高二定积分的计算(理科)
一、教学目标：
1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.
二、知识要点分析
1. 定积分的概念：函数f (x ) 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：2. 定积分的几何意义：
（1）当函数f （x ）在区间[a，b]上恒为正时，定积分与x=a，x=b及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.
⎰
b
a
f (x ) dx
⎰
a
b
a
f (x ) dx 的几何意义是：y=f（x ）
⎰
b
f (x ) dx 的几何意义是介于x 轴、
函数f （x ）的图象、以及直线x=a，x=b之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.
在图（1）中：f (x ) dx =s >0，在图（2）中：f (x ) dx =s
a
a
a
⎰
b
⎰
b
⎰
b
表示函数y=f（x ）图象及直线x=a，x=b、x 轴围成的面积的代数和.
注：函数y=f（x ）图象与x 轴及直线x=a，x=b围成的面积不一定等于当在区间[a，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于
⎰
b
a
f (x ) dx ，仅
⎰
b
a
f (x ) dx .
3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）（2）（3）
⎰⎰
b
a b
[f (x ) ±g (x )]dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx
a
a
b b
a b
（k 为常数） kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx ，
a
b
⎰
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx
a
c
c b
（4）若在区间［a ，b ］上，f (x ) ≥0, 则
⎰
b
a
f (x ) dx ≥0
推论：（1）若在区间［a ，b ］上，f (x ) ≤g (x ), 则（2）|
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx
a
b
⎰
b
a
f (x ) dx |≤⎰|f (x ) |dx
a
b
（3）若（f x ）是偶函数，则4. 微积分基本定理：
⎰
a
-a
若（f x ）是奇函数，则⎰f (x ) dx =0 f (x ) dx =2⎰f (x ) dx ，
-a
b
a a
一般地，若F ' (x ) =f (x ), 且f (x ) 在[a , b ]上可积，则
'
⎰
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
注：（1）若F (x ) =f (x ) 则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C也是f （x ）的原函数，求定积分
⎰
b
a
f (x ) dx 的关键是求f （x ）的
原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.
（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.
【典型例题】
知识点一：定积分的几何意义
例1．根据
⎰
2π
sin xdx =0推断：求直线x=0，x=2π，y=0和正弦曲线y=sinx所围成
的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）
A ．面积为0
B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积 D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积
题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意围成的面积的区别.
思路分析：作出函数y=sinx在区间[0，2π]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.
解：对于（A ）：由于直线x=0，x=2π，y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.
对于（B ），（C ）根据y=sinx在[0，2π]内关于（π, 0) 对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.
解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx与x 轴、直线x=0，x=2π围成的面积等于
2π
⎰
2π
sin x dx 与y=sinx及直线x=a，x=b和x 轴
⎰
f (x ) dx .
例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）（2）
1
⎰2xdx =1
⎰
1
-x 2dx =
π
4
.
2
题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x，及y=-x 恒
解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y=-x 在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.
例3．利用定积分的几何意义求
2
⎰(|x -1|+|x -3|)dx 的值.
4
题意分析：本题考查定积分的几何意义，
⎰(|x -1|+|x -3|)dx 的值是函数
4
y =|x -1|+|x -3|的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.
思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数y =|x -1|+|x -3|化为分段函数，再根据定积分的几何意义求
4
⎰(|x -1|+|x -3|)dx 的值.
-2x +4, (x ∈[0, 1]
15117A ． B ． C ．ln 2 D ．2ln2
424
题意分析：本题表面上考查定积分的几何意义，实质是考查定积分的基本运算，关键是理解所求图形面积是定积分
2
1
2
1
的值. x
1x 21112'
解： (lnx ) =，∴1=ln x |1=ln 2-ln =2ln 2.
2x 2x 2
故选（D ）
思路分析：利用导数求出的原函数是ln x . 再利用微积分的基本定理求.
解题后的思考：求定积分的值关键是求被积函数的原函数，可利用导数求被积函数的原函数，易错的地方是：求被积函数的原函数有误.
算法则的应用.
例3．求下列定积分的值
π
（1）
⎰
2
sin 2
x dx 2
（2）
π
π3
cos(x -
π
6
) dx
题意分析：本题仍是定积分的运算，被积函数不是我们学过的基本初等函数，要把被积函数转化为基本的初等函数.
思路分析：利用三角函数的降幂公式把被积函数化为：sin 差角公式把被积函数化为：cos(x -2
x 1
=(1-cos x ) ，利用余弦的22
π
) =
1
cos x +sin x ，再利用定积分的运算法则及A ．一定是正的
k
a
B ．一定是负的 D ．以上都不对
C ．当0
⎰
(2x -3x 2) dx =0, 则k=（ ）
3π
A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上都不对 3．与定积分⎰
-cos x dx 相等的是（ ）
x
A ．2⎰sin dx
023πx
C ．2|⎰sin dx |
02
3π
B ．2
⎰
3π
x
|sin |dx
2
D ．以上都不对.
π
4．
⎰
20
(3x +sin x ) dx =（ ）
333A ．π2+1 B．π
2+1 C ．π2-1 D．π2-1 3
【试题答案】
一、选择题
1．（A ）解析：由定积分的几何意义可知：选（A ） 2．（C ）解析：
k
⎰
k
(2x -3x 2) dx =0⇒⎰
k
k k
2xdx -⎰3x 2dx =x 2|0-x 3|0
,
=k 2-k 3=0⇒k =0或k =1
1π12
所以⎰-(x -1) -x ) dx =-.
042