论数学教学中的基础与创新

论数学教学中的基础与创新

摘 要：数学教育改革中应当处理好一些基本关系。“四个基础”是构成数学学力的四个基本要素，与创新精神和实践能力是相辅相成的。在基础教育阶段，数学教育强调“四个基础”有着非常重要的意义，具有先进性。数学教学改革要反映数学学科的基本特点，在强调学生生活经验、直接体验的重要性的同时，应十分强调理性思维的关键作用。

关键词：四个基础；数学教育；创新精神

在数学教育改革的理论与实践中，应当认真处理好一些基本关系，如：数学基础知识的系统学习、基本技能的必要训练与创新精神、实践能力培养的关系；内涵于数学自身的数学运算技能、逻辑推理和空间想象等与用数学解决实际问题能力的关系；教师必要的启发、引导、讲授与学生自主学习、独立思考的关系；情感体验与认识过程的关系；学生的实践活动、直接经验与数学经验的间接性的关系；数学学习过程中的理性思维、逻辑思维与实验、试验、猜想、合情推理等非逻辑思维的关系等等。这些关系的妥善处理将对我国数学教育改革产生决定性影响。

面临数学教育中的各种问题，人们把目光投向改革是极其自然的。但在改革中有两种不同思路。一种认为旧的模式是阻碍发展的因素，必须立即抛弃，而且越快越好，越彻底越好，因此必须来一场革命。其结果会是什么呢？在尝试全面改变一切的过程中，数学教育工作者将会丧失自己的主导能力，使广大数学教育工作者长期努力所积累起来的经验系统、理论体系和思想根基遭到破坏，给已有体系中的一切（无论是成功的还是错误的）带来冲击，造成灾难性的后果。革命使人耳目一新，享受到“破坏一个旧世界，创造一个新世界”的“成功喜悦”，但是教育领域革命的后果只有一个──使教育丧失未来发展的基础。这种思路和做法将在实际上把改革引向歧途。另一种思路是继承传统但又不完全依赖于传统，通过一系列经过深思熟虑、科学论证、精心组织的阶段性变革来适应社会发展对教育提出的挑战，使教育走向继承与发展的良性循环。

一、从“双基”到“四个基础”的改革之路

有人认为，我国数学教育传统中，基础知识、基本技能（即“双基”）以及数学的运算能力、思维能力和空间想象力（即“三大能力”）强调过分了，应当淡化。显然，这种观点与当今社会对人的数学素养的高要求是背道而驰的，应当引起数学教育工作者的高度警觉。

事实上，中国数学教育改革走过了这样一条道路：从重视基础知识基本技能，到知识、技能与能力并重，再到基础知识、基本技能、基本能力和基本态度并重，形成数学教育“以学生的发展为本”的共识，强调最重要的数学基础知识技能的内化、智力因素与非智力因素和谐发展、学生身心的全面发展。在我国数学教育的理论与实践中，“双基”一直受到重视，而“三大能力”则是根据数学教育的实践经验及华罗庚、关肇直等专家的意见，在1963年的中学数学教学大纲中明确提出的。改革开放以来，根据时代发展对数学教育的新要求，1992年颁布的数学教学大纲提出“使学生切实掌握现代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，”“进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。培养学生的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点”。这一大纲对基础知识、基本技能、“三大能力”、个性品质以及辩证唯物主义教育的内涵作了明确、具体的界定，初步形成了基础知识、基本技能、基本能力和基本态度“四个基础”并重的数学教学目的观。

从“双基”到“四基”的发展轨迹，比较集中地体现了新中国成立以来我国数学教育改革的历程。期间经历过“大跃进”和“文革”两次重大挫折，特别是“文革”中，数学教材的系统性、逻辑性、严谨性被实用主义所代替，“双基”被严重削弱，导致学生的数学水平严重下降。改革开放后，在总结我国数学教学中正反两方面的经验教训、学习和借鉴国际先进数学教育理论的基础上，经过数学教育工作者20多年艰苦探索，形成了“四个基础”并重的数学教学目的观，并形成了以强调数学教育的社会功能和育人功能并重、基础性、发展性和创造性相结合、个性与共性相结合、认知与情感相结合、数学知识的习得与道德品质和世界观的形成相结合、数学知识的学习与应用、创新相结合等为特色的数学教育目标体系。

强调对基本概念、基本原理的深刻理解，强调经过适当训练使“双基”及“三大能力”得到落实，对学生的终身发展极其重要。数学教学最主要的是要把学生的基础打好，使学生通过自己的思维和有意义学习而学会严肃、本质的数学。越是科技突飞猛进、瞬息万变，越要重视基础，做到以不变应万变。坚实宽厚的基础知识是良好适应能力的根基，是在环境变化中迅速更新知识技能的保障。因为基础中体现的思想具有根本的重要性，从中学会的方法和思想迁移能力极强。当然，基础中还应包括积极学习的愿望和自主获取知识的能力。李大潜院士指出，数学素养不可能凭空出现，它是在数学知识的传授过程中逐步熏陶而来的。任何认为抓素质教育就可以离开或削弱数学知识传授的想法或做法都是错误的。在这方面历来容易发生两种偏向，一是从实用主义出发，在课程的设置及内容选取上，忘记了数学是一个有机整体，只想教给学生“有用”的东西，把数学知识体系搞得支离破碎，结果让学生学得似是而非，知其然不知其所以然，根本得不到严格的训练，这种现象在“文革”中曾达到登峰造极的地步，现在也不能说已经解决。以减轻学生负担为名，把“删繁（琐）就简（单）”篡改为“删（困）难就简（单）”，不负责任地把一些重要但比较难学的内容或课程，或只讲结论不加证明，或轻描淡写一笔带过，或干脆一刀砍去。数学教育改革要适应科技高速发展需要，体现现代化精神，但更要体现数学的特点和人的认识规律。

当今数学知识量大且增长迅速。量大就需选择，要选择那些最基本的、最重要的数学知识，并把它们内化为学生的心理能力，以形成学生的数学功底，这就是素质。人类社会经过几千年的探索，形成了相对稳定的数学基础知识结构体系，它对学生的发展是非常重要的。数学教育改革中坚持“四个基础”，是由学生的发展规律和数学学科性质决定的，是人类社会发展的历史选择，不是某些人的意志可以转移的。数学课程应根据时代发展和数学发展的要求不断改革，但课程改革必须与打好基础相结合，基础教育阶段更要强调打下坚实的基础，要防止一提改革就任意削弱基础的倾向。

笔者认为，坚定不移地坚持中国数学教育的特色，努力发挥中国数学教育在培养“双基”和“三大能力”等方面的优势意义重大。否则会动摇我国数学教育的根基，摧毁广大数学教师的基本信念，导致我国数学教学质量的大滑坡，使我们的下一代缺乏应有的数学基础，失去基本的逻辑判断能力，使义务教育阶段的数学教育目标难以落实，并还将危及我国的创新教育，使年轻一代缺乏高水平创新所需要的坚实基础，从而使高层次创新人才的培养也落空。当务之急是，在数学教材改革的同时，加强师资培训工作，变革教学思想，改革教学方法，转变学习方法，完善数学教学过程，在教师的引导下，使学生在完整的数学知识发生发展过程中探究和掌握数学知识，从而使“四个基础”得到真正落实。

二、学生的经验、身心发展水平与数学教学

当前的中小学数学课程改革中，有一种片面强调学生的“直接经验”、“生活体验”的倾向，这也应当引起我们的警觉。其实，以“经验”为中心来建构课程体系的观点古已有之。西方17—18世纪课程改革中就有注重凭借感性经验积累知识的“感性现实主义”课程观；19世纪末20世纪初，杜威的“经验主义”课程观更是将这种思想推向了极端。他认为，“儿童和课程仅仅是构成一个单一过程的两极”，儿童是起点，课程是终点。只要把教材引入儿童生活，让儿童直接去体验，就能把两点连接起来，使儿童从起

点走向终点。“学校科目相互联系的中心点，不是科学，不是文学，不是历史，不是地理，而是儿童本身的社会活动”。活动中所获得的“经验”既是日后新经验的基础，又是解决未来问题的方法。杜威主张课程体系的建构以“经验”为中心，强调通过儿童自己的活动获取“经验”。这种在活动中获得“经验”的教育，不是以学科知识本身为逻辑，而是符合儿童心理发展逻辑的。不能否认，这种课程理论有其积极意义，其立论中有非常合理的内涵。但是，儿童的成长并不完全建立在“经验”的基础上，就像不能让儿童用亲自吸毒的办法来认识毒品的危害一样。人的发展主要依赖于间接经验，对数学知识的理解更是主要依靠理性思维。因为，数学课程与“经验课程”有完全不同的性质，数学的研究对象本身就是抽象的，这种抽象性决定了数学内容与学生实际生活之间存在着内在的距离，原则上讲对数学概念的本质难以通过生活体验而获得理解，因此，学生的生活体验、直接经验就不能成为数学学习的主要基础。另外，数学知识的掌握需要教师的精心指导，当然，教师要讲究教学方法，发挥学生的主体性，使他们学会学习。既有最基本最重要的数学知识作为基础，又有科学的获取知识的方法作保障，学生才能有生动活泼、创造性地继续发展的源泉和动力。

教育要适应学生的现有发展水平但又要超越学生的现有发展水平，应积极地促进学生的发展。从人的智能发展规律看，小学低年级学生所掌握的概念大部分是具体的，可以直接感知的，要求他们说出概念的最主要的、本质的东西比较困难，但他们的思维中也有着抽象概括的成分；小学高年级学生逐渐学会运用抽象概念进行思维，学会分出概念中的本质与非本质特征、主要的和次要的属性，学会掌握初步的科学定义，学会独立进行逻辑论证，思维水平逐步从以具体形象思维为主过渡到以抽象逻辑思维为主。到中学阶段，学生的思维能力获得迅速发展，抽象逻辑思维处于优势地位，从初二开始，学生的抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中二年级初步完成。根据学生智能发展的上述特点，笔者认为，在小学低年级，由于儿童认知结构中抽象知识储备少、思维与眼前具体事物或其生动表象联系着，数学教学中强调生活经验、直接经验有其重要意义，但也应当有适当的概括活动；随着学生年龄的增长、抽象知识在认知结构中储备量的增加和抽象思维的发展，他们可以离开直接经验而有效地直接接受抽象的数学知识，这时就应及时提高数学教学的抽象水平，发挥间接经验的作用，以发展学生的抽象逻辑思维。如果仍然将教学停留在具体经验水平上，学生的数学认知结构发展就会受到阻碍。中小学生的学习不能采用学前儿童的学习方式。同时，数学课程作为学科课程，其主要目标是让学生在掌握系统的、今后发展所必需的基础知识和技能的基础上，培养数学基本能力，发展数学学习的基本态度，它的教与学，在任务性质、组织形式、学习方式等上面，都与经验课程（以学生的直接经验为基础的、没有固定教材和教学组织形式的、以学生亲身实践──所谓的“做中学”──为主要形式的综合性课程）有着很大的不同，如果将数学课程混同于经验课程，只能削弱它在学生发展中的地位和作用。

三、“四个基础”与创新精神和实践能力

“四个基础”与创新精神和实践能力是相辅相成的。数学中谈创新不能离开“四个基础”，无知者一定无能。重要的是要在数学教学中开启学生的心智，在教师的启发引导下，使学生通过自己的独立思维而建构对数学知识的理解，并通过实践训练特别是思维训练而转化为能力，在学习的过程中养成基本态度，发展创新精神。

白春礼院士说，人的知识基础、视野、推理能力、思维方法决定着他的创造力，这是科教兴国中教育所起的不容忽视、不可替代的作用。对科学和技术的基础知识、基本观点以及科学价值观所具有的基本了解，是科学素养的基本内涵。在培养人的过程中，我们决不能追求短期效应，而要着眼于人的可持续发展，注重人的最终发展水平。对基础教育的认识应当有长远的、战略的眼光，不能仅看眼前，而应“面向未来”。因此，数学教育中，应以基础知识、基本技能为载体，在使学生牢固掌握基础知识、基本技能，形成基本能力和基本态度的过程中，鼓励学生提出疑问，向书本挑战、向权威挑战，提倡在学习过程中的争论、质

疑、讨论，养成凡事问个为什么的习惯，敢于提出问题并勇于表示自己的见解，从而使学生的创新精神得到逐渐培养。在这个过程中，要使学生的数学学习动机、兴趣、情感、意志、毅力、自信心等非认知因素得到培养和发展，还要加强为社会主义建设、为科学献身的教育，努力追求真理，不追名逐利。基础教育是为人的终身发展打基础的时期，因此我们应当特别重视“基础”二字，不能急功近利，搞实用主义。要重视数学学习对人的心理发展的意义。数学同时也是一种精神追求，学习和研究数学同时也是一种纯粹的精神满足。这种学习的一个主要特点是心智的培育、智力的进取，要有在形成“数学地思维”的习惯的过程中去了解和锻炼自己智力的愿望。因此必须防止那种学了就要会用的做法。

那么，数学教学中如何才能使“四个基础”和创新精神、实践能力等得到真正落实呢？这里不妨先来考察一下“四个基础”的结构特性。

总的来说，它们是个体数学学力的四个有机组成部分，具有内在联系性，产生相互作用，但又有区别。数学知识（数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由内容反应出来的数学思想和方法）是一种语言信息，是客观事物的数形特征及其联系在人脑中的反映，是由数学认知活动而建立起来的认知经验。这种经验反作用于数学活动，可以起确定数学活动的目标和方向、辨认数学活动的性质（如将进行的数学活动是计算还是证明，是否需要进行讨论，是由一般到特殊还是由特殊到一般等等）、选择数学活动程序的作用，其理由是活动目标的确定依赖于对当前数学情景的辨认和分析，依赖于对各种变化的可能性的预测和判断，这些都是以相关的数学知识为依据的；辨认数学活动的性质、确定数学活动的程序则依赖于对数学情景中材料属性的认识，依赖于对数学材料的相互作用方式的把握，这同样需要以相关知识为依据。数学技能则是一种数学活动方式，是主体对数学材料作用以后产生的主体动作（主要是心智动作）经验，它对数学活动起着直接的调节与指导作用，是数学活动正确而顺利地进行的保证。数学技能在学生的数学活动中的自我调节功能，主要体现在活动的控制执行环节。由知识的作用而确定的数学活动程序，是在活动的控制执行环节中得以实现的。要使活动朝着预定方向前进，按照预定程序执行，达到预定目标，必须要有对活动的调节控制，即在学生头脑中应该建立起前后动作相继发生的动作经验链索。而数学技能就其存在形式来说就是一种链索型的动作经验。另外，对数学材料的处理方式和变换方式的有效性需要有相当的动作经验作保证，这也是数学技能对数学活动的调节控制作用的体现。数学能力是一种个性心理特征，它对数学活动的进程和方式起着直接的、稳定的调控作用。数学能力是在数学活动中获得的，是在掌握和运用数学知识、数学技能的过程中形成的，因此，数学能力原则上属于数学活动经验范畴。当然，它必须是系统化、概括化了的那些个体经验，是一种网络型的经验结构。数学的基本态度，作为数学学习的一种心理和神经中枢的准备状态，是长期数学活动经验的结晶，对个体的数学活动产生直接的或动力的影响，其中包括兴趣、动机、性格等。兴趣，在深度、广度及稳定性上都随着数学学习的深入而不断发展，这种发展一般要经历对数学的新事实或有趣现象的直接兴趣、对数学概念或原理的本质属性的兴趣到对数学理论（各种数学事物的因果关系、数学的基本规律等）的兴趣等几种水平；动机，特别是与数学学习直接相关的成就动机，是追求数学能力和期望数学学习取得成功的一种需要，是以取得数学成就为目标的数学学习的内驱力。数学学习的动机与数学能力的发展密切相关，较高的数学能力可使学生以科学的方法高质量高效率地完成学习任务，从而促进积极的、高水平的数学学习动机的形成，反之，积极的数学学习动机也促进了数学能力的高水平发展；性格，作为个性的核心，是人对客观现实的稳定的态度以及与之相适应的习惯化行为方式，良好的性格特征表现为正直诚实、实事求是、尊重理性、追求真理、坚定自信、刻苦勤奋、责任心强、勇于创新、百折不挠、持之以恒、严谨细致、独立思考等等，性格的养成与学生数学水平的发展密切相关。

由上所述可知，“四个基础”是紧密联系的有机整体。数学基础知识基本技能的掌握和累积是形成数学基本能力基本态度的前提，能力和态度又反作用于知识和技能的掌握，制约着知识掌握和技能形成的速度、深度、难易程度和巩固程度。因此，数学知识的习得、数学技能的形成和数学基本能力、基本态度的

培养同时存在于数学学习活动中，相互联系、相互制约，统一在同一个数学活动过程中，它们之间有同一性、同步性，从根本上说必须协调发展。“四个基础”是数学学力的基本构成要素。我们可以借用钟启泉先生提出的学生学力的“冰山模型”来对“四个基础”之间的关系进行解释。冰山有浮在海面上的“冰山一角”和隐藏在海面以下的“冰山基座”，浮在水面上的看得见摸得着的部分就是数学的基础知识、基本技能；隐藏于水面下的看不见的部分则是基本能力和基本态度，它是支撑着浮出水面部分的基础。正如冰山由显出水面和隐于水面两部分组成一样，数学学力也可以分为显性学力和隐性学力两部分。显然，显性学力是由隐性学力支撑的，隐性学力是显性学力发展的动力；而显性学力的获得和不断加强，又使得隐性学力更加巩固，并得到不断升华。数学学力是在数学学习过程中，通过掌握基础知识和基本技能而形成显性部分，同时，在教师的启发引导下，通过对数学知识中蕴含的观念、思想和方法的领悟，获得数学学习方法、科学研究方法、探究能力以及数学观念态度等作为数学学习潜力的隐性学力。这里特别要指出的是，隐性学力的形成，有一个从模仿到认同再到内化的过程，这个过程是长期的、内隐的、潜移默化的。隐性学力的获得，教师有意识的指导是关键。过去的数学教学比较多地关注了学力的显性部分，而对隐性部分有些忽视，“四个基础”协调发展的数学学力观则追求显性学力与隐性学力的和谐统一，是一种发展性学力观。

有效的数学活动是落实“四个基础”以及培养学生的创新精神和实践能力的根本保证。数学活动的本质是学生的数学思维活动，数学思维是对人类思维实践的理性总结，也是对思维过程的形式概括，包括概念与判断、辨别与比较、分析与综合、归纳与演绎等，它们既是数学思维活动的一般规律，又是获得新的数学知识的有效手段。教学中让学生开展数学思维活动的主要目的是对学生进行思维训练，在思维训练过程中使学生掌握知识、形成技能、培养能力（包括数学应用能力）、发展智力，并培养学生的科学态度、形成正确的世界观。因此，数学教学中，学生的任何发展最终都要落实在对学生的思维训练上。那么，数学思维训练的实质到底是什么呢？笔者认为，数学思维训练的实质是数学思维过程的训练：以数学思想方法为载体，以数学思维技能、技巧和数学思维策略为手段，达到训练数学思维过程这一目的。从现代认知心理学对知识的分类来看，数学思想方法是一种程序性知识，因此，数学教学中强调基础知识（特别是数学思想方法）和基本技能（特别是数学思维技能技巧）是非常重要的，它是数学教学中培养能力、发展智力的落脚点。这里我们要特别强调对逻辑思维的训练。逻辑思维是主要的数学思维形式，是高效率的思维，它在数学中是必不可少的工具，有意识地使用逻辑思维，数学思维活动将更加富有成效。所以，数学教学中进行切实有效的逻辑思维训练，既是数学学科本身的内在要求，也是提高学生数学思维水平的最有效的手段。另外，在数学思维过程中，观察、分析、比较、类比、归纳、综合、抽象、概括等时刻都在发挥着作用，这些正是数学教学培养学生创造性思维的最好素材，因此，创新意识和实践能力的培养完全可以融合于数学基础知识和基本技能的教学、数学思维训练的过程之中。当然，数学基础知识基本技能的教学应当有高观点，也即要以培养数学能力、养成数学基本态度、发展创新精神和实践能力为目标取向。

中国数学教育需要改革，这是共识。但改革必须从中国的实际出发，坚持中国特色。只有从我国的社会现实出发，坚持继承与发展相结合的改革方针，才能使我国数学教育改革事业走向成功。