期末复习迎考-导数
第三章 导数
【基础梳理夯实】
一、复习目标
1. 导数的几何意义,导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性,求函数的极值、最值等. 2. 常与直线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查,题型多样,属中高档题目. 二、自主梳理
1. 导数的几何意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是: _________________________.
2. 导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调性.
3. 函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函 数的最值.
4. 四个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x)′=_________. (2)(cos x)′=_____________.
(3)(ax)′=_______(a>0,且a≠1). (4)(logax)′=_____________(a>0,且a≠1). fx(5)[f(x)·g(x)]′=___________________. (6)gx′=_______________(g(x)≠0). 三、知识网络 四
四、基础练习
1.设函数f(x)在xx0处有导数,且limA. 1
B. 0
f(x02x)f(x0)
1,则f(x0)( )
x0x
1
C. 2 D.
2
2.函数f(x)3xx3的单调增区间为 ( ) A. (0,) B. (,1) C. (1,1) D. (1,)
a2
3.函数f(x)xa0的减区间为( )
x
A. a,a B. a,0,0,a C. a,00,a D. 以上皆非 4.三次函数f(x)ax3x在x,内是增函数,则 ( ) A. a0
3
B.a0 C.a1
D.a
1 3
5.若曲线yxpxq与x轴相切,则p,q之间的关系满足
( )
A.()()0 B.()()0 C.2p3q20
【题型归类突破】
p3
2
q2
2
p2
2
q3
3
D.2q3p20
题型一 导数几何意义的应用
例1. 过点(1,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为________.
π
变式练习:(1)若曲线f(x)=xsin x+1在xax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( )
2
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)已知函数fx式.
nx6
在点1,f1处的切线方程为x2y50,求函数yfx的解析2
xm
题型二 求函数的单调区间
例2.求函数y2xlnx的单调区间.
题型三 利用导数与单调性的关系证明不等式
例3.已知xR,求证:ex1.
题型四 函数的极值与最值
例4.设函数f(x)ax3bx2cx在x1和x1处有极值,且,f(1)1. (1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的极值.
x
例5.已知a为实数f(x)(x24)(xa). (1)求导数f(x);
(2)若f(1)0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (3)若f(x)在(,2]和[2,)上都是递增的,求a的取值范围.
题型五 生活中的优化问题
例6.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与每吨的价格P(元/吨)之间的关系为
1
P24200x2,且生产x吨的成本为R50000200x元,问:该厂每月生产多少吨产品才能使利润达
5
到最大?最大利润是多少? (注:利润=销售收入-总成本)
【随堂·自我测评】
1. 设函数ysinx在x0和x
2
附近的瞬时变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 ( )
A. k1k2 B. k1k2 C. k1k2 D.不确定
2.直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b的值为 ( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3 3.(2013·浙江)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )
4.若f(x)x3ax24在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是 ( ) A.a3 B.a3 C.a3 D.0a3
5.若函数y=f(x)在R上可导,且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等 式一定成立的是 ( )
A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)
6.若函数yA.b0
43
xbx有三个单调区间,则b的取值范围是 ( ) 3
D.b0
( )
B.b0 C.b0
x
7.函数y=sin x的图象大致是
3
32
8.函数f(x)xpxqx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极大值为______,极小值为________.
9.函数f(x)x
3
12
x2x5,若对于任意x[1,2],都有f(x)m,则实数m的取值范围是______. 2
10.如图是yf(x)导数的图象,对于下列四个判断:
①f(x)在[2,1]上是增函数;②x1是f(x)的极小值点;③f(x)在[1,2]上是增函数,在[2,4]上是减
函数;④x3是f(x)的极小值点,其中正确的判断是_______.
11.已知函数f(x)=(x+ax+2)e (x,a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数y=f(x)为单调函数,求实数a的取值范围;
5
(3)当a=-时,求函数f(x)的极小值.
2