求轨迹方程的常用方法(生)

求轨迹方程的常用方法

课前热身：

x2y2

1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹

95

中点的轨迹方程为：

（ ）

x2y242y2x242x2y2

A、x=1 1 B、y1 C、1 D、

9595920365

【答案】：B

x242

【解答】:令中点坐标为(x,y),则点P 的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得y1,选B

95

2. 圆心在抛物线y22x(y0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（ ）

A xyx2y

2

2

2

2

1

0 4

B xyx2y10 D xyx2y

2

2

22

C xyx2y10 【答案】：D

1

0 4

a2a21,a),则由题意可得a,解得a1,则圆的方程为【解答】:令圆心坐标为(222x2y2x2y

1

0,选D 4

2

2

2

2

3: 一动圆与圆O：xy1外切，而与圆C：xy6x80内切，那么动圆的圆

心M的轨迹是：

A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【答案】：D

【解答】令动圆半径为R，则有

4: 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ） A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线 【答案】：A

|MO|R1

，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。

|MC|R1

知识梳理：

（一）求轨迹方程的一般方法：

1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项：

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

xf(t) 2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y)0表示，又可用参数方程(t为参数) 

yg(t)来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。

【互动平台】

一：用定义法求曲线轨迹

求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。

例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

5

sinBsinAsinC,求点C的轨迹。

4

55

【解析】由sinBsinAsinC,可知bac10，即|AC||BC|10，满足椭

44

圆的定义。令椭圆方程为

x2a

'2



y2b

'2

1，则a'5,c'4b'3，则轨迹方程为

x2y2

1（x5)，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 259

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

（1） （2） （3） （4）

圆：到定点的距离等于定长

椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 到定点与定直线距离相等。

【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：

。

，

的圆心为M2，

。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为

2

2

2

2

2:一动圆与圆O：xy1外切，而与圆C：xy6x80内切，那么动圆的圆

心M的轨迹是：

A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支

|MO|R1

【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。

|MC|R1

二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。

例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

解 设M点的坐标为(x,y) 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=

11

AB2aa, 22

x2y2a,x2y2a2

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.

【点评】此题中找到了OM=

1

AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有2

下列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？

22

【解答】∵|PA|=(x3)y,|PB|

|PA|

2），|PB|

(x3)2y2

(x3)2y2|PA|

2(x3)2y24(x3)24y2 2得代入

|PB|(x3)2y2

化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

三：用参数法求曲线轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的

取值范围。

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【解析】

分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。

解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０） 由l1l2，则直线l2的方程为y4

1

(x2) k

4，0)， k24)， l2与y轴交点B的坐标为(0，k

l1与x轴交点A的坐标为(2 ∵M为AB的中点，

4

212x2k (k为参数)

24

21y2k

消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： |MP|

1

|AB| 2

解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP| (x2)(y4)

2

2

1

|AB| 2

1

(2x)2(2y)2 2

化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。 分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，

4042y

，kPB 22x20442y

1，化简，得x2y50 

22x2

而kPA

注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0

综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

【点评】

1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB

1

＝－1，|MP||AB|这些等量关系。。

2

用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。

解法一：“几何法”

设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC,

２２ ２

所以|OM | ＋|ＭＡ|＝|ＯＡ| ， 即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16 化简得：（x－2）2+ y2 =4................................①

由方程 ① 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。

解法二：“参数法”

设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4), 由直线与圆的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0...........(*),

x1x24k2

由点M为BC的中点，所以x=...............(1) , 又OM⊥BC，所以21k2

k=

y

.................(2)由方程（1）（2） x

1

,所以x＜1. 3

消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤

所以点M的轨迹方程为（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。

四：用代入法等其它方法求轨迹方程

x2y2

0)为定点，求线段AB的中点M的 例4. 点B221上的动点，A(2a，

ab

轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得

x02a

xx02x2a2

 

y02yy00y

2

即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

x2y2

又点B(x0，y0)在椭圆221上

ab

xy

02021

ab

22

(2x2a)2(2y)2

从而有21，

a2b

4(xa)24y2

21 整理，得动点M2

ab

【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系

【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满

足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=(x4)2y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得

x4y0

, ,y1

22

(

x42yx4

－10=0 )()24

222

x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

【备选题】

已知双曲线xy2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于

22

A，B两点．

O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； F1AF1BFO11（其中

（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知F1(2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

解法一：（I）设M(x，y)，则则FM(x2，y)，F1A(x12，y1)， 1

F1B(x22，y2)，FO(2，0)，由FMF1AF1BFO111得 x2x1x26，x1x2x4，

即 

yyyyyy1212

于是AB的中点坐标为

x4y

． 22

y

yy2yy(x1x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1y2

x8x1x22x8

2

222

又因为A，B两点在双曲线上，所以x1y122，x2y22，两式相减得

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(x1x2)(x4)(y1y2)y．

将y1y2

y

(x1x2)代入上式，化简得(x6)2y24． x8

当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x6)y4．

（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA.CB为常数．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x2)(k1)． 代入xy2有(1k)x4kx(4k2)0．

2

2

2

2

2

2

2

2

4k24k22则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1x22，x1x22，

k1k1

于是.(x1m)(x2m)k2(x12)(x22)

(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)4k2m2

(k21)(4k22)4k2(2k2m)4k2m2 22

k1k12(12m)k2244m22

m2(12m)m． 22

k1k1

因为.是与k无关的常数，所以44m0，即m1，此时.=1． 当AB与x轴垂直时，点A，

B的坐标可分别设为(2

，(2， 此时.(1,2).(1,2)1．

故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA.CB为常数． 解法二：（I）同解法一的（I）有

x1x2x4，

y1y2y

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x2)(k1)． 代入x2y22有(1k2)x24k2x(4k22)0．

4k2

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1x22．

k1

4k24k

． y1y2k(x1x24)k42

k1k1

4k2

由①②③得x42．…………………………………………………④

k1y

4k

．……………………………………………………………………⑤ 2

k1

当k0时，y0，由④⑤得，

x4

k，将其代入⑤有 y

x4

4y(x4)y22

y．整理得(x6)y4． 222

(x4)(x4)y

1y2

4

当k0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(8，0)，也满足上述方程．

故点M的轨迹方程是(x6)2y24．

（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA.CB为常数，

4k24k22当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1x221，x1x22．

kk1

以上同解法一的（II）．

【误区警示】

1.错误诊断

【例题5】ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的

轨迹方程。

x2y2

【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为221，

abx2y2

1 则由定义可知a5,c3，则b4，得轨迹方程为

2516

【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。

【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(5,0)，

x2y2

1(x5) 即轨迹方程为

2516

2.误区警示

1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。

2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。

3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。

【课外作业】 【基础训练】

22

1:已知两点M(1,),N(4,)给出下列曲线方程：①4x2y10；②xy3；

5454

x2x22

y1；④y21，在曲线上存在点P满足|MP||NP|的所有曲线方程是③22

（ ）

A ①③

【答案】:D B ②④ C ①②③ D ②③④

【解答】: 要使得曲线上存在点P满足|MP||NP|,即要使得曲线与MN的中垂线y2x3有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D

2.两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是.

【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x2y2xy0

3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .

【解答】:令M点的坐标为(x,y),则A的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面得:(x)y1

2221(x0) 4

224:当参数m随意变化时，则抛物线yx2m1xm1的顶点的轨迹方程为

___________。

【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。

15【解答】：抛物线方程可化为xmym 24

它的顶点坐标为xm215，ym 24

消去参数m得：yx3 4

故所求动点的轨迹方程为4x4y30。

5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程为____________。

【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线x40的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。

【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线x4的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、x4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y16x。 2

6:求与两定点OO1，0、A3，0距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________ 

【分析】:设动点为P，由题意

关系式。 POPA1，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量2

【解答】：设Px，y是所求轨迹上一点，依题意得PO

PA1 2

由两点间距离公式得：x2y2

x32y21 2

化简得：xy2x30

7抛物线y24x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

【分析】：抛物线y24x的焦点为F1，0。设△ABC重心P的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x1，y1)。其中x11 22

【解答】：因点Px，y是重心，则由分点坐标公式得：xx12y，y1 33

即x13x2，y13y

2由点Cx1，y1在抛物线y24x上，得：y14x1 

将x13x2，y13y代入并化简，得：y242x（x1) 33

【能力训练】

8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（

MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。 ，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，

x2y2

【解答】：设双曲线方程为221。将y=x－1代入方程整理得ab

。 x1x22a2a22,由韦达定理得x1x22。又有23ab2a2b2

解得a22,b25。 ，联立方程组，

∴此双曲线的方程为。

9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

【解答】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。

2222（1）当x≤3时，方程变为(x1)y3x4,(x1)yx1，化简得

y24x(0x3)。

2

222（2）当x>3时，方程变为(x1)yx34,(x1)y7x，化简得

。

故所求的点P的轨迹方程是或

10.过原点作直线l和抛物线yx24x6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得x(,426)(426,)。

设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。

由消去k得。

又，所以x(,)(,)。

∴点M的轨迹方程为y2x24x,x(,6)(6,)。

【创新应用】

11.一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是（ ） A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆

【答案】：A

【解答】：由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R为圆的半径），则P的轨迹是椭圆，选A。