第1章 单自由度系统的自由振动题解
习 题
1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 m g =k δ
其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知
δ==
24E J h
3
mgh
3
24EJ
题1-1图
则 k =
设静平衡位置水平向右为正方向，则有
"
m x =-k x 所以固有频率p n =
1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
θ
mg
24EJ mh
3
α
h
θ
2
F sin α
θ
题1-2图
解：给杆一个微转角θ
a 2
θ＝h α
2F cos α＝mg
由动量矩定理：
=M I θI ==
112ml
2
M =-Fa sin α⋅cos
θ
2
≈-mg
a 2
α=-mg
a
2
8h
a
1
其中
s i n α≈α
112
2
2
c o θ
2
≈1
+mg ⋅ml θ3ga l h =2π
2
2
a
2
4h
θ=0
p n =2πp n
T =
l h 3ga
2
2
=
2πl a
h 3g
1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为
k 1'=
k 1k 2k 1+k 2
'=k 3+，k 2
k 1k 2k 1+k 2p
2
，k =
k 1k 2k 4+k 2k 3k 4+k 1k 2k 4k 1k 3+k 2k 3+k 1k 2+k 1k 4+k 2k 4
题1-3图
=
k 1k 2k 4+k 2k 3k 4+k 1k 2k 4
m (k 1k 3+k 2k 3+k 1k 2+k 1k 4+k 2k 4)
1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。
解：
k 1=GJ 1/l 1 （1） k 2=GJ k 3=GJ
3
2
/l 2 （2） /l 3 （3）
题1-4图
k 23=GJ 2J 3/(J 2l 3+J 3l 2) （4）
P n =(k 1+k 23) /I 由（1）(2)(3)(4) 知
P n =G (J 1J 2l 3+J 3J 1l 2+J 2J 3l 1) /Il 1(J 2l 3+J 3l 2)
2
2
2
1-5如题1-5图所示，质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
题1-5图
解：此系统是一个保守系统，能量守恒. 如图题中的广义坐标x ，设系统的振动方程为：x =A sin(wt +a )
则系统运动过程中速度表达式为：x =Aw cos(wt +a ) 系统最大位移和速度分别为：
x m ax =A x
m ax =A x
系统在运动过程中，动能表达式为：
T =1
2+1
2
2
m 1⎛12⎫⎛x
⎫1⎛x ⎫2m 1x 22x 2+2 2m 2r ⎪⎭ ⎝r ⎪⎭
+2I ⎝R ⎪ ⎝2⎭弹性势能为：
⎛x ⎫2
U =1
12
2k 1 R 1R +k 2x ⎝⎪
2⎭2
系统最大动能为：T =1
m 21
2
2
21⎛12⎫⎛Aw ⎫
1⎛Aw ⎫m ax
21(Aw ) +2m 2(Aw ) +2 ⎝2m 2r ⎪⎭ ⎝r ⎪⎭+2I ⎝R ⎪ 2⎭1⎛2
最大弹性势能为：U m ax
=2k A ⎫⎪+1k 21 R 1⎭2
2A ⎝R 2由于系统机械能守恒，因此：
T m ax =U m ax
112
22
=2m 221⎛12⎫⎛Aw ⎫1⎛Aw ⎫1⎛A ⎫12
1(Aw ) +2m 2(Aw ) +2 ⎝2m 2r ⎪⎭ ⎝r ⎪⎭
+2I ⎝R ⎪=k 1 R 1⎪+k 2A 2⎭2⎝R 2⎭2由上式可解得系统的固有频率为：
3
w =
1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I 0，求系统的固有频率。 解：设曲臂顺时针方向转动的ϕ角为广义坐标，系统作简
谐运动，其运动方程为ϕ=Φsin(p n t +α) 。ϕ很小，系统的动能为
T =
12 I O ϕ
2
+
12
) +m 1(a ϕ
2
12
) m 2(l ϕ
2
题1-6图
=Φp n cos(p n t +α) ϕ
所以， T m a x =
12
I O Φp n +
22
12
m 1Φp n a +
222
12
Φp n l
222
取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为δ1, δ2, δ3，由
∑m
12
O
(F ) =0， k 1δ1a +m 1ga +k 3δ3b -k 2δ2l =0 （A ）
由题意可知，系统势能为
V =
k 1[(ϕa +δ1) -δ1]+
2
2
12
k 3[(ϕb +δ3) -δ3]+
22
12
k 2[(ϕl -δ2) -δ2]+m 1g ϕa
22
（B ）
将（A ）式代入（B ）式，可得系统最大势能为，
V max =
12
k 1Φa +
2
2
12
k 3Φb +
22
12
k 2Φl
22
由， T m a x =V m a x 得
12
I O Φp n +
2
n 2
2
12
m 1Φp n a +
2
2
222
12
22
Φp n l
222
=
12
k 1Φa +
22
12
k 3Φb +
22
12
k 2Φl
22
所以，有p =
k 1a +k 3b +k 2l I O +m 1a +m 2l
2
1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg ，弹簧静伸长是1cm ，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm ，求阻尼系数c 。 解：振动衰减曲线得包络方程为：X =Ae
-nt
振动20个循环后，振幅比为：
0.640.16
=e
20nT d
4
∴T d =
ln 420n
ln 420n
2
代入Td =
, 得：() =
4πP
2n
2
2
-N
又
P n =
) ＝
2
=∴(
ln 420n
4π
2
2
100g -N
∴c = 6.9 N s /m
c c =
2a l
mk 3，
p
2n
=
3ka ml
22
1-8一长度为l 、质量为m 的均质刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。
题1-8图
X O
Y O
F K
O
F C
ϕ
mg
解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：
+c ϕ l +k ϕa I 0ϕ
2
2
=0
I 0= +∴ϕ∴p
2n
133c m
ml
2
+ϕ
22
3ka ml
22
ϕ=0 3c m
=
3ka ml
, 2n =
当n ＝p n 时，c ＝c C
∴c C =
2nm 3
=2p n m 3
=2a l
mk 3
5
1-9如题1-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。
解：
=-kb ϕb -ca ϕ a I ϕ
2
=-kb 2ϕ-ca 2ϕ m l ϕ
+∴ϕ
2
kb m l
22
ϕ+
22
ca m l
22
=0ϕ
题1-9图
∴p n =p n =2n =
ca m l
kb m l 22
当n =p n 时ca
22
2m l
=
∴c c = p d ==
=
1-10如题1-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅? 最大振幅是多少?
解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为
2 +2n x +p n x x =0
题1-10图
x +所以有
c m
+x
k m
x =0
19602000
其特征方程为：r 2+所以：x =c 1e
-0.49t
r+
480202000
-0.49t
=0 r =-0.49±4.875i sin4.875t
cos4.875t+c 2e
由于n
6
n =
c 2m
=
19602⨯2000
=0. 49
，p n 2=
k m
=
480202000
=24. 01
0=0. 03 m/s。故通解为 ，x 0=0，x
x =e
-nt
(C 1cos p d t +C 2sin p d t )
其中，p d =
p n -n
22
=4. 875。
代入初始条件，得
0nx 0+x p d
0x p d
-0.49t
C 1=x 0=0, C 2=
-nt
=
=0. 006，得
x =C 2e sin p d t =0.006e
sin4.875t
=0.006e -0.49t (-0.49) sin4.875t+0.006⨯4.875cos4.875 x
物体达到最大振幅时，有
=-nC 2e -nt sin p d t +C 2e -nt p d cos p d t =0 x
既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为
x =0. 006e
-0. 49⨯0. 3
sin(4. 875⨯0. 3) =0. 528
cm
1-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为p d ，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为ωm ，求系统的无阻尼固有频率p n 、相对阻尼系数ζ及对数衰减率δ。
解：ωm =p n -2ζ
2
， p d =p n -n ， ζ=
22
n p n
；
三个方程联立，解得：
ζ=
p d -ωm
2
222
2p d -ωm
2
2
p n =2p d -ωm
δ=nT d =ζp n
2πp d
=
2πp d
p d -ωm
22
⎛ωm
=2π1- p
⎝d ⎫⎪ ⎪⎭
2
7