流体压力势能与流体能量守恒及其应用

论流体压力势能与流体能量守恒及其应用

陈建仁①, 陈妍②

①江苏省兴化市地方海事处, 兴化225700; ②南京审计学院, 南京210000 *E-mail: [email protected]

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摘要本文从处于重力场中的物体具有重力势能，引出了处于流体压力场中的物体具有压力势能，推导出压力势能的计算公式。指出了压力势能是一种机械能，一定条件下可以与重力势能、动能、内能相互转化，应当遵守能量守恒定律，推导出了单位质量流体能量守恒公式。并利用该公式计算空气的定压比热容，计算大气绝热递减率，计算结果与实际相符，验证了流体能量守恒公式的正确性。

关键词 流体 压力势能 能量守恒 大气绝热递减率

我们大家都知道，处于重力场中的物体具有重力势能，物体处于被压缩弹簧的自由端具有弹性势能，这是因为重力、弹力可以将物体克服重力、弹力所做的功等值释放出来。

本人研究发现，流体的压力也具有同样的性质，处于流体压力场中的物体具有压力势能。

本文结构安排如下: 第1节用一个简单例子说明了处于流体压力场中的物体具有压力势能并推导出了压力势能的计算公式，分析了压力势能与动能、重力势能、内能之相互转化; 第2节根据能量守恒定律指出了流体在一定条件下，流体速度、位置高度、流体压力、流体密度、流体温度之间的关系。第3节运用流体能量守恒公式，计算空气的定压比热容，计算大气绝热递减率，计算结果与实际相符，验证了流体能量守恒公式的正确性。

1流体压力势能

1.1 压力势能的度量

将一个气球压入水下（气球重量忽略不计），深度h ，气球体积v ，则气球的浮力为：ρvg ，气球压入水下所需要的功：

w=ρvgh=pv

若释放气球，则气球可带动水下重量为ρvg 的重物，上升至水面，气球带动重物所做的功为pv 。

由此可见，处于流体压力场中的物体具有压力势能。

流体压力场中物体压力势能的大小等于流体压强与物体所排开的流体体积的乘积。

压力势能只与物体在流体压力场中所处位置有关，与物体运动路径无关。流体可以是液体，也可以是气体。

1.2 压力势能与重力势能的相互转化

设一水池，水深h ，有一水滴微团质量为m ，由水面运动到水底，再由水底运动到水面，水底压强为ρ*g*h，计算得知：水面上水滴微团重力势能为：mgh ，压力势能为0，在水底，水滴微团重力势能为：0，压力势能为：压强与体积的乘积等于ρ*g*h*v=mgh。

由水面运动到水底，重力势能转化为压力势能，再由水底运动到水面，压力势能转化为重力势能。

以上示例说明了压力势能与重力势能在一定条件下可以相互转化。

1.3 压力势能与动能的相互转化

设一水管水平放置，从左至中间管径渐渐变大，从中间至右方渐渐变小，水从左至右流过水管。水从左流向中间时，流速减慢，压强增大，部分动能转化为压力势能，从中间流向右方时，流速增大，压强减小，部分压力势能转化为动能。

以上示例说明了压力势能与动能在一定条件下可以相互转化。

1.4 内能与压力势能的相互转化

大气中，一空气微团受热时温度升高，同时体积膨胀压力势能增加，部分热能转化为压力势能。空气微团冷却时温度下降，同时体积缩小压力势能减少，部分压力势能转化为热能。

以上示例说明了压力势能与内能在一定条件下可以相互转化。

综上所述，压力势能是一种机械能，与重力势能、动能、内能在一定条件下可以相互转化。

2 流体能量守恒

2.1 静止临界状态

处于静止状态的理想流体，若受到极其微小的外

力作用时，流场内任意一点的流体微团可以移动到另外任意一点，则这种状态就称为静止临界状态。

2.2 流体能量守恒

处于静止临界状态的理想流体，任意一点的流体微团可以移动到另外任意一点，除了受到重力、流体压力作用外，既没有其他外力做功，也没有克服其他外力做功。

作定常流动的理想流体，流体微团沿曲率不变的流线运动时，除了受到重力、流体压力作用外，既没有其他外力做功，也没有克服其他外力做功，相邻流线之间也没有能量传递。-----曲率不变的流线包括直线和圆弧线。

以上两种状态下，适用能量守恒定律。 因此，———

定理1：处于静止临界状态的理想流体，流场中

任意一点，单位质量的理想流体微团所具有的重力势能、压力势能及内能之总和为常量。

用公式表示：

gh+p/ρ+TCv=C （1）

作定常流动的理想流体，曲率不变的流线（包括直线和圆弧线）上，任意一点，单位质量的理想流体微团所具有的动能、重力势能、压力势能及内能之总和为常量。

用公式表示：

v 2/2+gh+p/ρ+TCv=C （2） ------v 为流速 ------g 为重力加速度 ------h 为位置高度 ------p 为流体压强 ------ρ为流体密度 ------T 为温度

------Cv 为理想气体的定容比热容或不可压缩流体比热容

------C 为常量 证明：

作定常流动的理想流体，流体微团沿曲率不变的流线（包括直线和圆弧线）运动，外力沿流线方向没有分量，没有对流体微团做功。根据能量守恒定律：流体微团所具有的机械能与内能之和守恒。可压缩理想流体为理想气体。

mv 12/2+mgh1+p1V 1+mT1Cv= mv22/2+mgh2+p2V 2+mT2Cv

等式两边同除以m ：

v 12/2+gh1+p1V 1/m+T1Cv= v22/2+gh2+p2V 2/m+T2Cv v 12/2+gh1+p1/ρ1+T1Cv= v22/2+gh2+p2/ρ2+T2Cv

即：

v 2/2+gh+p/ρ+TCv=C （2） 公式（2），本人称之为单位质量流体能量守恒方程。以下简称流体能量守恒方程。

若公式（2）中，v=0，即为： gh+p/ρ+TCv=C （1）

物理学意义：定常流动流速极慢趋近于零时，即为静止临界状态。

若公式（2）中，TCv 为常量，则可改写为： v 2/2+gh+p/ρ=C

若ρ为常量，则可改写为： p+1/2ρv 2+ρgh=C（3）

公式（3）即为伯努利方程。

物理学意义：不可压缩理想流体作定常流动时内能不变，密度不变，所以，单位体积压力势能、动能、重力势能之和为常量。

伯努利方程为流体能量守恒方程的特例。

3.2 计算大气温度绝热递减率

若大气处于静止临界状态，则适用流体能量守恒方程。

gh 1+p1/ρ1+T1Cv= gh2+p2/ρ2+T2Cv=C 若以h 1为基准点，h 1=0， p 1/ρ1+T1Cv= gh2+p2/ρ2+T2Cv

等式两边同乘以m ，上式变换为：

p 1V 1+mT1Cv=mgh2+p2V 2+mT2Cv （4） 由理想气体状态方程可知： p 1V 1/T1=p2V 2/T2 p 2V 2 =p1V 1T 2/T1(5)

3 流体能量守恒方程的应用

3.1计算气体定压比热容

定容比热容：在物体体积不变的情况下，单位质量的某种物质温度升高1K （开尔文）所需吸收的热量，叫做该种物质的“定容比热容”以符号Cv 表示，国际单位是：J/(kg·K) 。

定压比热容：在压强不变的情况下，单位质量的某种物质温度升高1K 所需吸收的热量，叫做该种物质的“定压比热容”，用符号Cp 表示，国际制单位是：J/(kg·K) 。

例１：已知标准状况下，温度为0度，即T=273.15k，标准大气压p=101.33kPa 空气：密度=1.293 kg/m³，定压比热容Cp=1.009 kJ/（kg ·K ），求定容比热容是多少？

解：因为气体在压强不变的条件下，当温度升高时，一部分热量转化为内能，气体一定要膨胀而对外作功，一部分热量转化为压力势能，因此，气体的定压比热容比定容比热容要大些，差值等于1kg 空气升高1k 所增加的压力势能。

1kg 空气标准状况下，体积为：1/1.293=0.7734（m 3）

1kg 空气温度升高1k 等压膨胀增加的体积为：0.7734/273.15=0.002831（m 3）

1kg 空气温度升高1k 等压膨胀增加的压力势能为：0.002831*101330=286.9（J ）=0.2869（kJ ）

所以，空气的定容比热容：

Cv=Cp-0.2869=1.009-0.2869=0.7221 kJ/（kg ·K ）

将（5）代入（4）得：

p 1V 1+mT1Cv=mgh2+p1V 1T 2/T1+mT2Cv

等式两边同除以m ：

p 1/ρ1+T1Cv=gh2+p1T 2/T1ρ1+T2Cv 整理，得：

（T 1-T 2）/h 2=T1ρ1g/（p 1+ρ1T 1Cv ）（6）

公式（6）为大气绝热递减率计算公式，其中：

T 1 ―――基准点空气温度

ρ1―――基准点空气密度

g ―――重力加速度 p 1 ―――基准点大气压强

Cv ―――空气定容比热容

例２：已知标准状况下，温度为0度，即T=273.15k，标准大气压p=101.33kPa 空气：密度=1.293 kg/m³，定容比热容Cv =0.72 kJ/（kg ·K ），求标准状况下, 大气绝热递减率是多少?

解:

将数据代入公式（6）, 解之得: 0.00971(k/m)=9.71(k/km)

大气绝热递减率为:9.71(k/km),即每上升1000m, 大气温度下降9.71k,(°C) 。

需要说明的是，空气中通常含有水蒸气，水蒸气比热容较大，还有降温过程中，水蒸气凝结会放出大量的热量，实际绝热递减率远小于此数值。

参考文献

1 《流体力学》第三版 罗惕乾主编 机械工业出版社