证明线段相等的方法
平面几何中线段相等的证明几种方法
平面几何中线段相等的证明看似简单,但方法不当也会带来麻烦,特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等
这种方法很普遍,如果所证两条线段分别在不同的三角形中,它们所在三角形看似全等,或者,通过简单处理,它们所在三角形看似全等,可考虑这种方法。 [例1]如图,C是线段AB上一点,△ACD和△BCE是等边三角形。求证:AE=BD。
证明 ∵△ACB和△BCE都是等边三角形
∴∠ACD=60°,∠BCE=60°,∠DCE=60°
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠BCD=∠BCE+∠DCE=120°
∴AC=CD,CE=CB
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴AE=DB
[例2]如图,已知△ABC中,AB=AC,点E在AB上,点F在AC的延长线上,且BE=CF,EF与BC交于D,求证:ED=DF。
证明:过点E作EG//AF交BC于点G
∴∠EGB=∠ACB,∠EGD=∠FCD
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB,∠B=∠FGB,BE=GE
∵BE=CF,∴GE=CF
在△EGD和△FCD中,
∠EGD=∠FCD,∠EDG=∠FDC,GE=CF
∴△EGD≌△FCD(AAS) ∴ED=FD
二、利用等腰三角形的判定(等角对等边)证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中,证全等一时难以证明,可以考虑用此法。 [例1]如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于F。
求证:AF=EF。
证明:延长AD到G,使DG=AD,连结BG。
∵AD=GD,∠ADC=∠GDB,CD=BD
∴△ADC≌△GDB
∴AC=GB,∠FAE=∠BGE
∵BE=AC
∴BE=BG,∠BGE=∠BEG
∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF
∴AE=EF
[例2]如图,已知△ABC中,AB=AC,DF⊥BC于F,DF与AC交于E,与BA的延长线交于D,求证:AD=AE。
证明:∵DF⊥BC
∴∠DFB=∠EFC=90°,∠D=90°-∠B,∠CEF=90°-∠C
∵AB=AC,∴∠B=∠C
∴∠D=∠CEF
∵∠CEF=∠AED
∴∠D=∠AED
∴AD=AE
三、利用平行四边形的性质证明线段相等
如果所证两线段在一直线上或看似平行,用上面的方法不易,可以考虑此法。 [例1]如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD,DE与AB交于F,
求证:EF=FD。
证明:过D作DO⊥AC交AB于点O
∵OD垂直平分AC,∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∴O点必为AB的中点,连结EO,则EO⊥AB
∵∠CAB=30°,∠BAE=∠CAD=60°
∴AD⊥AB,AE⊥AC
∴OE//AD,AE//OD
∴四边形ODAE为平行四边形
∴EF=FD
[例2]如图,AD是△ABC的中线,过DC上任意一点F作EG//AB,与AC和AD的延长线分别交于G和E,FH//AC,交AB于点H。
求证:HG=BE。
证明:延长AD到A”,使DA”=AD
又∵BD=CD
∴四边形BACA”是平行四边形
∴BA=A”C
由题设可知HFGA也是平行四边形
∴HF=AG
∵HF//AC,∴ 又∵
∴BH=EG ,HF=AG,BA=A”C
∴四边形BEGH是平行四边形
∴HG=BE
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等,用上面方法较难,可以考虑此法。
[例1]如图,以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点。
证明:DM=EM。
证明:延长BD至F,使DF=BD。
延长CE到G,使EG=CE,连结AF、FC,连结AG、BG
∵BD=FD,∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△AFD
∴∠BAD=∠FAD
同理可得:∠CAE=∠GAE
∵∠ABD=∠ACE
∴∠FAB=∠GAC,故∠FAC=∠GAB
在△ABG和△AFC中,
AB=AF,∠GAB=∠CAF,AG=AC
∴△ABG≌△AFC
∴BG=FC
又∵DF=DB,EC=EG,M是BC的中点
∴DM==EM,即DM=EM
四、利用中位线证明线段相等
如果已知中含有中点或等边等,用上面方法较难,可以考虑此法。
[例1]如图,以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点。
证明:DM=EM。
证明:延长BD至F,使DF=BD。
延长CE到G,使EG=CE,连结AF、FC,连结AG、BG
∵BD=FD,∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△AFD
∴∠BAD=∠FAD
同理可得:∠CAE=∠GAE
∵∠ABD=∠ACE
∴∠FAB=∠GAC,故∠FAC=∠GAB
在△ABG和△AFC中,
AB=AF,∠GAB=∠CAF,AG=AC
∴△ABG≌△AFC
∴BG=FC
又∵DF=DB,EC=EG,M是BC的中点
∴DM==EM,即DM=EM
[例2]如图,△ABC中,∠C为直角,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD,DE与AB交于F。
求证:EF=FD。
证明:过D作DG//AB交EA的延长线于G,可得∠DAG=30°
∵∠BAD=30°+60°=90°
∴∠ADG=90°
∵∠DAG=30°=∠CAB,AD=AC
∴Rt△AGD≌Rt△ABC
∴AG=AB,∴AG=AE
∵DG//AB
∴EF//FD
五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。
如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形,并且可能构成斜边及斜边上的中线,用上面方法一时证不出来,可以考虑此法。
[例]如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,EC和DF相交于G,连接AG,求证:AG=AD。
证明:作DA、CE的延长线交于H
∵ABCD是正方形,E是AB的中点
∴AE=BE,∠AEH=∠BEC
∠BEC=∠EAH=90°
∴△AEH≌△BEC(ASA)
∴AH=BC,AD=AH
又∵F是BC的中点
∴Rt△DFC≌Rt△CEB
∴∠DFC=∠CEB
∴∠GCF+∠GFC=∠ECB+∠CEB=90°
∴∠CGF=90°
∴∠DGH=∠CGF=90°
∴△DGH是Rt△
∵AD=AH
∴AG=
=AD
证明线段相等的技巧
要证明两条线段相等,一般的思路是从结论入手,结合已知分析,主要看要证明的两条线段分布的位置怎样,无外乎有三种情况:
(1)要证明的两条线段分别在两个三角形中;(2)要证明的两条线段在同一个三角形中;(3)要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。
一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中
一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。
例1 已知:如图1,B、C、E三点在一条直线上,△ABC和△DCE均为等边三角形,连结AE、DB,求证:AE=DB。
分析:从结论入手,要证明线段AE=DB,即看AE和DB分别是△ACE和△BCD的一边,因此,欲证AE=DB,只须证△ACE△BCD即可,而在这两个三角形中,AC=BC,EC=DC,欲证△ACE△BCD,只须证∠ACE=∠DCB,又因为∠DCE=∠ACE=,于是,∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD,即∠ACE=∠DCB,故结论可证,证明略。
二、如果要证明的两条线段在同一三角形中
一般的思路是利用等角对等边。
例2 已知:如图2,△ABC中AB=AC,D为BC上一点,过D作DF⊥BC交AC于E,交BA的延长线于F,求证:AE=AF。
分析:证明同一三角形中两条边相等,一般不采用全等三角形,而且把两边所对的角迁移到相应三角形中找出相等关系。
证明:法一:因为DF⊥BC于D,
所以∠F+∠B=,∠C+∠DCE=,又因为,所以∠B=∠C,所以∠F=∠DCE=∠AEF,所以AE=AF。
法二:考虑到AB=AC,即△ABC是以BC为底的等腰三角形的特殊性(三线合一),过顶点A作AG⊥BC于G,于是∠BAG=∠CAG,又因为DF⊥BC,所以AG∥DF, 所以∠AEF=∠CAG,∠BAG=∠F,
所以∠AEF=∠F,所以AE=AF。
法三:考虑到要证的结论AE=AF,即要证△AEF是等腰三角形,也由等腰三角形的特殊性质(三线合一)作辅助线,过顶点A作AH⊥DF于H,于是,AH∥BC,所以有∠EAH=∠C,∠FAH=∠B,又有∠B=∠C,于是∠EAH=∠FAH,即AH是高又是角平分线,故AE=AF。
三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况
一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。
例3 已知:如图3,△ABC中AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且BD=EC,连结DE交BC于F,求证:DF=EF。
分析:已知线段相等,要证线段相等,一般的思路是利用等腰三角形或全等三角形来证明,但这两条线段不在一个三角形中,且它们所在的两个三角形显然不全等。因此,欲证DE=DF,必须添加适当的辅助线,构成证题所需的等腰三角形或全等三角形,这样的辅助线有:
(1)过D作DG∥AE交BC于G,则易证∠DGB=∠ACB,又因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,即∠DGB=∠B得DB=DG,从而得DG=EC,易证△DGF△ECF。
(2)过E作EH∥AB交BC的延长线于H,易得∠B=∠H,又因为∠1=∠2,∠B=∠1,所以∠2=∠H,从而EH=EC=DB,易证△DBF△EHF。