八年级上册尖子生测试卷
八年级数学(满分120分)
参考公式:
1、 两点距离公式:设A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),则
AB =2、 乘法公式:①a -b =(a +b )(a -b );②
2
2
2
(a ±b )=a 2±2ab +b 2;
③
a 3±b 3=(a ±b )(a 2ab +b 2);④(a ±b )=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3
3
一、选择(2*6=12)
1、 有下列 4 个命题,其中正确的个数是( ).
①有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等; ②有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;
③三角形的六个边,角元素(指三边、三角)中,有五个元素分别相等的两个三角形全等; ④一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等. A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2、下列因式分解中错误的是( ). A 、x -xy +zx -yz =(x -y )(x +z )
2
2
22
B 、y x +2yx -2zy -y z +x -z =(y +1)(x -z )
C 、b a -a -2b +2a b =(a +2b )(b -a )(a -b )
2
3
3
2
8844
D 、x -y =x +y
()(x
2
+y 2)(x +y )(x -y )
3、在数列x 1,x 2、x 3……中,设x 1=1,当k ≥2时,x k =x k -1+1-4 ⎢
⎛⎡k -1⎤⎡k -2⎤⎫
-⎢⎪⎥4⎦⎣4⎥⎦⎭⎝⎣
).
(定义[a ]表示不超过a 的最大整数,如[π]=3),则x 2015之值等于( A 、1
2
B 、2
C 、3 D 、4
4、已知x 是无理数, (x +1)(x +3)是有理数, 则 ①x 是有理数
2
②(x -1)(x -3)是无理数 ④(x +2)是无理数
). 、
…
、
2
③(x +1)是有理数
上述4个结论中,正确的有(
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5、已知a 1、a 2
a 2002
均为正数, 记,
M =(a 1+a 2+... +a 2001)(a 2+a 3+... +a 2001-a 2002)
( ). N =(a 1+a 2+... +a 2001-a 2002)(a 2+a 3+... +a 2001), 则M ,N 之间的大小关系:A 、M N D 、不定 6、对于实数x ,y 定义新运算:x *y =x +y +xy ,那么:( ). A 、运算*满足交换律,不满足结合律 C 、运算*不满足交换律、结合律 二、填空(3*8=24)
B 、运算*不满足交换律,但满足结合律 D 、运算*满足交换律、结合律
7、在平面直角坐标系中,已知D (3,4),P 在x 轴的正半轴上,若∆DOP 是等腰三角形,则P 的坐标为_____.
8、若∆ABC 的三条中线长分别为3、4、5,则S ∆ABC =_____. 9
、化简二次根式_____. 10、若关于
x 的代数方程x +
b b
=a +之解为x 1=a ,x 2=,则代数方程x a a
22=a -之解为:_____. x -1a -1
222233+111123
=11、计算:.
222233+111113
12
、试比较三数:a =-
1、b =3-
c =_____. 13、梯形边长:3、4、5、6,则它的面积为_____. x -
14
、
1=
)
6
,
1=
)
8
.
三、解答题A (5*4=20)
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.纯文字类证明题应自行画图并写出已知、求证、证明.
15、求证:在同一三角形中,大边对大角.(长边对角较大)
=x .
17、如图1,正方形OABC 的边长为4,P 从O 点出发沿x 轴以每秒1单位的速度运动到A 点停止.将线段PC 绕点P 顺时针旋转90︒得PD .设P 点运动的
16
时间是t 秒.
(1)在P 沿线段OA 运动的过程中,求D 的坐标(用含t 的代数式表示) (2)在P 运动结束后,求D 运动的总路程. 18、分解因式:y -6y +9
图1
四、解答题B (7*4=28)
19、在∆ABC 和∆DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E .∠B 为直角时,显然∆ABC ≌∆DEF ;(图①)
(
2
)
2
-14(y 2-6y +9)+24.
x
D
①
②
③
图2
(1)∠B 为钝角时,求证:∆ABC ≌∆DEF ;(图②)
(2)∠B 为锐角时,请在图③中作∆DEF ,使∆DEF 与∆ABC 不全等. (3)在(2)的条件下,当_______时,∆ABC ≌∆DEF .
2mx 3+2=. x -2x -4x +2
21、如图3,四边形ABCD 中,∠B =135︒,∠C =120︒,AB =,
20、解关于x 的方程:
BC =4-CD =AD 的长度.
432
22、已知b b +12b +37b +6b -20的值.
五、解答题C (8*2=16)
图3
=1,求x 2-3x +1的值. 2100
24、求2+2+... +2-1的个位数.
23、已知
六、解答题D (10*2=20) 25、有理数x 、y 满足
⎛1π⎫⎛1π⎫
+⎪x + +⎪y -4=π,求x -y 的值. ⎝23⎭⎝32⎭
26、在四边形ABDE 中,C 是BD 的中点.
A
E E
B
C
E
B
C
D
①
②
D
C D
③
图4 (1)若AC 平分∠BAE ,∠ACE =90︒,猜想AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为____,并证明;(图①)
(2)如图,若∠ACE =135︒,AB =2,BD =DE =8,求AE 的最大值.(图②) (3)若AC 平分∠BAE ,EC 平分∠AED ,∠ACE =120︒,请直接写出AB 、DE 、BD 、AE 的长度满足的数量关系:_____.(图③)
(20150223)
参考答案
7、(
5,0)或(6,0) 11、
8、8
913、18
10、x 1=a ,x 2=
a -3
a -1
33335
33334
12、a >c >b 14、99+
577+三、解答题A (5*4=20)
15、如图1
,已知:在∆ABC 中,AB >AC ,求证:∠ACB >∠B . 证明:在AB 上截取AD =AC ,则∠ADC =∠ACD .
由于∠ADC >∠B ,于是∠ACD >∠B ,又∠ACB >∠ACD , 于是∠ACB >∠ACD >∠B . 16、解:两边平方有2x +A
=2=1-x .
C
D B
图1
显然x -1≤0,即x ≤1,又2x -1≥0,于是
1
≤x ≤1. 2
DE =OP =t
,
17、(1)如图2,过点D 作DE ⊥x 轴于点E .
∆
COP ≌∆PDE 易得,于是
(2)易知点D 的运动轨迹是一条线段. 当P 点与O 点重合(即P (0,0)时),D 1(4,0); 当P 点与A 点重合(即P (4,0)时),D 2(8,4).
OE =OP +PE =OP +OC =t +4,故D (t
+4, t ).
1图2
D 1D 2=
2
=D 运动的总路程是
2
18、解:记y -6y +9=t ,原式=t -14t +24=(t -12)(t -2),
=t 2-14t +24=(t -12)(t -2)=(y -6y -3)(y -6y +7)
2
2
四、解答题B (7*4=28)
19、(1)分别过C 、F 作CH ⊥AB ,FI ⊥DE 于H 、I ,则有Rt ∆CBH ≌Rt ∆FEI ,Rt ∆ACH ≌Rt ∆DFI ,于是有AB =DE ,于是∆ABC ≌∆DEF .(图3—①)
(2)如图3—②,以C 为圆心,AC 为半径画弧交AB 于D ,B 、E 重合,C 、F 重合,则∆DEF 与∆ABC 不全等.
C
F
C (F )
A
B
H
D
E
I
A
D
B (E )
①
图3
②
(3)∠B ≥∠A
20、解:整理得(m -1)x =-10.
①当m =1时,原方程无解.
②由分式方程有意义的条件知,当m ≠1,x ±2=0时,即m =6或m =-4时,原方程无解;
③当m ≠1,m ≠6,m ≠-4时原方程有唯一解
x =
10
. 1-m
F
E
G
21、解:如图4,过A 、D 作AE ⊥BC ,DF ⊥BC 于E 、F .过A 作AG ⊥DF 于G .
则
DF =
EF =BC +BE +CF =4
易知四边形AGFE
是矩形,于是AG =EF =4+
另外有DG =DF -FG =DF -AE =在Rt ∆AGD 中,∠AGD =90︒
,AD =22、解:
由
BE =AE =
=
,
CD CF ==
2
,
A
,
D
图4
=2+
=3+b ,两边平方有b 2+6b =5,于是原式
2
=(b 4+2⨯6b 3+36b 2)+(b 2+6b )-20=(b 2+6b )+(b 2+6b )-20=10.
五、解答题C (8*2=16) 23、由已知,两边平方有x -2+24、记S =2+2+... +2
2
100
1
=1,两边同乘x 有x 2-2x +1=x ,即x 2-3x +1=0. x
-1,两边同乘2有2S =22+23+... +2101-2,两式相减得
S =2101-3.
12354
由于2=2,2=4,2=8,2=16,2=32……也就是说,2的幂的个位每4个
101101
呈2、4、8、6循环,且101÷4=25……1,故2的个位是2,故S =2-3的个位是9.
六、解答题D (10*2=20)
11111⎛1⎫
x +y -1⎪π=-x -y +4,易知-x -y +4是有理
23223⎝3⎭
1⎛1⎫
数,而 x +y -1⎪π当且仅当其值为0时为有理数,故有
2⎝3⎭
⎧x =12, 1111
x +y -1=-x -y +4=0,解之得⎨,故x -y =18. 3223⎩y =-6
25、解:原方程变形为: 26、
A F
E A
F
G
E
B
C
D
B
C
①
图5
②
(1)AE =AB +DE .
证明:如图5—①,在AE 上截取AF =AB ,连结CF ,则∆ACF ≌∆ACB ,AB =AF ,∠ACB =∠ACF ,又CF =CD ,且∠ACB +∠DCE =∠ACF +∠ECF =90︒,于是∠DCE =∠ECF ,于是∆EFC ≌∆EDC ,EF =ED ,故AE =AF +EF =AB +DE .
EG =ED ,CG ,(2)如图5—②,在AE 上截取AF =AB ,连结CF 、则∆ACF ≌∆ACB ,
∆ECG ≌∆ECD ,得CF =BC =CD =CG ,又∠FCG =90︒,故CF =
BD
=
4,2
.即当
FG =,
故AE ≤AF +FG +EG =AB ++DE =10+AE =AF +FG +
EG 时取得最大值10+.
(3)AE =AB +DE +BD
2
.
注:解答题如方法不一,只要说理正确即可.
(20150223)