概率论基础题
概率论基础习题
1. 考虑一个掷钱币事件,出现正面的概率为p,反面为q1p。
求解在N次独立实验中正面正好出现i次的概率。 求解i的均值和方差。
iiNi
PCP(1P)解: (1)i N
(2)E(i)
Σi *Pi=Σi * CNP(1P)
iiNi
(0iN)
D(i)E()- [E( i)]^2
2. 均值和方差分别为和2的高斯(也叫正态)概率密度函数是
p(x)
12
(x)2
exp
2,x
求解高斯变量的m次中心矩。 解:由中心距公式知:
um(xu)mp(x)dx
1
2
xu
m
(xu)2
)dx 2
2
3. 假设Y为正态随机变量,其均值和方差分别为和2。如果YlnX,而且Y
是高斯变量,则称随机变量X按对数正态分布。 求解对数正态分布的均值和方差。 求解对数正态分布的一阶矩和二阶矩。 解:(1)对数正态分布的概率密度函数为: ƒ(x)=
E(x)
f[(lnx
)]*(lnx)'
exp(-)
D(x)
(2) 对数正态分布的一阶距、二阶距为: 一阶中心距:
一阶原点距:二阶中心距:
二阶原点距:
exp(-exp(-exp(-exp(-)dx )dx )dxexp(-)dx exp(-)dx
)dx
4. 导出两连续变量之积如ZXY(x,y0)的密度函数表达式。 (1)、当X、Y 相互独立时 : f(Z) = f(X)*f(Y)
(2)、当X、Y 不独立时,由于y>0 : F(Z)=P{Zz}=
XYZ
f(x,y)dxdy=[
zy
f(x,y)dx]dy
令x
u1
,则 dxdu,带入上式,得 yy
z
zu1u1
f(,y)du]dy=[f(,y)dy]du
0yyyy
F(Z)=[
所以 f(z)=[F(z)]'=
z1f(,y)dy yy
同理 f(z)=
1z
f(x,|x|x)dx
5. 对于连续随机变量W、X和Y,证明
pw|x
px|wpw
px|wpwdw
,这是以概率密度函数表示的贝叶斯定理
pw|x,ypx|ypw,x|y (1)、 由于W、X、Y是随机变量,则
p(w|x)
p(x|w)p(w)
,p(x)p(x|w)p(w)dw
p(x)
所以,p(w|x)(2)、
p(x|w)p(w)
p(x|w)p(w)dw
6、蒲丰试验(Buffon Experiment):法国科学家蒲丰曾做过如下的试验,在平面上画一相隔距离为的平行线,向此平面随意地投一根长度为ll的针,求此针与任一平行线相交的概率 解 :
以X 表示针投到平面上时针的中点M到最近一条平行直线的距离,γ表示针与该平行线的夹角,那么针落在平面的位置可由(X,)确定 ,如图
a
投针实验的所有结果为矩形区域 S{(x,)0x,0π}中的所有点
2
对应,由投掷的任意性可知这是一个几何概型问题,所关心的问题A={针与某
b
一平行直线相交发生的充分必要为S中的点满足0xsin,0π.
2
μ(G)G的面积
P(A)
μ(S)S的面积
π
l
sindl2l.π ππ22
7、贝特朗奇论(Bertrand paradox)在半径为1的圆内随机地取一条弦,问其长超过圆内接等边三角形边长的概率为多少?这个问题有许多不同的解,至少求出其中的两个解。
解:(1)
由于弦交圆于两点。我们先固定弦的一个端点。以此端点做一个等边三角形(如图)。显然,只有穿过此三角形内的弦才符合
要求。而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。并且,不论固定的那个端点在圆上的哪个位置,情况都是一样的。所 以结果为1/3。
(2)、
由于弦长只和圆心到它的距离有关。所以固定圆内一条半径。当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。并且,不论固定 的是哪条半径,情况都是一样的。所以结果为1/2
(3)、
弦被其中点唯一确定。当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。此小圆面积为大圆的1/4。所以结果为1/4。