极限思想在高中数学的应用

极限思想在高中解题中的运用

宜宾县一中 雷勇

极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。

2

yax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q例1、过抛物线

11

QFpqpq两点，若线段PF与的长分别是、,则等于（ ）

41

(A)2a (B) 2a (C) 4a (D) a

分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求p、q、a的关

系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与y轴重合，此时Q与O重合，点P

运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，

QFpOF

1

4a，而PFq，所以

它是弦的一种极限情形，因为

11

。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维4a，故选择（C）

pq

的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。

例2、正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A（

n2n1

,） B（,） nn

A3

A1

C（0,） D（

2



n2n1

,） nn

1

分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正n多边形的一个内角，即为

例3、已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和

AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为(x4,0),若1x42,则

tg的取值范围是（ ）

n2n2

，因此，所求二面角的范围应为（,） nn

1 A．(,1)

312B．(,)

3321C．(,)

52

分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出tg的取值范围，根据极限的观点，令x41，不妨令

P4与P0重合，依据入射角等于反射角，即知P1、P2、P3均为各边中点，此时

tan

1

，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C） 2

14

例4、已知函数f(x)(x1)2，若存在t,t为实数，只要x[1,m](m

1)，就有

f(x)x，则m的最大值是分析：作函数yx与y(x1)2的图像，平移f(x)的图像.使之与直线yx交于（1，1）和(m,m),(m1)两点，此时所得的图像是yf(xt)，图像的极端位置；于是解方程组

14

f(1t)1t4

，再由m1，得，所以mmax9

m9f(mt)m

2

例5、 已知数列an中，a15且对于任意正整数n，总有an1

an

，是否存an2

3

在实数a,b，使得anab()n，对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证

4

明；若不存在，说明理由。

3

分析: 如果这样的a,b存在的话，则由anab，可得limana。

n

4

n

对an1

ana

两边取极限，得a，解得a0或a3。 an2a2

3

若a0，则数列an应该是以a15为首项、以q为公比的等比数列，

43

于是，an5

4

n1

3

，a25

4

21



a115

不符合a2 4a12an

； an2

n

显然，不可能对任意的正整数n都满足an1

n

8383

若a3，将a15代入anab ，可求得b，此时，an3，

34348583

验证：a23，不符合an3

3334

2

3

。 4

n

所以，这样的实数a,b不存在。

1111

例6、设n 为自然数，求证: 2

9252n14

分析： 当n1时，不等式显然成立。 设nkk1时，不等式成立，即

1111

  1 2

9252k14

那么，当nk1 时，

111111

 22292542k12k32k3 3

由于

111

， 2

42k34

证到此处，用数学归纳法证题思路受阻。

1

是一个常数，从k到k1右4

边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。

之所以用数学归纳法证题思路行不通，其原因在于

当联想lim

n1n11

，且当n1不妨把要证结论强化为：，

n4n144n189

111n

 2 9252n124n1n11

，不等式2成立， 证明：①当n1时，

4n189

②设nkk1时，不等式2成立，即

111k 9252k124k1那么，当nk1时，

11119252k122k32

k1

4(k1)(2k3)21k1



4k1(2k2)(2k4)k1

4(k2)

即当n

k1时，不等式2成立，所以有

111n1 2

9254n142n1

通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。

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