4.4 函数的极值及其求法
4.4 函数的极值及其求法
一、什么是极值?
极值的定义 设函数
在的某个邻域内恒有 )
或(
成立,则称是函数的一个极大值(或极小值) .
极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
可见,极大值就是局部最大值,极小值就是局部最小值.
二、哪些点有可能是极值点?
分析图形
先观察极大值点,函数在的左边是单调增加的,而在的右边变成单调减少的了.其它极大值点处,同样地函数在其左边单调增加,在其右边单调减少.
思考:在极小值点的左右两边,函数的单调性有没有什么变化?有什么样的变化?请
同学们自行思考. 当前讲授
可见,极值点就是函数单调增减区间的交界点.
例4.3.2 讨论函数 解 (1)函数的定义域为 (2)
的单调区间. 提示>> .
.令
,得驻点
,.(无不可导的点)
(3)
上单调增加.
.
,
可见,函数在区间 答:函数的单调减少区间为 在例4.3.2中,极大值是
例4.3.3 求 解 (1)定义域为
.
和上单调减少,在区间和
,单调增加区间为
是极小值点,是极大值点.极小值是
的单调区间. 提示>>
.
(2)
.此外
是不可导的点. ,令
,得驻点
(3)列表分析的单调减少区间是
答:
.
在例4.3.3中,函数有极大值点
,极大值为
的单调增加区间是
和
,
;极小值点,极小
值为.
结论:对于连续函数,只有驻点和不可导的点才有可能是极值点.
三、求极值的方法及步骤
方法一(第一充分条件:利用一阶导数) 步骤:
(1)求出函数的驻点和不可导的点.
(2)以上述点划分定义域,列表分析,确定函数的单调区间.
(3)从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点) ,并求出这些点处的函数值,即得所求极值.
说明:在极值点的左右,若一阶导数符号从‘-’变到‘+’,则该点为极小值点;若一阶导数符号从‘+’变到‘-’,则该点为极大值点;若一阶导数不变号,则该点不是极值点.
方法二(第二充分条件:利用二阶导数)
对于函数的驻点(即一阶导数为零的点),考察该点处的二阶导数.如果不为零,则该点为极值点;如果为零,则无法判断.
在极值点处,若二阶导数值大于零,则该点为极小值点,若二阶导数值小于零,则该
点为极大值点.
典型例题 例题4.4.1 求
解:定义域为.
(1) 求驻点和不可导的点.
令,得驻点:, (2) 列表分析
的极值.
,
.无不可导的点.
答:极小值点为极大值为
特别注意:
,极小值为.
;极大值点为
,
1. 在的左右,一阶导数不变号(均大于零),意味着函数在该点左右单调性无变化,所以该点不是极值点.
2. 驻点可能是极值点,但并非一定是极值点.例如本题中的值点.对于不可导的点,也有类似的结论.
是驻点但不是极
定理(极值的必要条件):如果函数在点且取得极值,则必有
处可导
,即一定是驻点.
例题4.4.2 求函数 解 定义域为. (1)求驻点和不可导的点.
的极值. 提示>>
,
令 ,得驻点:, (2) 列表分析 ,
.无不可导的点.
答:函数在大值为
处取得极小值,极小值为.
;在
处取得极大值,极
例题4.4.3 试问a 为何值时,函数
它是极大值还是极小值?并求此极值. 提示1>> 解
处取得极值,所以应有
,显然
在
在处取得极值?
处可导,又题设在
,
即
,
亦即
从而解得 提示2>> 又
.
在
处,有
所以函数
在
处取得极大值,极大值为