第十二章轴对称
第十二章 轴 对 称
【知识概念图表】
【易混易错剖析】
1. 容易混淆图形轴对称和轴对称图形、轴对称图形和中心对称图形的概念。图形轴对称和轴对称图形前面已辩,此处不再赘述。而轴对称图形和中心对称图形都是具有特殊对称性的一个图形,二者的联系与区别既是中考常考考点,也是学生易错问题。
典型示例:
选择:在①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形,⑤等边三角形,⑥线段,⑦等腰梯形,⑧扇形这八个图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的共有( )种
A 、 3 B 、4 C 、5 D 、7
常见错误:选D.
解析点评:本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念。轴对称图形和中心对称图形都是指一个具有特殊对称性的图形,如果将图形沿着某条直线对折,图形的一部分与另一部分能够完全重合,那么这个图形就是轴对称图形,如果将一个图形绕着某一个点旋转,旋转前与旋转后的图形能够完全重合,那么我们就说这个图形是中心对称图形。①平行四边形是找不到一条直线,使其沿着它折叠,能够让它两部分重合的,因而它不是轴对称图形,但是,将其绕着对角线交点旋转180度,旋转前与旋转后的图形是能够完全重合的,因而它只是中心对称图形;②矩形能沿着过对边中点的直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的,③菱形④正方形这三个图形都能够沿着对角线所在的直线折叠,两部分能够完全重合,所以②③④它们都是轴对称图形,并且矩形和菱形都有两条对称轴,正方形有四条对称轴,同时,将它们绕着对角线的交点旋转180度,旋转前与旋转后的图形是能够完全重合的,所以它们也是中心对称图形;⑤等边三角形⑦等腰梯形⑧扇形只是轴对称图形,其中等腰梯形和扇形只有一条对称轴,而等边三角形有三条对称轴;⑥线段比较特殊,因而许多同学都错在这里,线段既是轴对称图形也是中心对称图形,它有两条对称轴,一条是它的中垂线,另一条是它本身所在的直线,它的对称中心是它的中点。综合上述分析,既是中心对称图形又是轴对称图形的有 “②矩形,③菱形,④正方形,⑥线段”这四个图形,因而正确的答案是:选B. 本题启示:判别一个图形是不是轴对称或中心对称图形,主要是根据概念的定义,要会大胆想像,必要时可画或剪出图形,动手操作。
2. 在解已知条件不太明确的等腰三角形相关证明或计算问题时往往不进行分类讨论,导
致结果出错。我们在这一章经常会见到一些关于等腰三角形的题目,告诉了角,但不知道是什么角?是底角还是顶角?不明确!告诉了边,但不知道是什么边?没有明确的说是腰还是底边?许多同学就“葫芦僧判糊涂案”,结果错得一塌糊涂。 典型示例:
①选择:已知等腰三角形的一个外角是150°,那么这个等腰三角形顶角的度数是( )
A 、75°
B 、120°
C 、30°
D 、30°或120°
②填空:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. 常见错误:
①选B 或C 的多;②选单独填2或者单独填2或单独填。 解析点评:
①本题只告诉了:等腰三角形的一个外角是150°,让求这个等腰三角形顶角的度数,显然,这里有不确定因素,这个外角是顶角的邻补角呢?还是底角的邻补角呢?因而,本题就要分类讨论。如图,以下分两种情况讨论:ⅰ当这个外角是顶角的邻补角时,其顶角就是300;ⅱ当这个外角是底角的邻补角时,其底角就为300,那么由“三角形内角和定理”及“等腰三角形的两个底角相等”性质可得,180-2⨯30=120,所以综上两种情况,这个等腰三角形顶角的度数为30°或120°,应选D 。
0 1500
本题启示:当告诉了等腰三角形的某一个角(或外角)的度数而又不能确定这个角具体是什么角时,往往要分类讨论,分类时要不重不漏,讨论完后要综合回答问题。 ②题目告诉了:等腰三角形的一条边为4,周长为10,要让我们求它的面积。首先我们就产生了疑问:“一条边为4”这是一条什么边?是腰还是底?不确定,怎么办?同样还是要分类讨论。如图,以下分两种情况讨论:ⅰ当长为4的边为腰时,则另一腰也是4,而周长为10,所以底只能是2,注意要根据三角形三边关系定理验证一下,我们发现此时能够满足三边关系定理,然后 我们考虑要计算面积,需要知道高,为了计算简便,最好是求底上的高,由等腰三角形的“三线合一性”及“勾股定理”可得底上的高为,那么由面积公式可得此时这个等腰三角形的面积为;ⅱ当长为4的边为底时,则其腰就为
10-4
=3,显然这种情况也是满足三边关系定理的,由等腰三角形2
的“三线合一性”及“勾股定理”可得底上的高为,所以此时这个等腰三角形的面积就为25,那么综合上述两种情况,这个等腰三角形的面积就为:或者25。
2
4
本题启示:当告诉了等腰三角形的某一条边及周长而又不能确定这条边具体是什么边时,往往要分类讨论,将其所有可能的情况逐一探讨并计算出来,讨论完后要作综合回答。须注意的是:在分类讨论时,一定不要忽视了三角形的三边关系定理,在确保三角形存在的前提下再去探讨。
3. 受“用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等”思维定势的影响,不会很好地应用线段中垂线、角平分线、等腰三角形的性质与判定来简化证明过程。如能够使用角
的平分线性质和判定简化证题过程的,学生一时还真转不过弯儿,还要使用三角形全等的判定与性质去证明,既麻烦又容易出错。 典型示例:
如图,点E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA ,ED ⊥OB ,垂足分别是C 、D 。
B
A
求证:
(1)∠ECD=∠EDC ; (2)OC=OD;
(3)OE 是线段CD 的垂直平分线。 常见问题:
(1)证明:∵EC ⊥OA ,ED ⊥OB ,∴∠EDO=∠ECO=90,又点E 是∠AOB 的平分线上一点,
⎧∠EDO =∠ECO ⎪
∴∠DOE=∠COE ,在△DOE 和△COE 中,⎨∠DOE =∠COE ,∴△DOE ≌△COE, ∴ED=EC,
⎪OE =OE ⎩⎧EF =EF ⎪
∠DEO=∠CEO, ∴在△DEF 和△CEF 中,⎨∠DEO =∠CEO , ∴△DFE ≌△CFE, ∴∠ECD=
⎪ED =EC ⎩
∠EDC ;
(2)证明:由(1)得:△DOE ≌△COE, ∴OC=OD;
(3)证明:由(2)得:△DFE ≌△CFE, ∴DF=CF,∠DFC=∠CFE ,而∠DFC+∠CFE=180, ∴∠DFC=∠CFE=90, ∴EF ⊥DC, ∴OE 是线段CD 的垂直平分线。
解析点评:其实本题是不需要证明三角形全等的,并且过程会更加简捷。正确证明如下:(1)证明:∵点E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA ,ED ⊥OB ,∴ED=EC,∴∠ECD=∠EDC ;
(2)证明:∵EC ⊥OA ,ED ⊥OB ,∴∠EDO=∠ECO=90,又OE 平分∠AOB ,∴∠DOE=∠COE ,∴由三角形内角和定理得:∠DEO=∠CEO ,而EC ⊥OA ,ED ⊥OB ,∴OC=OD;
B
A
(3)证明:由(1)得ED=EC,∴点E 在线段DC 的垂直平分线上,又由(2)得OC=OD,∴点O 也在线段DC 的垂直平分线上,∴直线OE 就是线段DC 的垂直平分线。(或者∵OC=OD且OE 平分∠AOB ,∴DF=CF,OF ⊥DC ,∴直线OE 就是线段DC 的垂直平分线。) 本题启示:在几何证明题中,虽然许多题都不止一种证明方法与途径,但是解答过程往往越简捷越理想,所以能够用线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等等的性质和判定来简化解题过程的,就尽量追求简捷,不要老是陷入全等三角形的性质与判定的泥沼里,什么都想用全等来证明,要善于拓展思维,积累方法,追求数学的简捷美。 【考点命题突破】 考点分析:
必考点:对轴对称图形的识别,等腰三角形的性质与判定定理的综合运用;
常考点:运用轴对称作图,用坐标表示轴对称并会在坐标平面内作轴对称变换,以及含30度锐角的直角三角形的性质的应用;
少考点:作简单平面图形的多次轴反射图,利用轴对称进行图案设计,分析简单几何图形的对称关系等。
中考热点:图形变换是近年中考必考题,将等腰三角形知识与分类讨论问题结合,与四边形、解直角三角形、圆以及函数问题结合在一起出难度较高的综合题。
考查方式:对轴对称和轴对称图形的考查往往是填空题或选择题甚至于作图题,对等腰(等边)三角形的知识的考查往往是大型综合题,甚至于有些就是与函数结合进行分类讨论的压轴题。
【中考典题回顾】