二元一次方程组的应用(1)
【考纲说明】
1. 掌握解方程组的关键步骤 2. 会列方程组解答实际问题 3. 在中考中替班占5分左右
【趣味链接】
在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站,A到B的距离为120千米,B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在BC两个加油站驶去,结果往B站驶来的团站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、
伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?
【知识梳理】
一、二元一次方程组的有关概念
1.二元一次方程
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程(linear equation with two unknowns)。 2.二元一次方程的一个解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解。 3.方程组和方程组的解 (1)方程组 由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
(2)方程组的解 方程组中各个方程的公共解,叫作这个方程组的解。 4.二元一次方程组和二元一次方程组的解
(1)二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组 (2)二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解。 3、代入消元法的步骤:
(1)求表示式 从方程组中选一个系数比较简单的方程(最好是系数为1),将此方程中一个未知数,例如 y,用含x的代数式表示出来,如写成y=ax+b的形式;
(2)代入消元 将y=ax+b代入另一个方程中,消去y,得到一个关于x的一元一次方程; (3)解一元一次方程 求出x的值;
(4)回代得解 将求出的x的值代入y=ax+b中,求出y的值。 4.加减消元法解二元一次方程组
(1)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。 (2)用加减消元法解二元一次方程组的解步骤:
1.方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等,那么就用适当的数乘方程两边,使同一个未知数的系数互为相反数或相等,即“乘”。
2.把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数、得到一个一元一次方程,即“加减”。 3.解这个一元一次方程,求得一个未煮熟的值,即“解”。
4.将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中,求出另一个未知数的值即“回代”。 5.把求得的两个未知数的值用{联立起来,即“联”。 5.列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即:
(1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数; (2)找:找出能够表示题意两个相等关系;
(3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组; (4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;
(5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.
【经典例题】
一、
数字问题
一般地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之. 例1 一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.
分析:设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表 表示
二、利润问题
点评:商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,不要误为是相对于定价或卖出价.利润的计算一般有两种方法,一是:利润=卖出价-进价;二是:利润=进价×利润率(盈利百分数).特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念.
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少? 分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x元,进价为y元,则打九折时的卖出价为0.9x元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y;打八折时的卖出价为0.8x元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10.
二、
配套问题
点评:产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员 常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:
(1)“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍,即
甲产品数乙产品数
;
ab
(2)“三合一”问题:如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:
甲产品数乙产品数丙产品数
.
abc
例3 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?
分析:要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,根据题意,每天生产的螺栓2=每天生产的螺母数×1.因此,设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,与螺母应满足关系式:每天生产的螺栓数×则每天可生产螺栓25x个,螺母20y个
【课堂练习】
1(南京市)某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为6元/辆,小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费230元,问中、小型汽车各有多少辆?
2(2006年四川省眉山市)某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:
现在该公司收购了140吨蔬菜,已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨(两种加工不能同时进行).
(1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜,请完成下列表格:
(2)如果先进行精加工,然后进行粗加工,要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜,则应如何分配加工时间?
3.一次篮、排球比赛,共有48个队,520名运动员参加,其中篮球队每队10名,排球队每队12名,求篮、排球各
有多少队参赛?
【课后练习】
1.某人装修房屋,原预算25000元。装修时因材料费下降了20%,工资涨了10%,实际用去21500元。求原来材料费及工资各是多少元?
2.某单位甲、乙两人,去年共分得现金9000元,今年共分得现金12700元 . 已知今年分得的现金,甲增加50%,乙增加30% . 两人今年分得的现金各是多少元?
3.某市现有 42 万人口,计划一年后城镇人口增加 0.8 % ,农村人口增产增加1.1% , 这样全市人口将增加 1% , 求这个市现在的城镇人口与农村人口.
4. (2011山东临沂,21,7分)去年秋季以来,我市某镇遭受百年一遇的特大干旱,为支援该镇抗旱,上级下拨
专项抗旱资金80万元用于打井.已知用这80万元打灌溉用井和生活用井共58口,每口灌溉用井和生活用井分别需要资金4万元和0.2万元,求这两种井各打多少口?