ch1 几何光学
第一章 几何光学
1.3 试证明：一束平行光相继经过几个平行分界面的多层介质折射时，出射光线的方向只与入射光的方向及入射光空间和出射光空间介质的折射率有光，与中间各层介质无关. 证明：如图所示：入射光在每个分界面上，光线满足折射定律，同时光线（再同一层媒质中上界面的折射角与下界面的入射角相等. ）经过的界面都是平行的. 有 n 1sin i 1=n 2sin i 2=...... n Q sin i Q 即 sin i =n 1sin i
Q 1
n Q
所以多层平行媒质出射光的光线方向和最外两层媒质的折射角有关.
1.4 物点A 经平面镜成像像点A’，A 和A’是一对共轭等光程点吗？ 解：是.
可以证明：从物点A 到像点 A ' 的所有光线都是等光程的.
即：
AO -OA ' =AN -NA ' =⋯⋯=0（虚像光程为负）
同样可以证明，A, A’点是共轭点. 若光线反方向入射，入射光的虚物点为 A’，则反射光成实像，像点为A 点. 所以A,A ’ 是一对共轭光程点. 平面镜是理想成像系统.
1.5 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上，反射后会聚于焦点F 处，所有光线到达焦点的光程相等吗？如何证明. 解：根据题意，光线行如下图所示：
A
A’
M
A B C D E
∑
M
O P Q R
F
N
S
Σ是入射光线的波面，F 是抛物面镜的焦点，MN 为抛物线的准线. 波面Σ上各条光线经抛物面镜后会聚于焦点F, 使波面上任意入射光线的延长线与准线相交. 根据抛物线的性质有:
HF =HO IF =IP JF =JQ
则 AH +HF =BI +IF =CJ +JF =...... 即
1.7 在什么情况下图中的折射球面起会聚作用，在什么条件下起发散作用？ 解：表征单球面折光本领的量为光焦度
'
'
[AHF ]=[BIF ]=[CJF ]=......
所以平行于光轴的光线到达抛物面镜焦点的光程均相等.
Φ=
n '-n r
n >（a ）图中r 为正值，当 n ，Φ > o 起会聚作用
当 n
（b ）图中r 为负值，当 n > n ， Φ
'
当 n
1.8 若空气总一均匀球形透明体能将平行光束会聚于其背面的顶点上，此透明体的折射率应等于多少？
解：设球体的半径为R ，已知球体的焦距 f = 2 R ，n =1
'
Φ=
n ' n ' n ' -n n '
R =2R R =2R n ' =2. 0= f = f = n ' -n n ' -1R f '
1.9 一玻璃棒（n=1.5），长50cm ，两端面为半球面，半径分别为5cm 和10cm. 一小物高0.1cm ，垂直位于左端球面顶点之前20cm 处的轴线上，求：（1）小物经玻璃棒成像在何处？（2）整个玻璃棒的垂轴放大率为多少？ 解：（1）小物经第一个球面折射成像
n ' n n ' -n 1. 51
-=-=
p 1' p r p 1' -20
1. -51
p 1' =30 c m 5
n 1p 1' 1⨯30β1===-1
n 1' p 11.5⨯(-20)
（2）再经第二个球面折射成像
p 2=p 1' -d =30-50=-20cm
11.51-1.5
p 2' =-40 -=c m
p 2' -20-10
β2=
n 2' p 2' 1.5⨯(-40)
==3 β=β1β2=-3
n 2' p 21⨯(-20)
1.12 手头只有一个白炽灯，如何简便地估计一个凹面反射镜的曲率半径和焦距？ 答：将白炽灯放到凹面反射镜的焦点上，则经凹面反射镜反射的光为平行光. 反射镜的曲率半径等于两倍焦距.
f =
r
, r =2f 2
1.13 一双凸薄透镜的两表面半径均为50mm ，透镜材料折射率n=1.5，求该透镜位于空气中和浸入水中（n 0=1.33）的焦距分别为多少？ 解：（1）位于空气中时
111111
) = =(n -1)(-) =(1.5-1)(-
50-5050f ' r 1r 2
f ' =-f =50(mm )
（2）位于水中时
1.5111n 11
-1)(-) =(-1)(-) =(1.3350-50f ' n 0r 1r 2
f ' =-f =195.6(mm )
1.14 照相机的物镜是焦距为12cm 的薄透镜，底片距透镜最大距离为20cm ，拍摄物镜前15cm 处的景物，要在物镜上贴加一个多大焦距的薄透镜？
解：由题意知，要求物镜上加一薄透镜后物距为15cm ，像距为20cm. 设合焦距为f’. 据薄透镜成像公式
111111
-= 有-=
p ' p f ' 20-15f '
已知f 1' =12cm 所以
1.16 如图所示，L1、L2分别为凸透镜和凹透镜，前面放一小物，移动屏幕到L2后20cm 的S1处接收到像. 现将凹透镜L2撤去，将屏移前5cm 至S2处，重新接收到像，求凹透镜L2的焦距.
解：此题为利用物距—像距测发散透镜的一种方法，题中L1是此方法中的辅助透镜. 据题意，无L2时所成的实像正是L2引入后的虚物，此时对L2来说：
711111
，，f 2' =30cm =+=+
6012f 2' f ' f 1' f 2'
p =20-5=15cm ,
p ' =20cm
f ' f ' f ' f f ' f ' '
-=1, +=1, -=1, f =-60cm ' '
2015p p p p
第二章 光波场的描述
ω(t -2.1 一维简谐平面波函数E (p , t ) =A cos
E (p , t ) =A cos(ωt -
答：
x
υ
) 中，
x
表示什么？如果把波函数写为υ
ωx ωx
) ，表示什么？ υυ
x
是光矢量的偏振状态从原点传播到p 点的时间. υ
ωx
是p 点光矢量的位相相对原点位相的延迟. υ
2.5 一束单色平面光波在折射率为n 的介质中由A 点传播到B 点，相位改变了2π，问光程改变了多少？几何路程改变了多少？ 解：
δ=（
2π
λ0
）∆ δ=2π
光程改变了λ（真空中波长）。 0
∆=nl =λ0
l =
λ0
n
=λn 几何光程改变了λn (介质中波长) 。
2.6 如图所示，两条光线a 、b 开始时无相位差，相聚在P 点时是否有相位差？为什么？若有，哪条光线相位落后？
解：(a)图中a 、b 光线在点没有位相差. 因为光程差相等.
(a)
(b)图中a 、b 光线在点有位相差.b 光线相位落后.
(c)图中a 、b 光线在点有位相差.a 光线相位落后.
(c)
2.8 一单色平行光，在真空中的波长为600nm ，垂直入射到平行平面玻璃板上，玻璃对此波长的折射率为1.5，玻璃板厚度为1×10-4m
，求光在玻璃中传播的速度和波长各是多少？光
波透过玻璃刚离开和刚进入时相比，光程差和相位差各是多少？
c 3⨯108
=2⨯108 解：(1)v ==
n 1.50.6⨯10-6
λn ===0.4⨯10-6m =0.4μm
n 1.5
λ0
(2)∆=n ⋅d =1.5⨯1⨯10-4m =1.5⨯10-4m
2π⨯1.5⨯10-4
δ=∆==500π -6
λ00.6⨯10
2π
2.9 复振幅φ(p ) =Ae +ikz 中的模和辐角各表示什么物理意义？ 解：模A 表示振幅，辐角kz 表示P 点到O 点的相位延迟.
2.11 如附图所示，一平面简谐波沿r 方向传播，波长为，设r =0处的初相位为ϕ0， （1）写出沿r 方向波的相位分布ϕ(r ) ； （2）写出沿x 轴方向波的相位分布ϕ(x ) ； （3）写出沿y 轴方向波的相位分布ϕ(y ) ； （4）写出该平面简谐波德复振幅表达式. 解：（1）ϕ(r ) =
2π
λ
r -ϕ0
2π
x cos θ-ϕ0
（2）ϕ(x ) =k x x -ϕ0=
λ
2π
y sin θ-ϕ0 （3）ϕ(y ) =k y y -ϕ0=λ
（4）ϕ(r)=Ae i (k
2.14 （1）试证明表达式ϕ(z , r ) =Ae -(2z +3t ) 是一行波； （2）验证上式是波动方程的解. 证明：
2
⋅r -ϕ0)
=Ae i (k x x +
k y y +k z z -ϕ0)
ϕ(z , r ) =Ae -(2z +3t )
k =2, ω=3. ∴υ=
波动方程：
2
ω
k
=1.5
∂2ϕ(z , r ) 1∂2ϕ(z , r )
-2
∂z 2υ∂t 2
=8Ae -(2z +3t ) [2(2z +3t ) 2-1]-
2
21
⨯18Ae -(2z +3t ) [2(2z +3t ) 2-1]=02.25
满足波动方程.
2.18 一单色光源发射波长为500nm 的等幅简谐波列，与其谱线半宽度相应的波长间隔为0.25nm ，求此波列的长度和持续时间. 解：
λ=500nm , ∆λ=0.25nm
波列长度： L=λ2/∆λ=10-3m 持续时间： τ=L/c=3.3⨯10-12s
2.20 什么是“光矢量”？“光矢量”的方向与光的传播方向有什么关系？ 解：光矢量就是电场强度矢量E ；其振动方向与光的传播方向垂直.
2.21 可见光的波长大致在400nm （紫光）到760nm （红光）的范围内，它们在真空中的速度约为3⨯10m /s . 试确定对应的频率范围. 解：
8
λ:400nm 760nm , c=3⨯108m /s υ=c /λ: 3.95⨯10Hz 7.50⨯10Hz
-14
-14
2.27 试指出波函数E =E x cos(ωt -kz ) i +E y cos(ωt -kz -解：δ=-
π
2
) j 表示的偏振态.
π
2
，表示左旋，沿z 方向传播，左旋椭圆偏振光，若E x =E y ，是圆偏振光.
2.28 试写出下列频率为ω、沿z 轴以波速c 传播的偏振光波函数. （1）振动面与x 轴成45o 角，振幅为A 的平面偏振光；（2）振动面与x 轴成120o 角，振幅为A 的平面偏振光；（3）右旋圆偏振光；（4）长轴在x 轴上、长轴为短轴两倍的右旋椭圆偏振光. 解：（1
）A x =A y =波函数：E =
A , δ=0
2
ˆ+ˆ （一三象限线偏振光）
A cos(ωt -kz ) x A cos(ωt -kz ) y
22
（2）
1A , A y =A , δ=π2（二四象限线偏振光）
1ˆˆ波函数： E =A cos(ωt -kz ) x A cos(ωt -kz +π) y
2
(3) A x = A y =A , δ=
π
2
ˆ+A cos(ωt -kz +) y ˆ波函数： E =A cos(ωt -kz ) x
2
A π, δ=22
（右旋椭圆偏振光）
A πˆ+cos(ωt -kz +) y ˆ波函数： E =A cos(ωt -kz ) x 22(4) A x = A , A y =
2.29指出下列各组光波波函数所描述的光波属于哪一种偏振态（即回答该光是线偏振光、圆偏振光、还是椭圆偏振光. 若是圆偏振光或者椭圆偏振光要指出是左旋还是右旋. 设下列各光波沿z 轴传播.
π
（右旋圆偏振光）
z ⎧
E =A cos[ω(t -)]⎪⎪x c （1）⎨
⎪E y =A sin[ω(t -z )]⎪c ⎩z ⎧E =A cos[ω(t -)]⎪⎪x c （2）⎨
⎪E y =-A cos[ω(t -z )]⎪c ⎩z ⎧E =A cos[ω(t -)]⎪⎪x c （3）⎨
⎪E y =A cos[ω(t -z )]⎪c ⎩z ⎧E =A cos[ω(t -)]⎪⎪x c （4）⎨
⎪E y =A cos[ω(t -z ) +π]⎪c 4⎩
解：（1） A x = A y , δ=-
π
2
，左旋圆偏振光；
（2） A x = A y , δ=π，与x 轴夹角为135o 的线偏振光； （3） A x = A y , δ=0，与x 轴夹角为45o 的线偏振光； （4） A x = A y , δ=
2.30 有两列沿z 轴方向传播的圆频率为ω的线偏振光，它们的光矢量分布在x 和y 轴方向振动，其波函数 E x = A cos ωt , E y = A cos(ωt -末端的轨迹.
π
4
，右旋椭圆偏振光.
π
4
), 用描轨迹法求出合成光波光矢量
x ωy ω消去t 得光矢量末端轨迹：
4
E x 2+ E y 2x E y =A 2/2，是左旋椭圆偏振光.
第三章 光通过各向同性介质及其界面所发生的现象
3.1 试证明：振动面与入射面程45o 角的线偏振光垂直入射到如图3-6所示的菲涅尔菱形镜上（棱镜材料的折射率n=1.511），当i 1=48.5o 或者54.5o 时，出射光是圆偏振光. 证明：由（3.2）式，
n 1=1.511, n 2=1, i1=48.5o 时，
δs =55.77, δp =100.77 , p分量比s 分量超前45
π
o o o
经两次反射后，p 分量超前s 分量，而入射线偏振光A p =A s ，故出射光是圆偏振光.
2
3.4 在光学仪器中，为了减少像差，常常把不同折射率的两种材料做成曲率相同的一凸一凹两个透镜，组合成复合透镜，这种复合透镜要用折射率与透镜材料接近的树脂来胶合，设凸透镜L1的折射率n 1=1.7，凹透镜L2的折射率n 2=1.5.问：
（1）如果不加树脂胶胶合，在两界面上正入射光的反射率为多少？ （2）两界面的总反射损失为多少？
（3）若以n=1.6的树脂胶胶合，则两界面的总反射损失为多少？ （4）为什么两界面要用树脂胶胶合？ 解：（1）R 1=(
1.7-121.5-12
) =6.72%, R 2=() =4% 1.7+11.5+1
2
2
（2）R 总=1-(1-R 1)(1-R 2) =10.45%
⎛1.7-1.6⎫⎛1.6-1.5⎫
（3）R 1' = =0.1%, R ' =2⎪ ⎪=0.1%
1.7+1.61.6+1.5⎝⎭⎝⎭
R 总=1-(1-R 1' )(1-R 2' ) =0.2%
（4）用树脂胶合可减小界面反射损失.
3.5 一个玻片堆由十块平行平面熔石英玻璃板相互平行放置而成，已知熔石英的折射率为1.45. 求自然光以布儒斯特角入射，经玻片堆透射后，光的偏振度为多少？ 解：n 1=1, n 2=1.45. taniB =
n 2
, ∴i B =55.4o n 1
由（3.1）式，通过一个平面的反射率：
R s =[-
sin(i 1-i 2) 2
]=12.61%, 透射率 Ts =1-R s =87.4%
sin(i 1+i 2)
2
通过10块（20平面）后，透射率T s 总=（87.4%）=6.75%
P
1+6.75%
3.7 用K 9玻璃（n=1.5163）制成He-Ne 激光腔上的布儒斯特窗片，问窗片的法线与激光轴夹角应为多大？
解：窗片法线与激光轴间的夹角应为光从空气射到窗片上的布儒斯特角.
i B =tan -1
n 21.5163=tan 56.595o =56o 35'42" n 11
3.8 利用布儒斯特定律，可以测定不透明电介质的折射率. 若在空气中测得釉质的起偏角为57.9o ，求它的折射率. 解：
i B =57.9o ,tan -11.594
∴n 2=n 1tan i B =1.594
3.9 若光在某种介质中的全反射临界角为45o ，求光从空气射到该介质界面时的布儒斯特角. 解：由全反射临界角
sin i C =
n 211==
==
sin 45o ，有：n =o
sin 45n 1n -1
因此：i B =tan () ==54.7356=5444'
3.12 一束平行光以60o 的入射角从空气入射到平面玻璃上，发现没有反射光，求： （1）入射光的偏振态入射？ （2）玻璃对此光的折射率是多少？ （3）透射光的折射角是多少？
解：（1）跟据菲涅尔公式，只有入射光在布氏入射时，没有P 光反射. 因此入射光是P 光. （2）由题意知， 入射光是在布儒斯特角入射， 因此有i B =tan
-1
n
1
o o
n 2
=60o n 1
o
o
o
玻璃对此光的折射率为n 2=tan60o =1.732 （3）透射光的折射角为90-60=30
3.19 试解释为什么危险讯号灯不用人眼最敏感的黄绿光而用红光？ 解：在瑞利散射光强度I θ∝
3.20 设波长为253.6nm 和546.1nm 的两条谱线强度相同，求两光波瑞利散射的强度之比. 解：由I 散∝
1
λ4
, 长波长散射光强度小，穿透能力强。
1
λ4
, 有
I 1
2
4
λ2=
14
所以
I 1
2
4
(546.1)=
(253.6)4
=21.5
第四章 光的干涉
4.3 在杨氏实验中，双缝相距为5.0mm ，缝与接收屏相距为5.0m. 入射光中包含波长为500nm 和600nm 两种成分，因而看到屏上有两组干涉图样，试分别求出这两种波长的干涉条纹宽度及第二级亮纹间的距离.
解：（1）对500nm 的光波，条纹宽度为
D 5⨯103
∆x 1=λ1=⨯500⨯10-6mm =0.5mm
d 5
第二级亮纹的位置为
x 1=m
D
λ1=2⨯0.5mm =1mm d
（2） 对600nm 的光波，条纹宽度为
D 5⨯103
∆x 2=λ2=⨯600⨯10-6mm =0.6mm
d 5
第二级亮纹的位置为
x 2=m
D
λ2=2⨯0.6mm =1.2mm d
（3）两波长第二级亮纹间的距离为
∆L =x 2-x 1=(1.2-1) mm =0.2mm
4.4 杨氏干涉的应用之一是测气体的折射率，其原理性结构如图所示. 在S1的后面放置一长度为l 的透明容器，当待测气体注入容器而将空气排出的过程中，接收屏上的干涉条纹就会移动，由干涉条纹移动的数目可推知待测气体的折射率，设待测气体的折射率为n x ，且大于空气的折射率n 0. 如果充入的气体为氯气，l =2.0cm.条纹移动的数目为20，光波波长λ=589.3nm，空气的折射率n=1.000276，求：（1）干涉条纹如何移动？（2）待测氯气的折射率.
解：(1) 条纹向上移动.
(2) (n x -n 0) L =20λ, ∆n =n x -n 0=
20λ
L
n 0+∆n =1.000276+0.0005893=1.0008653
4.5 用很薄的云母片（n=1.58）覆盖在双缝装置中的一条缝上，这时接收屏上的中心位置为原来的第7条亮纹所占据. 如果入射光波长为500nm ，则云母片的厚度如何？ 解：据题意有(n -n 0) L =7λ
L =
7λ7⨯500
=nm ≈600nm =6μm n -n 01.58-1.0
4.7 杨氏实验中，若光源是白炽灯光透过一块红色滤光片，滤光片透过的波长范围为600~700nm.假设单缝无限窄，双缝间距为0.1mm ，观察屏离双缝1m. 求屏上可看到的条纹数目和条纹范围. 若用一个λ=650nm，△λ=10nm的红色干涉滤光片代替前者，情况又如何？ 解：（1）当：∆λ=700-600=100nm 时 条纹级次为：m
λ650
==6.5 ∆λ100
共计 2m+1=13条 m=0,±1…±6.
λD D λ2
⋅λ=2⋅条纹范围为：∆L =2m ⋅∆x =2 ∆λd d ∆λ
1(650⨯10-9) 2
∆L =2⨯⨯=8.45⨯10-2=8.45cm -3-9
0.1⨯10100⨯10
λ650==65 （2）当：∆λ=10nm 时，m
∆λ10
m '=0, ±1±65，共计2m’+1=130条
x=84.5cm
答（1）屏上可看到的条纹数为13条，条纹范围为8.45cm. （2）屏上可看到的条纹数为130条，条纹范围为84.5cm.
4.10 用钠光灯作为杨氏双缝实验的光源（光波波长589.3nm ），双缝与光源的距离为0.4m ，双缝间距是2mm ，为了在接收屏上获得可见的干涉条纹，光源的宽度最大取多少？ 解：R =0.4m , d =2mm
由b ∆θ≤λ，∆θ=d /R
λ5893⨯10-10⨯0.4-3
=m =0.12⨯10m 有b ≤-3∆θ2⨯10
∴光源的宽度最大取0.12mm
4.11 在杨氏双缝实验装置中，双缝相距0.5mm 接收屏距双缝1m ，点光源距双缝30cm ，它发射λ=600nm的单色光，试求： （1）屏上干涉条纹间距；
（2）若点光源由轴上向下平移1mm ，屏上干涉条纹向什么方向移动？移动多少距离？ （3）若从两缝发出光波的振幅比为1：3，则屏上干涉条纹的可见度为多少？
（4）若点光源发出的光波为600±3.0nm 范围内的准单色光，求屏上能看到的干涉极大的最高级次；
（5）若光源具有一定的宽度，屏上干涉条纹消失时，它的临界宽度是多少？ 解 已知 d=0.5mm,D=1m,R=30cm
P O
D
(1)条纹间隔：∆=
D
λ=1.2mm d
(2)如下图，S 向下移，条纹向上移。移动距
∆y ∆y '
离为∆y ' =
R D
2(A1A 2)
(3)由V =
1+(A1A 2) 2
当A 1A =时有V =
2⨯=0.6 2
1+（）
（4）已知λ=600nm , ∆λ=6.0nm
由m ≤λ∆λ, 有m ≤6=100 (5)由b ∆θ=λ, ∆θ≈
d R
30⨯10-2⨯600⨯10-9
有b ==0.36⨯10-3m =0.36mm -3
0.5⨯10
4.12 在观察某薄膜的反射光时呈现绿色（λ=550nm），这时薄膜法线和视线夹角a=30o . 问：（1）薄膜的最薄厚度是多少？（设薄膜的折射率n=1.33）（2）沿法线方向观察膜呈什么颜色？
解:（1）由2nh cos i 2+
或
2λ
2
=
m λ
λ
2
=m λ
有h =m λ-
λ
2
/取 m=1:
则h =
λ
2
/=275/2⨯1.23≈112nm
(2)由
2nh +
λ
2
=m λ,
1
有2⨯1.33⨯112=（m -）λ
2
1
λ=297.9/m -
2
m 取1，λ=595.8nm
呈黄色
4.13 有一透明薄片，两端的厚薄不等，成楔形，其折射率n=1.5，当波长λ=600nm的单色光垂直照射时，从反射光中看到薄片上共有10条亮纹（薄端为暗纹），求此薄片两端的厚度差. 解：已知i 1=0
n =1.5λ=600nm
由2nh 1+∆h =∆m ⋅
λ
2
=m 1λ，2nh 2+=10⨯
λ
2
=m 2λ，有∆h =h 2-h 1=
(m 2-m 1)
λ 2n
λ
2n 600
nm =2μm 2⨯1.5
4.14 在两块光学平晶间放三颗滚珠A 、B 、C ，用波长λ=500nm的单色光垂直照射时，观察到如图中所示的干涉条纹.
问：（1）这三个滚珠的直径相差是多少？ （2）用什么方法可以判断哪个直径最大？
相邻两亮条纹对应的空气膜厚度差为。
2
λ5⨯500
∴ΦAB =5⨯==1250nm
22λ5⨯500
ΦBC =5⨯==1250nm
22λ10⨯500
ΦCA =10⨯==2500nm
22
(2) 用手轻轻压一下平晶，看条纹向哪个方向运动. 膜厚减小，条纹向高级次方向运动. 即，条纹向哪个方向运动，说明那个方向的滚珠直径最大.
4.16 将两块曲率半径相同的平凸透镜凸面向下，分别放在一块平凹透镜的凹面上和一块平板玻璃上，以波长为632.8nm 的光垂直照明，发现在直径40mm 的范围内所见的干涉条纹数目相差10条. 求凹面的曲率半径.
解：设：在平板玻璃上, 可见条纹数N 条, 在平凸透镜上, 可见条纹数问N-1条.
解：(1)
λ
∆1=2h 1+
λ
2
=N λ
∆2=2h 1-2h 2+
λ
2
=(N -10) λ
∆1-∆2=2h 2=10λ
设平凹透镜凹面的曲率半径为R
由图可得：r 2=2h 2R
r 2r 2(20)2
R ====63.2m
2h 210λ10⨯0.6328⨯10-3
4.17 牛顿环装置中，用λ=450nm的蓝光垂直照射时，测得第3个亮环的半径为1.06mm ，用另一种红光垂直照射时，测得第5个亮环的半径为1.77mm. 问此种红光的波长为多少？透镜曲率半径为多少？
22
r m r m λ1h m =，由亮纹条件：2h m +=m λ，有=(m -) λ 解：已知：
22R R 2
12
r m =(m -) λR
2
112
（1.06）=(3-) R ⨯450⨯10-6，(1.77)2=(5-) R ⨯λ 据题意有：
22
上两式相比有：
(1.77)22.5
λ=⋅⨯450⨯10-6=697.1nm 2
(1.06)4.5
112
R =r m (m -) λ=(1.77)2(5-) ⨯0.697⨯10-3=0.999m ≈1m
22
4.18 用等厚干涉方法检验平行玻璃板的平行度. 如果采用钠光灯（λ=589.3nm，谱线宽度
∆λ=1.0nm）能否检验1cm 厚的平板的平行度？为什么？
λ2
解：预用等厚方法，检验1cm 厚平板，其最大光程差∆max =2nh , 此时光源的相干长度L =
∆λ
(589.3)2
=0.35mm 若∆max
1
可见L
4.19 用波长λ=632.8nm的光源照明迈克尔逊干涉仪测量长度时，发现一镜移动一段距离后，干涉条纹移动1000条，求这段距离. 解：由∆h =∆N ⋅
4.20 钠灯中含有两条强度和波长均相近的谱线，两条谱线的平均波长为589.3nm. 在钠光在调节迈克尔逊干涉仪，直到看到圆形干涉条纹，由于两条谱线各自形成一套干涉图样，所以在调节M1的过程中，干涉条纹出现由清晰到模糊又到清晰地周期性变化. 测得条纹由最清晰时算起到第一次变模糊位置，视场中移过490条条纹. 求钠光谱中的两波长差
λ
2
，得∆h =1000=0.32mm
∆λ=λ1-λ2，及λ1，λ2.
解：条纹清晰时有2h =m 1λ1=m 2λ2，
改变∆h , 条纹再清晰时有，2(h +∆h ) =(m 1+∆m ) λ1=(m 2+∆m +1) λ2
上两式相减有2∆h =∆m λ1=(∆m +1) λ2，
∆m =λ2(λ1-λ2) =λ2∆λ
2∆h =λ1λ2∆λ=λ
条纹从清晰到清晰:∆h =∆λ
2
2
条纹从清晰到模糊:∆h ' =4∆λ
又知, 视场中移动过490条条纹, 移动距离为 ∆h ' =490⨯
2
λ
2
2
∴∆λ=
λ
4∆h '
=
λ
2
4⨯490⨯λ2
=
λ
980
=0.6nm
λ1=-
∆λ
=589nm 22
另解:∆=
2∆λ
=∆N
2∆N ∆λλ1=1=589.0nm
2∆λ
λ2=2+=589.6nm
2
∆λ=
λ
=
589.3
≈0.6nm
2⨯490
4.28 在玻璃板（折射率n 1=1.5）表面镀一层折射率为n 2=2.5的透明介质膜以增强反射，设在镀膜过程中用一束波长λ=600nm的单色光从上方垂直照射到介质膜上，并用照度表测量透射光的强度，当介质膜的厚度逐渐增大时，透射光的强度发生时强时弱的变化，求当观察到透射光的强度第三次出现最弱时，已镀膜层有多厚？ 解：膜上, 下表面反射光之间的光程为：
∆=2n 2h +
当m =3时,
λ
2
当∆=m λ时, 反射光相干加强; 透射光相干相消
h =
2m -15λ5⨯600
λ===300nm 4n 24n 24⨯2.5
第五章 光的衍射
5.10 用波长为632.8nm 的激光束测量单缝宽度，若测得中心附近两侧第五个极小间的距离为6.3cm ，缝与屏的距离为5cm ，试求缝宽？ 解：
上述装置中激光束射到单缝上可视为平行光入射，在逢后5cm 接受，这是夫琅禾费衍
射.(参考教材例题5.2) 单逢夫琅禾费衍射，产生极小值的条件为
n sin θ=n λ
据题意：
n =±
1, ±2
5λa =
sin θ3.15⨯10-2
sin θ≈
5
5⨯632.8⨯10-9⨯5-4
∴a =5⨯10m =0.5mm -2
3.15⨯10
5.11测得一细丝的夫琅禾费零级衍射斑的宽度为1cm ，已知入射光波波长为632.8nm ，透镜焦距为50cm ，求细丝的直径？ 解 ：
由
a sin θ=λ
得：
sin θ≈
a =
0.5
=0.01 50
632.8
=63280nm =632.8μm 0.01
5.12折射率分别为n 1和n 2、厚度为d 、表面平行的两块玻璃片彼此对接，覆盖一定宽度的狭缝，两片各盖住缝宽的一半，单色平行光垂直入射到狭缝上. 在什么条件下夫琅禾费衍射图样的中心是暗的？ 解：
衍射图样的中心是在衍射角θ=0 的方向缝的上、下部相对应点在P 点的光程差为：
∆=(n1-n 2)d
（2m +1) 当∆=
处为暗纹.
5.13一束直径为2mm 的氦氖激光（λ=632.8nm）自地面射向月球. 已知月球离地面的距离为3.76×105km. 问在月球上得到的光斑有多大？不计大气的影响. 若把这样的激光束扩大到直径为2m 和5m 后在发射，月球上的光斑有多大？ 解:激光束的发射角
λ
2
时，衍射图样中心处为暗纹. 若取m =0，则(n 1-n 2) d =
λ
2
时，P 点
D
-10
1.22⨯6328⨯10∆θ==0.386mrad -3
2⨯10
光斑半径为：R =∆θ⨯L =145.163Km ；则其直径为：φ=2R =290.272k m
若D=2m，则φ=290.272m ；若D=5m，则φ=116m . 可见衍射斑的大小与衍射孔径的大小成反比.
∆θ=1.22
λ
5.14一会聚透镜，直径为3cm ，焦距f 为20cm ，问：
（1）为了满足瑞利判据，两个遥远的点状物体必须有多大的角距离？（设λ=550nm）. （2）在透镜焦平面上两个衍射图样的中心相隔多远？
解: (1)由瑞利判据，当两个点状物体的角距离等于零级衍射斑的角半径时，则可分辨，则有：
θ=θ0=1.22
(2)两衍射斑中心距离（透镜焦平面上）
λ
D
=2.24⨯10-5rad
L =f ⋅θ=20⨯10-2⨯2.24⨯10-5=4.47310μm
5.18由紫光在（λ=400nm），绿光（λ=500nm）和红光（λ=750nm），三种波长组成的平行光垂直入射到一个光栅上，光栅常数为0.005mm ，用f ' =1m 的透镜把光谱会聚于焦平面上，问：第二级红线、第三级绿线和第四级紫线之间的距离为多少？
解：第二级红线衍射角的正弦：
sin θ2=
第三级绿线衍射角的正弦：
2λ27⨯50
==0.3 d 5⨯10-33λ3⨯500==0.3 d 5⨯10-3
4λ4⨯400==0.32 d 5⨯10-3
sin θ3=
第四级紫线衍射角的正弦:
sin θ4=
可见第二级红线与第三级绿线在屏上重合，且与第四级紫线的距离为
L ≈f '(sinθ4-sin θ2) =1⨯(0.32-0.30) =0.02m =20mm
5.20用波长为0.5890µm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽a =0.0010mm ，不透明部分宽度b =0.0025mm ，缝数NN=105条. 试求： （1）中央峰的角宽度；
（2）中央峰内干涉主极大的数目； （3）第一级谱线的半角宽度. 解：（1）由θ=2∆θ=2
λ
a
得：
θ=2⨯
（2）中央峰内主极大数目为：
0.5890
=1.178rad 1d a +b ==3.5 a a
m =
此时中央峰内有0级到±3级干涉主极大
∴K =2⨯3+1=7条
（3）中央峰的角宽度为：
∆θ=
其中：
λ
nd cos θ
cos θ==代入数据得：
∆θ=1.7⨯10-6rad
5.21一块平面透射光栅，在1mm 内有500条狭缝，现对钠光谱（λ=0.5893μm ）进行观察，试求：
（1）当光束垂直入射到光栅上时，最多能看到几级光谱？ （2）当光束以30°角入射时，情况如何？
解 ：据题意有：当光垂直入射时
d =m max
当光束以30°角入射时：
1
=2⨯10-3mm 500
d sin θd ==≈3.14
λλ
d (sin30o +sin θ) =m λ
m max =
d (sin30o +sin 90o )
λ
=5（取整数）
5.22一块透射光栅由2N+1条缝组成，除中央一条缝的宽度为2a 外，其他2N 条缝的缝宽均为a ，相邻各缝之间的间隔d=4a.试分析此光栅在焦平面上的光强分布与各缝均为a ，间隔为d=4a的光栅的异同.
（提示：将2N+1条缝分成两部分，考虑两部分之间的相干叠加. ）
解：将2N+1条缝分成两部分，上半部分N 条，下半部分N 条，两部分的光程差 对于0级：sin θ=0 ∆=0 I=4I 上 对于1级： sin θ=
λ
d 4a 4
2λλλ= asinθ= δ=πI =0 对于2级：sin θ=d 2a 23λ3λ33= asinθ=λδ=π I=2I 2 对于3级：sin θ=
d 4a 42d
=4 对于4级：缺级a 5λ5
δ=π I=2I 上 对于5级： sin θ=d 2
=
λ
asinθ=
λ
I=4I 上
6λ
δ=3π I=0 d 7λ7
δ=π I=2I 上 对于7级：sin θ=d 2
对于6级：sin θ=
比较：相同：极大位置相同，0级光强相同. 不同：奇数级次强度减半，偶数级次强度为0.
5.30在菲涅耳圆孔衍射中，若以一枚硬币作为圆盘（ρ0=1cm ），令R =r 0，取λ=0. 5μm ，若要求圆盘中心有足够的亮度（圆盘挡住的部分恰好为一个半波带），则光源与观察屏的距离应为多少？
解：第一个半波带被档时，屏上光振动的合振幅A 为：
A =a o -a 1=
a 1a
-a 1=-1 22
a 1
，所以屏上的光强为： 2
其中a 0是光波自由传播时，即波面没有被遮蔽时的振幅，因为a 0≈
a 12
I =A ==I 0
4
2
5.32单色平行光垂直照射到直径d =30cm 的圆孔上，在离圆孔r =3.6km 处的平面上产生菲涅耳衍射图样. 如果要在离孔r =4cm 处的屏上观察到一个相似的衍射图样，圆孔的直径应改为多少？
ρ2
解：当圆孔所的波带数相同时，得到相似的衍射图样. 平行光入射时，R →∞ n=，
λr 0
据题意：
22
ρ12ρ2d 12d 2
= 或 =
λr 01λr 02λr 01λr 02
2
d 2=d 12
λr 02r 4
=d 1202=(3⨯10-1) 2⨯3
λr 01r 013.6⨯10
2
d 2=1⨯10-4m d 2=1⨯10-2m =1cm
5.33一块很大的平行平面玻璃，在其中央镀一层圆形透明薄膜，膜后d =500nm ，折射率
n =1.5，直径D =1mm ，当可见光垂直入射时，哪一个波长的光可以在哪一个点获得光强
为不镀膜时九倍？（忽略玻璃板与薄膜的损耗）. 解：设不镀膜时P 0点光振动的合振幅为：
a 0=
镀膜后，要求合振幅A =3a 0，可以写为：
a 1
2
A =a 1+
a 1a
=31=3a 0 22
可以设想：所镀膜厚产生π的相位差所镀膜区域大小对P 0点是一个半波带，即第一个半波带在P 点产生的振幅是a 1，相位与第二个半波带相同. 从第二个半波带到∞个的合振幅为：
a a a a a 2
-a 2+a 3-a 4++a ∞=-+(a 3-1-4) +(a 5-4-6) +
22222
a a
镀膜后：A =-a 1-2≈-32=3a 0
22
（1） 由于镀膜使相位改变π，即波长满足以下关系式：
+
a ∞a
≈-2 22
2
λ=2(n -1) d =500nm
（2）镀膜部分为第一个半波带，即：
(n -1) d =
λ
ρ2
=1 r 0λ
ρ2(0.5)2
r 0===500mm
λ5⨯10-4
5.36半波带片第五环半径为1.5mm ，求波带片对于波长为0.5μm 的单色光的焦距f ' 和第一
环半径r ，若波带与屏幕之间充以折射率为n 的介质，将发生什么变化？
ρ2解：由f =，ρ5=1.5mm , λ=5⨯
10-4mm , n =5得：
n λ
1.52
f ==900mm -4
5⨯10⨯5
又因为ρj =得：
j =1, f =900mm , λ=5⨯10-4mm
ρ==0.67mm
若充以介质后，光波波长将变小，其焦距将变长.
第六章 成像仪器与光谱仪
6.1人眼的分辨极限角一般认为是1' ，实用上常取2' 距离处，人眼的可分辨的最小距离. 解：
4' ，试计算上述两种情况下，在眀视
1' =
1π⨯=2.9⨯10-4rad 60180
当θ0=1' 时，在明视距离l 0处，两物点间距δy 为：
δy =l 0⨯θ0=25cm ⨯2.9⨯10-4=72.5μm
当θ0=2' 时， δy =25⨯2⨯2.9⨯10-4=145μm 当θ0=4' 时， δy =25⨯4⨯2.9⨯10=290μm
-4
可见若θ0取1', δy ≈75μm
θ0取2', δy ≈150μm θ0取4' ， δy ≈300μm
5.5⨯10-4
∆θ内=1.22=1.22=1.22=2.19
D nD 1.33⨯2.3
λ
λ0
5.5⨯10-4
∆θ外=1.22=1.22⨯=2.91rad
D 2.3
λ
6.2航天飞机上的宇航员称，他恰好能分辨在他下面100km 地面上的某两个点光源，设光源的波长为550nm 、瞳孔直径为4mm ，求在理想条件下这两个点光源的间距是多少？
解 设两点光源之间距离为S ，入眼瞳孔直径为D , 航天飞机至地面的距离为L , 则
S λ
=1.22 L D
550⨯10-95
S =1.22L =1.22⨯⨯10=16.8m -3
D 4⨯10
λ
6.4 一台油浸显微镜恰可分辨4000条/mm的明暗相间的线条，已知照明光的波长为435.8nm ，油液的折射率为1.52，假设线条之间是非相干的，试求物镜的数值孔径和入射光的孔径角. 解：
0.61λ
n sin u
0.61λ
有： n sin u ==1.063
4000据： δy =
物镜的数值孔径为 N.A.=1.063入射光的孔径角为 2u =2sin -1
1.063
≈88o 54' 1.52
6.6一台反射式望远镜，其物镜口径是8cm ，目镜放大率80×，试分析用该望远镜所能分辨的两颗最近形体的角距离（用″表示）. 假设光波长为600nm.
解： 物镜的最小分辨角
∆θ=
1.22λ1.22⨯600
==0.915⨯10-5rad ≈2" 7
D 8⨯10∆θ' =1.9⨯80=152" =2'32"
∆θ经目镜放大后：
可见∆θ' >θe (θe =1')
所以该望远镜能分辨两颗最近星体的角距离为2'
6.7 如果要用一块每毫米500条刻痕的光栅，在第二级光谱中能分辨500.00±0.01nm 的两个
波长，此光栅至少应有多宽？ 解：
据题意d =
1
mm 若在第二级分辨500.00±0.01与500.00-0.01的两个波长，500
分辨本领达到 λ=
λ
=25000∆λ
A
d =25mm m
∴光栅宽度至少应为25mm 光栅宽度为：W =Nd =
6.8平行光垂直入射到宽度为6cm 的平面透射光栅上，求在30°衍射方向上，在λ=600nm 的附近恰可分辨的两条谱线的波长差为多少？
解 A =
λd sin θ
=mN =∆λλ
H sin 30o
N= ∴∆λ=
λλ2
=0.012nm
W sin 30o
6.9波长为500.00nm 的和500.01nm 的平面波垂直照射到光栅常数为d =4μm ，总宽度
W =10cm
的光栅上，选定在光栅光谱的第二级工作，问这两条谱线分开多大的角度？能否
被分辨？ 解：
d θm ====5.16⨯10-4/nm d λd cos θ
d θ=D θd λ=5.16⨯10-6rad D θ=
要分辨此双线
要求：A =
λ500==5⨯104 ∆λ0.01
2⨯10⨯10-2
实际：A =mN ==5⨯104 -6
4⨯10
所以刚好分辨
6.10 一光栅宽为5cm ，每毫米内有400条刻线，当波长为500nm 和500.01nm 的平行光垂直入射时，第4级衍射光谱在单缝衍射的第一极小位置. 试求： （1）每缝（透光部分）的宽度；
（2）500nm 第2级衍射光谱的半角宽度； （3）第2级可分辨的最小波长差；
（4）在500.01nm 光波的单缝衍射中央主极大内可看到几条谱线？ 解：
（1）据题意
d 1=4 d =mm =2500nm a 400
∴a =
（2
）
d
=625nm 4
∆θ=
λ
Nd cos θ
=
其中光栅宽度W
=Nd =5cm
∆θ=
=1.04⨯10-5rad
（3）∆λ= （4）
λ
mN
=
500⨯2500-2
=1.25⨯10nm 7
2⨯5⨯10
在500+0.01nm 的中央级大内，存在0至3级谱线，m =±4缺级，考虑到光栅的色分辨本领： 当m =1时，A =2⨯104 m=2时，A =4⨯104
m =3时，A =6⨯104
要分辨500.00nm 和500.01的谱线
5004
要求A ==5⨯10
0.01
可见：在第1、2级光谱中无法分辨上诉两条谱线，在第3级光谱中可分辨.
所以：在主级大区内，可看到0级、±1级、±2级谱线共5条，两谱线的±3级共4条，总计9条。
第八章 光在各向异性介质中的传播
8.2一束线偏振光垂直入射到一块方解石晶体上，光振动面与晶体主平面成30°角，试计算e 光和o 光的振幅和相对强度. 解： 据马吕斯公式：
A o =A sin30o A e =A cos30o M
I o =A 2sin 230o I e =A 2cos 230o
I e cos 230o
==3 2o I o sin 30
8.4在两个正交偏振片之间插入第三个偏振片，自然光依次通过三个偏振片，求： （1）当最后透过光的光强为入射光强的
1
时，插入偏振片的方位角； 8
（2）为使最后透过的光强为零，插入的偏振片应如何放置？
（3）能否找到插入偏振片的合适方位，是最后透过的光强为入射自然光强的
1？ 2π
据题意：设第三个偏振片与第一和第二个偏振片的透光轴夹角分别为θ和，则透解： 2
过三个偏振片后的光强为：
I I 1π
I o cos 2θcos 2(-θ) =o cos 2θsin 2θ=o sin 22θ 2228
1
（1）若出射光强为入射光强的，则
8
I =
sin 22θ=1, θ=45o
（2）若I =0, 则sin 22θ=0, θ=0或90o （3）若I =
I o
, 则sin 22θ=4,sin 2θ=2 2
I o
2
这是不可能的，即无论θ为何值，都不会有I =
8.6在两偏振片P 1和P 2之间插入一块
1
波片，波片的快轴与P 1的透振轴成38°角，波长为2
632.8nm 的光经P 1后垂直通过晶体射到P 2上，问： （1）欲使透射光有最大振幅，P 2应如何放置？ （2）已知晶片的折射率n o =1.52
n e =1.48，试计算此晶片的最小厚度.
答：(1)欲使透射光有最大振幅, 应使 P 2振动方向与经 已知光经 位. （2）
λ
片后光的振动方向一致. 2
λ
片后, 振动方向绕光轴旋转2θ ，故P 2透光轴应放在与P 1透光轴成76°角的方2
λ
2
:(n 0-n e ) d =
λ
2
-9
632.8⨯10
∴d ===7.91μm
n o -n e 2⨯(1.52-1.48)
λ
8.7实验中常用半波片改变圆偏振光和椭圆偏振光的光矢量旋转方向. 试说明理由，并指出波带片应如何放置？
答：用
λλλ
片可以改变光矢量 . 对圆偏振光, 片光轴方向可任意放置，因为经片222
λ
片的光轴方向与长轴(或短轴) 方向垂直, 方可使两互相垂直的振2
后, 沿光轴方向和垂直光轴方向振动的两分量之间产生了π的位相差, 使旋转方向发生了改变.
对椭圆偏振光, 需将
动增加π的位相差, 改变光的旋转方向.
2
E x 2E y E x E y
+2-2()()cos δ=sin 2δ 2A x A y A x A
λλ
片，用自然光入射，当以光线为轴旋转片时，透过第44
λ
二个偏振片的光强将出现一系列极大和极小值，问在片旋转360°的过程中出现几个极大
4
λ
和极小值？极小强度是否为零？强度极大和极小现象出现时片的光轴处于什么方位？这
4
λλλ
是从片出射光的偏振态如何？若将片换成片，情况如何？
442
8.9 在正交偏振片之间放置一块 解：
1λ入射光强I o 的自然光经P 后，光强为I 经片 A o =A sin θ A e =A cos θ 1o
24
在经P 2投影：
A o ' =A o cos θ=A sin θcos θ A e ' =A e sin θ=A sin θcos θ
光强:
22
A ' 2=A ' o +A ' e +2A ' o A ' e cos δ
22
=A ' o +A ' e =2A 2sin 2θcos 2θ
=
可见最大值sin 2θ
max
12
A (sin2θ) 22
=1; 最小值sin 2θmin =0,
π2
当θ=0，ππ，2π时为极小值，出射光线为偏振光.
23ππππ3ππλ
当θ=+，π++时为极大值，出射圆偏振光若换上片，出射的光为线
4244242偏振光.
8.10用什么方法区别
λλ和？ 22
λ
片后出射光仍为线偏振光，旋2
答：用两块偏振片即可区分. 第一块偏振片产生线偏振光经转第二块偏振片一周有两次极大值，两次极小值出现.
λλ
片视入射光振动方向与片光轴方向的不同，可产生线、圆、椭圆偏振. 22
λ
旋转检偏器可判断经片出射的偏振态. 即调整入射线偏振光的方位，若经检偏器后，总是
2
λλ
出现二次极大值二次极小值即为片，否则为片.
22
线偏振光经