小虫子 正四面体
正四面体上的蚂蚁
设A 、B 、C 、D 是一个正四面体的顶点,每条棱长1米,一只蚂蚁从顶点A 出发,遵照下列规则爬行,在每一个顶点相交的三条棱中选一条(三条棱选到的可能性相等),然后从这条棱爬到另一点. 求蚂蚁爬了7米路之后又回到顶点A 的走法有多少种?
A
B C
解析:
设蚂蚁爬了n (n ∈N ) 米路之后又回到顶点A 的走法为a n
蚂蚁爬行n 米,即有n 次选择爬行的棱,由排列组合的知识可知共有3种不同的爬行路线,其中有的路线能回到A ,有的只能在B 、C 、D 之一,而由B 、C 、D 到A 只有一步之遥,所以3n -a n =a n +1即a n +1=3n -a n ,而a 1=0,所以a 2=3, a 3=6, a 4=21, a 5=60, n *a 6=183, a 7=546,则蚂蚁爬了7米路之后又回到顶点A 的走法有546种.
一般地,由a n +1=-a n +3n 可得(-1) n +1a n +1=(-1) n a n -(-3) n ,设b n =(-1) n a n 则b n +1-b n =-(-3) n ,b n =b 1+(b 2-b 1) +(b 3-b 2) +⋅⋅⋅+(b n -b n -1) =-[(-3) +(-3) +⋅⋅⋅+(-3)
【用矩阵变换求解】
设蚂蚁爬了n (n ∈N ) 米路之后又回到顶点A 的走法为a n ,蚂蚁爬了n (n ∈N ) 米路之后到到达顶点B 的走法为b n **12n -133n +(-1) n 3n -1]=[1-(-3) ],a n = 44
⎧a n =3b n -1⎡a n ⎤⎡03⎤⎡a n -1⎤⎡03⎤则⎨,即⎢⎥=⎢⎥⎢b ⎥,设M =⎢12⎥ b =a +2b b 12⎣⎦⎦⎣n -1⎦n -1n -1⎩n ⎣n ⎦⎣
而⎢⎡a 1⎤⎡0⎤⎡a n ⎤n -1⎡0⎤=,所以=M ⎥⎢1⎥⎢b ⎥⎢1⎥ b ⎣1⎦⎣⎦⎣⎦⎣n ⎦
矩阵M 的特征值λ1=3,对应的特征向量α1=⎢⎥;特征值λ2=-1,对应的特征向量 ⎡1⎤
⎣1⎦
α2=⎢⎥ ⎣1⎦
⎡a n ⎤⎡0⎤3⎡1⎤1⎡-3⎤3n -1⎡1⎤1n -1⎡-3⎤n -1⎡0⎤又⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥,所以⎢⎥=M ⎢⎥=M ⎢⎥+M ⎢⎥ ⎣1⎦4⎣1⎦4⎣1⎦⎣1⎦4⎣1⎦4⎣1⎦⎣b n ⎦⎡3n +(-1) n 3⎤⎢⎥3n -1⎡1⎤14n -1⎡-3⎤⎥. =⋅3⎢⎥+⋅(-1) ⎢⎥=⎢n n -11144⎣⎦⎣⎦⎢3+(-1) ⎥⎢⎥⎣4⎦
3n +(-1) n 3 所以a n = 4
在正四面体的一个顶点处,有一只蚂蚁每一次都以⎡-3⎤1的概率从一个顶点爬到另一个顶3
点。那么它爬行了4次又回到起点的概率是_______________
解析:
设蚂蚁爬行了n (n ∈N ) 次后又回到起点的概率为P n , *
11(-P ) n ,,即P n +1=1又P 1=0 33
1277所以P 2=, P 3=, P 4=,即爬行了4次又回到起点的概率是. 392727
11n 一般地,P n =[1+3(-) ]. 43则1-P n 为没有回到起点的概率,而此时回到起点的概率为