§2.2.2 事件的相互独立性

§2．2．2 事件的相互独立性

【学习要求】

1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．

2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 【重点、难点】

重点：相互独立事件的含义． 难点：相互独立事件概率的计算．

探究点一 相互独立事件的概念

问题1 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？

答 因抽取是有放回的，所以A 的发生不会影响B 发生的概率，事件A 和事件B 相互独立． 问题2 问题1中P (A ) 、P (B ) 及P (AB ) 有何关系？总结相互独立事件的定义． 答 由条件概率公式知：事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P (B A ) =

P (AB )

，由于此时事件A P (A )

P (AB )

，所以P (A )

的发生与事件B 的发生互不影响，所以P (B A ) =P (B ) ，从而P (B A ) =P (B ) =

P (AB ) =P (A ) P (B ) ．

小结：相互独立事件的定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB ) ＝P (A ) P (B ) ，则称事件A 与事件B 相互独立（即事件A 的发生与事件B 的发生互不影响）． 问题3 独立事件的概率公式有何性质？

答 ①如果A 与B 相互独立，那么A 与B ,B 与A ，A 与B 都是相互独立的． ②推广：如果事件A 1, A 2,... A n 相互独立，那么P (A 1A 2... A n ) =P (A 1) P (A 2)... P (A n ) ． 探究点二 互斥事件与相互独立事件

问题1 互斥事件与相互独立事件有什么区别？

答 两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，其概率公式为P (A+B) ＝P (A )+P (B ) ；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，其概率公式为P (AB ) ＝P (A ) P (B ) ．

事件的相互独立性

(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB ) ＝P (A ) P (B ) ，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B ,B 与A ，A 与B 都是相互独立的． ②推广：如果事件A 1, A 2,... A n 相互独立，那么P (A 1A 2... A n ) =P (A 1) P (A 2)... P (A n ) ．

题型一 相互独立事件概念的理解

例1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B

( A )

A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥

解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．

(2)掷一颗骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( B ) A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥 解析 事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．

3121111

所以P (A ) ＝＝P (B ) ＝P (AB ) ＝＝P (AB ) ＝P (A ) P (B ) ，因此，事件A 与B 相互独立．当

6263623“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．

小结 1．有三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P (AB ) ＝P (A ) P (B ) 是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A ) ＝P (B ) 判断． 2．互斥事件是指两个事件不可能同时发生，其概率公式为P (A+B) ＝P (A )+P (B ) ．

3．对立事件是互斥事件的特例，反映事物的两面性，即A 与A ，其概率公式为P (A ) +P (A ) =1． 跟踪训练1 已知下列各对事件：

(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”．

(2)一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”．

(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”．

其中为相互独立事件的有 ( B ) A ．(1)(2) B ．(1)(3)C．(2) D ．(2)(3)

2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是 A ．互斥的事件 C ．对立的事件

( D )

B ．相互独立的事件 D ．不相互独立的事件

3213

解析 ∵P (A 1) ＝．若A 1发生了，P (A 2) ＝＝；若A 1不发生，P (A 2) ，即A 1发生的结果对A 2发生的结

5424

果有影响，∴A 1与A 2不是相互独立事件． 题型二相互独立事件同时发生的概率 求解概率综合应用问题的流程 (1)确定基本事件并用字母表示．

(2)判断各事件的关系(互斥、对立、独立) ． (3)将各事件用基本事件的和或积表示． (4)选择恰当的概率公式计算．

例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0．05，求两次抽奖中以下事件的概率：

(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．

解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．

(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P (AB ) ＝P (A ) P (B ) ＝0．05×0．05＝0．002 5．

(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B ) ∪(A B ) 表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为

P (A B ) ＋P (A B ) ＝P (A ) P (B ) ＋P (A ) P (B ) ＝0．05×(1－0．05) ＋(1－0．05) ×0．05＝0．095． (3)方法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB ) ∪(A B ) ∪(A B ) 表示．由于事件AB ，A B 和A B 两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P (AB ) ＋P (A B ) ＋P (A B ) ＝0．002 5＋0．095＝0．097 5．

小结 求P (AB ) 时注意事件A 、B 是否相互独立，求P (A ＋B ) 时同样应注意事件A 、B 是否互斥，对于“至多”，“至少”型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用P (A ) ＝1－P (A ) 来运算．

11

跟踪训练2 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为求：

34

(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率；(6)此密码能译出的概率．

解 记事件A 为“甲独立地译出密码”，事件B 为“乙独立地译出密码”． 111

(1)两个人都译出密码的概率为P (AB ) ＝P (A ) P (B ) ＝×

3412

1111－⎫⎛1－＝． (2)两个人都译不出密码的概率为P (A B ) ＝P (A ) P (B ) ＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎛⎝3⎭⎝42(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出；乙译出甲译不出，即A B ＋A B ， 11151

1－＋⎛1－×＝ ∴P (A B ＋A B ) ＝P (A B ) ＋P (A B ) ＝P (A ) P (B ) ＋P (A ) P (B ) ＝×⎛34123⎝4⎝111

(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴1－P (AB ) ＝1－＝

121211

(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，∴1－P (A B ) ＝1－＝．

22题型三相互独立事件的分布列

231

例1甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3543否被选中互不影响．

(1)至少有1人被录用的概率；(2)被录用人数ξ的分布列及期望．

1．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、1

丙则约定：两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是2合格互不影响，求：

(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数ξ的分布列．

[解析] 用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立， 1

且P (A ) ＝P (B ) ＝P (C )

2

17

(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C ) ＝1－P (A ) P (B ) P (C ) ＝1－3＝．

28(2)ξ的可能取值为0、1、2、3．

— — —

— — — — — — —

P (ξ＝0) ＝P (A B C ) ＋P (A B C ) ＋P (A B C )

1113

＝P (A ) P (B ) P (C ) ＋P (A ) P (B ) P (C ) ＋P (A ) P (B ) P (C ) ＝() 3＋(3＋() 3＝．

2228

— —

P (ξ＝1) ＝P (A B C ) ＋P (AB C ) ＋P (A B C )

1113

＝P (A ) P (B ) P (C ) ＋P (A ) P (B ) P (C ) ＋P (A ) P (B ) P (C ) ＝() 3＋(3＋() 3＝．

2228

11

P (ξ＝2) ＝P (A BC ) ＝P (A ) P (B ) P (C ) ＝P (ξ＝3) ＝P (ABC ) ＝P (A ) P (B ) P (C )

88

所以，ξ的分布列是

2． (2014·陕西) 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

(1)设X 表示在这块地上种植1(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率． 思维点拨 (1)分别求出对应的概率，即可求X 的分布列；

(2)分别求出3季中有2季的利润不少于2 000元的概率和3季中利润不少于2 000元的概率，利用概率相加即可得到结论．

解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为6 元/kg”， 由题设知P (A ) ＝0．5，P (B ) ＝0．4，∵利润＝产量×市场价格－成本． ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800．

则P (X ＝4 000)＝P (A ) P (B ) ＝(1－0．5) ×(1－0．4) ＝0．3，

P (X ＝2 000)＝P (A ) P (B ) ＋P (A ) P (B ) ＝(1－0．5) ×0．4＋0．5×(1－0．4) ＝0．5， P (X ＝800) ＝P (A ) P (B ) ＝

0．5×0．4＝0．2， 所以X 的分布列为

(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2 000元”(i ＝1,2,3) ，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知， P (C i ) ＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0．3＋0．5＝0．8(i ＝1,2,3) ，

3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3) ＝P (C 1) P (C 2) P (C 3) ＝0．83＝0．512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3) ＋P (C 1C 2C 3) ＋P (C 1C 2C 3)

＝3×0．82×0．2＝0．384，

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0．512＋0．384＝0．896．

23

3． (2014·湖南) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研

35发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．

(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列及期望．

213解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E ) ＝，P (E ) ＝P (F ) ＝，

3352

P (F ) ＝，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．

5

122

(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H ) ＝P (E ) P (F ) ，

3515

213

故所求的概率为P (H ) ＝1－P (H ) ＝1．

1515

122

(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220．因为P (X ＝0) ＝P (E F ) ＝，

3515

131224232

P (X ＝100) ＝P (E F ) ＝，P (X ＝120) ＝P (E F ) ，P (X ＝220) ＝P (EF ) ×＝

3553515355

故所求的分布列为

4．(2015·湖北武汉调研) 某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M 处每射中一镖得3分，在N 处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0．25，在N 处的命中率为q 2．该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为

(1)求随机变量X 的分布列；

(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．

解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A ) ＝0．25，－－

P (A ) ＝0．75，P (B ) ＝q 2，P (B ) ＝1－q 2．

－－－－－－

根据分布列知：当X ＝0时，P (A B B ) ＝P (A ) P (B ) P (B ) ＝0．75(1－q 2) 2＝0．03， 所以1－q 2＝0．2，q 2＝0．8．

－－－－－－－－

当X ＝2时，P 1＝P (A B B ＋A B B ) ＝P (A ) P (B ) P (B ) ＋P (A ) P (B ) P (B ) ＝0．75q 2(1－q 2) ×2＝0．24， －－－－

当X ＝3时，P 2＝P (A B B ) ＝P (A ) P (B ) P (B ) ＝0．25(1－q 2) 2＝0．01， －－

当X ＝4时，P 3＝P (A BB ) ＝P (A ) P (B ) P (B ) ＝0．75q 22＝0．48，

－－－

当X ＝5时，P 4＝P (A B B ＋AB ) ＝P (A B B ) ＋P (AB ) ＝P (A ) P (B ) P (B ) ＋P (A ) P (B ) ＝0．25q 2(1－q 2) ＋0．25q 2＝0．24． 所以随机变量X 的分布列为：

(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0．48＋0．24＝0．72． 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为

－－－－2P (B BB ＋B B B ＋BB ) ＝P (B BB ) ＋P (B B B ) ＋P (BB ) ＝2(1－q 2) q 22＋q 2＝0．896． 所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．

5．(2014·高考山东卷) 乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点111

在C 上的概率为，在D 上的概率为B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为，在D

235 3

上的概率为A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：

5

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

[解] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3) ， 11111

则P (A 3) ＝，P (A 1) P (A 0) ＝1－＝．

23236

记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0，1，3) ， 13131

则P (B 3) ＝，P (B 1) P (B 0) ＝1－＝．

55555

记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得P (D ) ＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)

＝P (A 3B 0) ＋P (A 1B 0) ＋P (A 0B 1) ＋P (A 0B 3) ＝P (A 3) P (B 0) ＋P (A 1) P (B 0) ＋P (A 0) P (B 1) ＋P (A 0) P (B 3)

1111131133

＝×＋＋＝，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 [1**********]0(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 111由事件的独立性和互斥性，得P (ξ＝0) ＝P (A 0B 0) ＝×

6530

11131131

P (ξ＝1) ＝P (A 1B 0＋A 0B 1) ＝P (A 1B 0) ＋P (A 0B 1) ＝＋＝，P (ξ＝2) ＝P (A 1B 1) ＝，

[1**********]12

P (ξ＝3) ＝P (A 3B 0＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0) ＋P (A 0B 3) ＝＋＝，

256515

131111111

P (ξ＝4) ＝P (A 3B 1＋A 1B 3) ＝P (A 3B 1) ＋P (A 1B 3) ＝＋＝，P (ξ＝6) ＝P (A 3B 3) ＝×＝

2535302510可得随机变量ξ的分布列为：

111211191

所以数学期望E (ξ) ＝0×＋1×2×＋3×＋4×＋6×．

[1**********]0

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)

一、选择题

1．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( ) A ．p ＋q －2pq B ．p ＋q －pq C ．p ＋q D．pq

[答案] A[解析] 恰有一株成活的概率为p (1－q ) ＋(1－p ) q ＝p ＋q －2pq ，故选A ．

2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )

14123

A ． B ． C ．

25254

3

D ．5

84714

[答案] A[解析] P 甲＝P 乙＝，所以P ＝P 甲·P 乙＝．

1051025

3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( ) 517

A ．B ．C ．

12212

3

D ．4

11157

[答案] C[解析] 由题意P (A ) ＝，P (B ) ＝A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1＝．

2626124．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )

422

A ．B ．C ．

993[答案] A

2

[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A ) ＝B 表示；“第二个圆盘的指针

3

2224

落在奇数据在的区域”，则P (B ) ＝P (AB ) ＝P (A )·P (B ) ＝×

333911

5．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是1个球，那么

325

概率为的事件是( )

6

1D ．3

A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球 D ．2个球中恰好有1个白球

[答案] C[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为 1115P 1＝×＝P ＝1－P 1＝．

3266

23

6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独

34立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) 151A ．B ．C ．

2124

1

D ．6

2113523115

[答案] B[解析] 所求概率为×或P ＝1．

[1**********]2二、填空题

7．已知P (A ) ＝0．3，P (B ) ＝0．5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B ) ＝________，P (A |B ) ＝________． [答案] 0．65 0．3

[解析] ∵A 、B 相互独立，∴P (A ∪B ) ＝P (A ) ＋P (B ) －P (A )·P (B ) ＝0．3＋0．5－0．3×0．5＝0．65． P (A |B ) ＝P (A ) ＝0．3．

111

8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，丙生解出它的概率为． 由甲、

234乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________．

111111

1－×⎛1－＝， 解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A 1，则P (A 1) ＝×⎛242⎝3⎝44

1111

1－×⎛1－⎫， 乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A 2，则P (A 2) ×⎛2⎝4⎭83⎝11111－×⎛1－⎫＝． 丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A 3，则P (A 3) ×⎛2⎝3⎭124⎝

11111

甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P (A 1＋A 2＋A 3) ＝＋＋．

481224

111

9．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不

706968[答案]

影响，则加工出来的零件的次品率为________． [答案]

3

[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法． 70

设加工出来的零件为次品为事件A ，则A 为加工出来的零件为正品． 1113

P (A ) ＝1－P (A ) ＝1－(1－－)(1－＝

70696870三、解答题

10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零11

件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为．甲、

4122

丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．

9

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

[解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．

⎧⎪1

由题设条件有⎨P (B ·C )122⎪P (A ·C )⎩9

1

P (A ·B )＝4

⎧⎪1

[1－P (C )]＝ ②即⎨P (B )·12

2⎪P (A )·P (C )＝. ③⎩9

1

P (A )·[1－P (B )]＝ ①

4

9

由①、③得P (B ) ＝1－P (C ) ，代入②得27[P (C )]2－51P (C ) ＋22＝0．

8

211211

解得P (C ) ＝或 舍去) ．将P (C ) ＝分别代入③、②可得P (A ) ＝、P (B ) ＝，

39334

112

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是、

343

(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则

2315

P (D ) ＝1－P (D ) ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－××＝34365

一个检验，至少有一个一等品的概率为

6

一、选择题

11．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶) ，而且逆时针方向跳的频率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( ) 124A ．B ．C ．

399

8

D ．27

21

[答案] A[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为．则逆时针跳三次停在A 上的

3322281111

概率为P 1＝××，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝．所以跳三次之后停在A 上

[1**********]11

的概率为P ＝P 1＋P 2＝＋＝

27273

12．袋中有5个小球(3白2黑) ，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( ) 331A ．B ．C ．

542

3

D ．10

[答案] C[解析] 解法1：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是含2个白球的4

1

个球中任取一球，故取到白球的概率为

2

3C 23解法2：设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”，则P (A ) P (AB ) ＝＝，

5C 510

P (AB )1

∴P (B |A ) ＝．

P (A )2

二、填空题

13．(2014·湖南师大附中高二期中) 某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位1

同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则最多1名同学遇到红灯的概率是

3__________________． [答案]

16212316解析] P ＝4＋C 1(() ＝． 42733327

1

14．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k ) ＝k ＝1,2，„，则P (2

2[答案]

3113[解析] P (2

15．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．

⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)⎪11

－，[解析] 由条件知，⎨[答案] ⎡， ⎣33⎪P (ξ＝x )＋P (ξ＝x )＋P (ξ＝x )＝1⎩123

111

∴P (ξ＝x 2) ＝，∵P (ξ＝x i ) ≥0，∴公差d 取值满足－≤d

333

三、解答题

16．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0．6、0．4、0．5、0．2．已知各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手被淘汰的概率；

(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．

[解析] 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4) ，则P (A 1) ＝0．6， P (A 2) ＝0．4，P (A 3) ＝0．5，P (A 4) ＝0．2． (1)方法一：该选手被淘汰的概率：

P ＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4) ＝P (A 1) ＋P (A 1) P (A

2)

＋P (A 1) P (A 2) P (A 3) ＋

P (A 1) P (A 2) P (A 3) P (A 4) ＝0．4＋0．6×0．6＋0．6×0．4×0．5＋0．6×0．4×0．5×0．8＝0．976． 方法二：P ＝1－P (A 1A 2A 3A 4) ＝1－P (A 1) P (A 2) P (A 3) P (A 4) ＝1－0．6×0．4×0．5×0．2＝1－0．024＝0．976． (2)方法一：P ＝P (A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4) ＝P (A 1) P (A 2) ＋P (A 1) P (A 2) P (A 3) ＋P (A 1) P (A 2) P (A 3) P (A 4)

＝0．6×0．6＋0．6×0．4×0．5＋0．6×0．4×0．5×0．8＝0．576．

方法二：P ＝1－P (A 1) －P (A 1A 2A 3A 4) ＝1－(1－0．6) －0．6×0．4×0．5×0．2＝0．576．

17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

13C 226C 4＋C 660＋20

[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A ) ＝＝＝ C 101203

213

C 8C 2＋C 856＋5614P (B ) ＝＝．

C 1201510

(2)方法1：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

2111421444

P ＝P (A ·B ) ＋P (A ·B ) ＋P (A ·B ) ＝P (A )·P (B ) ＋P (A )·P (B ) ＋P (A )·P (B ) ＝＋．

[1**********]

44

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．

45

方法2：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

21411－⎫×⎛1－⎫＝ P (A ·B ) ＝P (A )·P (B ) ＝⎛⎝3⎭⎝15⎭45

144

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A ·B ) ＝1

4545

44

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．

45

18．一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：

(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率； (2)X 表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X 的分布列．

[解析] 设

Y 表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得y 的分布列如下：

(1)A 表示事件“

①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟． 所以P (A ) ＝P (Y ＝1) P (Y ＝3) ＋P (Y ＝3) P (Y ＝1) ＋P (Y ＝2) P (Y ＝2) ＝0．1×0．3＋0．3×0．1＋0．4×0．4＝0．22． (2)X 所有可能的取值为0、1、2，

X ＝1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟或第一个学生买饭所需的时间为2分钟．

所以P (X ＝1) ＝P (Y ＝1) P (Y >1) ＋P (Y ＝2) ＝0．1×0．9＋0．4＝0．49，

X ＝2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟．所以P (X ＝2) ＝P (Y ＝1) P (Y ＝1) ＝0．1×0．1＝0．01 所以X 的分布列为

19．(2013·陕西) 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及均值．

解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”， C 12C 23则P (A ) ＝P (B ) ＝．

C 33C 55

∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

224C 1C 34·P (A B ) ＝P (A )·P (B ) ＝P (A )·[1－P (B ) ]＝×＝(或P (A B ) ＝＝．

3515C 3·C 515

2

C 3

(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C ) ＝，

C 55

∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为

1224

P (X ＝0) ＝P (A B C ) ＝×，

35575

2221321234

P (X ＝1) ＝P (A B C ) ＋P (A B C ) ＋P (A B C ) ××＝

[***********]3311

P (X ＝2) ＝P (AB C ) ＋P (A B C ) ＋P (A BC ) ＋××＝

[1**********]

2336

P (X ＝3) ＝P (ABC ) ＝×，

35525

∴X 的分布列为

44∴X 的均值E (X ) ＝0×＋1×2×3×＝

7515252515

3

20．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙

42

靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独

3立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；

解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ．

32

由题意知P (B ) ＝P (C ) ＝P (D ) ＝，由于A ＝B C D ∪B C D ∪B C D ，

43根据事件的独立性和互斥性，得P (A ) ＝P (B C D ∪B C D ∪B C D )

＝P (B C D ) ＋P (B C D ) ＋P (B C D ) ＝P (B ) P (C ) P (D ) ＋P (B ) P (C ) P (D ) ＋P (B ) P (C ) P (D ) 2232232273

1－×⎛1－＋⎛1－⎫×⎛1－＋⎛1－×⎛1－⎫×． ＝⎛4⎭3⎝3⎝4⎝3⎭3364⎝3⎝3⎝

(2)根据题意知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5．

根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0) ＝P (B C D ) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] 32211－⎫×⎛1－⎫×⎛1－ ＝⎛⎝4⎭⎝3⎭⎝336

22311－⎫×⎛1－ P (X ＝1) ＝P (B C D ) ＝P (B ) P (C ) P (D ) ×⎛4⎝3⎭⎝312

3223221－×⎛1－＋⎛1×⎛1－×P (X ＝2) ＝P (B C D ∪B C D ) ＝P (B C D ) ＋P (B C D ) ＝⎛⎝43⎝3⎝4⎝33

1＝ 9

2322132

1－＋×⎛1－⎫×， P (X ＝3) ＝P (BC D ∪B C D ) ＝P (BC D ) ＋P (B C D ) ＝××⎛34⎝3⎭3343⎝

322132211－××＝P (X ＝5) ＝P (BCD ) ××＝． P (X ＝4) ＝P (B CD ) ＝⎛⎝43394333

故X 的分布列为

11所以E (X ) ＝0×＋1＋23×＋4×＋5×．

3612939312

3

21．(2012·山东，19) 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命

42

中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2分，没有命中得0分．该射手每次射

3击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X ) ．

解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击32

乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B ) P (C ) ＝P (D ) ＝43于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性得 P (A ) ＝P (B C D ＋B C D ＋B C D ) ＝P (B C D ) ＋P (B C D ) ＋P (B C D )

223232

1－×⎛1－＋⎛1－××⎛1－＋＝P (B ) P (C ) P (D ) ＋P (B ) P (C ) P (D ) ＋P (B ) P (C ) P (D ) ＝×⎛43⎝34⎝3⎝3⎝

⎛1－3×⎛1－2×2＝7

⎝4⎝3336

(2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5．

根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0) ＝P (B C D ) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] 22311－×⎛1－＝ ＝(1－) ×⎛3⎝3364⎝

2231

1－×⎛1－＝， P (X ＝1) ＝P (BCD ) ＝P (B ) P (C ) P (D ) ＝⎛3⎝3124⎝

3223221

1－⎫×⎛1－＋⎛1－⎫×⎛1－⎫×， P (X ＝2) ＝P (BCD ＋BCD ) ＝P (B C D ) ＋P (B C D ) ＝⎛⎝4⎭3⎝3⎝4⎭⎝3⎭392322132

1＋×⎛1－× P (X ＝3) ＝P (BC D ＋B C D ) ＝P (BC D ) ＋P (B C D ) ＝×⎛43⎝34⎝[1**********]

1－××P (X ＝5) ＝P (BCD ) ＝×＝． P (X ＝4) ＝P (BCD ) ＝⎛⎝43394333故X 的分布列为

11111141

所以E (X ) ＝0×＋1＋23×＋4×＋5×．

3612939312