经典垂径定理教案
垂直于弦的直径(第一课时)教案
教学目标:
1、知识目标:通过实验观察,让学生理解圆的轴对称性;
掌握垂径定理,理解其探索和证明过程; 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
2、能力目标:在研究过程中,进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法;
在解题过程中,注重发散思维的培养,同一个问题会从不同的角度去分析解决。
3、情感目标:通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学
的热爱。
教学重点:使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点:对垂径定理的探索和证明,在解决问题时想到用垂径定理。 教学用具:圆规,三角尺,PPT课件 教学过程: 一、复习引入
1、我们已经学习了圆怎样的对称性质?(中心对称) 2、实验:探究圆的轴对称性。如图(1),若将⊙O沿直径AB 对折,观察两部分是否重合?让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验,教师引导学生努力发现:
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线) 都是它的对称轴。
3、引入新知:如图(2),左图中AB是⊙O的弦,直径CD与弦AB相交,那么沿直径CD所在的直线折叠之后,图形可以重合吗?右图中,AB是⊙O的弦,直径CD⊥AB,垂足为E。此时再沿直径CD所在直线折叠,图形可以重合吗?(重合,说明此图也是轴对称图形,称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径),引出本节课研究的内容。 二、新课
B
(1)
(2)
(一)猜想,证明,形成垂径定理
1、提问:继续观察图(2)的右图,根据圆的对称性,把圆沿直径CD所在的直线折叠之后,圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系?同时出现怎样的数量关系?
2、猜想:可能出现的位置关系是:
线段AE和线段BE重合,弧AC和弧BC重合,弧AD和弧BD重合。
可能出现的数量关系是:
AEBE,ACBC,ADBD
3、证明:
利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等,利用圆的对称性证明对应弧相等。板书:
AEBD
CD是圆O的直径
ACBC
CDAB,垂足为E
ADBD
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述,板书: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 (二)分析垂径定理的条件和结论
1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。
2、利用反例、变式图形对定理进一步引申,揭示定理的本质属性,以加深学生对定理本质的了解。
练习:在下列图形中,能使用垂径定理的图形有哪些?
3、引申定理:定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径,也可以是过圆心的直
线或线段。
(三)例题
例1 已知:如图(3),在⊙O中,弦AB的长为8cm,
圆心O到AB的距离为3cm。
求:⊙O的半径。
变式(1):如图(3),在⊙O中,圆心O到弦AB的距离
为3cm,⊙O的半径为5cm。 求:弦AB的长为多少?
(3)
总结:在圆有关的问题时,常常构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。
例2 已知:如图(4),在以O为圆心的两个同心圆中,
大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD.
(思路:垂径定理,全等三角形,等腰三角形)
(4)
变式(2):再添一个同心圆,如图(5),则 AC BD。
变式(3):隐去图(4)中的大圆,得图(6),连接
OA,OB,设OA=OB, 求证:AC=BD。
变式(4):隐去图(4)中的小圆,得图(7),连接
OC,OD,设OC=OD,
AB
(6)
求证:AC=BD。
总结:在解与圆有关的证明题中,常做的辅助线是过圆心做弦的垂
(7)
线段。遇到题目有一题多解的情况时,鼓励学生善于用最简单的方法解决,同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结,做到举一反三,触类旁通。 三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容? 2、应用垂径定理要注意那些问题?
垂径定理的条件和结论:
① 经过圆心
得到 ① 平分弦
一条直线具有: ② 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦③ 平分弦所对的优弧
3、思考:若将条件中的②与结论中的①互换,命题成立吗? 四、作业
1、整理垂径定理的证明过程。
2、变式(1)到变式(4)整理解题过程。 3、课本P82,练习2.