-2是常数，这样才能使用均值不等式求最值. 解：因为a>2，所以a-2>0. 所以P=a+1a-2=（a-2）+1a-2+2≥2（a-2）×1a-2+2=2+2=4. 所以（a-2）=1a-2，即a=3时，P有最小值4. 3.平方法 平方法不是独立的变形方法，而是为使用配系法和凑项法创造条件和表达方便而采用的一种方法. 图1 例3 如图1，现在有直径为d的圆木，要把它锯成横面是矩形的梁，从材料力学知道，横断面是矩形的梁的强度Q=kbh2（b=AB，h=AD，k是常数），若要使强度最大，求AB与AD的比. 解：设∠BAC=θ，AC=d，有b=AB=dcosθ，h=AD=dsinθ. Q=kbh2=kd3cosθsin2θ. 令y=cosθsin2θ. 则2y2=2cos2θsin4θ=2cos2θsin2θ≤（2cos2+sin2θ+sin2θ3）=827. 当且仅当2cos2θ=sin2θ，即tanθ=2时，y2有最大值，从而Q有最大值. 所以AB∶AD=1∶2. 4.代换法 利用题目当中的已知条件，对要求解的代数式加以代换变形，使之符合均值不等式的条件，再应用均值不等式加以求解. 例4 已知x，y∈R+，且2x+y=1，求1x+1y的最小值. 分析：直接利用均值不等式对1x+1y求解不符合不等式成立的条件，只有通过变形，把已知条件2x+y=1中的1加以代换变形，进而求解. 解：由2x+y=1，得 1x+1y=2x+yx+2x+yy=3+yx+2xy≥3+2yx·2xy=3+22. 当且仅当yx=2xy时，即x=2-22，y=2时等号成立. 所以，当x=2-22，y=2-1时，1x+1y的最小值为3+22. 总之，均值不等式在求最值方面有着广泛的应用，也是历年高考重点考查的知识点之一，且常考常新.对于给定的函数式或多项式在一定的条件下求最值，只要我们注意“一正二定三相等”，积极创造条件利用均值不等式就一定可以求出最值.