绝对值函数系列习题(二次函数)
含有绝对值符号的函数的性质
x 2+2
1、已知不等式a ≤对x 取一切负数恒成立,则a 的取值范围是_______.
|x |
2、若关于x 的不等式x 2
+b x 折线(两侧的射线均平行于x 轴), 试写出a 、b 应满足的条件 .
7、已知函数f (x )=log 2x ,正实数m , n 满足m
2
m 且f (m )=f (n ),若f (x )在区间⎡⎣, n ⎤⎦上的最大值为
则m =________,n =_________.
8、设a , b ∈R , 且b ≠1. 若函数y =a x -+b 的图象与直线y =x 恒有公共点,则a , b 应满足的条件是_______.
9、关于x 的方程x +a x +a -9=0(a ∈R )有唯一的实数根,则a =_______.
2
2
10、若函数f (x ) =2|x -3|-log a x +1无零点,则a 的取值范围为_______.
11、定义在R 上的函数f (x ) 的图像过点M (-6,2) 和N (2,-6) ,且对任意正实数k ,有
f (x +k )
为_______.
12、已知函数f (x ) =⎨
13、设关于x 的不等式|x -4x +m |≤x +4的解集为A ,且0∈A , 2∉A ,则实数m 的取
2
⎧x +1+a (x ≤0) ⎩log 2x (x >0)
有三个不同零点,则实数a 的取值范围为_______.
值范围是_______.
y 2x |x |-=1的公共点的个数是_______. 14、直线y =x +1与曲线94
15、我们把形如y =
b
(a >0, b >0)的函数因其图像类似于汉字“囧”字,故生动地称x -a
为“囧函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当a =1,b =1时,所有的“囧圆”中,面积的最小值为____________
2
⎧⎪|x +2x -1|(x ≤0)
16、函数f (x ) =⎨x -1有两个不同的零点,实数a 的取值范围为_______.
⎪⎩2+a (x >0)
17、已知f (x ) 是定义在[-4, 4]上的奇函数,g (x ) =f (x -2) +
1
. 当x ∈[-2,0) 3
(0,2]时,
g (x ) =
1
, g (0) =0,则方程g (x ) =log 1(x +1) 的解的个数为____________. |x |
2-12
18、“a =2”是“函数f (x )=x -a 在[2, +∞)上是增函数”的_______.
(A )充分非必要条件. (B )必要非充分条件. (C )充要条件. (D )即非充分也非必要条件.
19、设函数y =f (x ) 的R 内有定义,对于给的正数k ,定义函数f k (x ) =⎨
取函数f (x ) =log 2|x |,当k =
20、若函数y =
⎧f (x )
⎩k
f (x ) ≤k f (x ) >k
1
时,函数f k (x ) 的单调递增区间为_______. 2
4
和y =|x -a |的图像有三个不同的公共点,则实数a 的取值范围是_______. x
21、定义运算:x *y =⎨
⎧x x >y
,若m +*m =m +,则实数m 的取值范围是_______.
⎩y x ≤y
⎧1
(x ≠1) ⎪
22、已知函数f (x ) =⎨|x -1|,若关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有且仅有
⎪1 (x =1) ⎩
3个实数根x 1、x 2、x 3,则x 1+x 2+x 3=_______.
2
2
2
⎧m (1-|x |),x ∈(-1,1]
,上的解析式为f (x ) =⎨23、已知以T =4为周期的函数f (x ) 在(-13], 2
1-(x -2) , x ∈(1,3]⎩
其中m >0, 若方程3f (x ) =x 恰有5个实数解, 则m 的取值范围为_______.
24、在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点. 定义P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2) 两点之间的“直角距离”为d (P , Q ) =x 1-x 2+y 1-y 2. 已知B (1,0),点M 为直线x -y +2=0上的动点,则d (B , M ) 的最小值为_______.
25、已知函数f (x ) =x x +px +q (x ∈R ) ,给出下列四个命题:①f (x ) 为奇函数的充要条件是q =0;②f (x ) 的图象关于点(0, q ) 对称;③当p =0时,方程f (x ) =0的解集一定非空;④方程f (x ) =0的解的个数一定不超过两个. 其中所有正确命题的序号是_______.
26、函数f (x ) =x sin x +m +n 为奇函数的充要条件是_______. A 、m 2+n 2=0
27、函数f (x ) =x x +bx +c , 给出四个命题:
(1)c =0时,y =f (x ) 是奇函数; (2)y =f (x ) 的图象关于点(0, c ) 中心对称;
(3)方程f (x ) =0至多有两个实根; (4)b =0, c >0方程f (x ) =0只有一个实数根. 上述命题中所有正确的命题的序号是_______.
28、设函数y =f (x ) 由方程x |x |+y |y |=1确定,下列结论正确的是_______.(请将你认为
正确的序号都填上)
(1)f (x ) 是R 上的单调递减函数;
(2)对于任意x ∈R ,f (x ) +x >0恒成立; (3)对于任意a ∈R ,关于x 的方程f (x ) =a 都有解; (4)f (x ) 存在反函数f
-1
B 、mn =0 C 、m +n =0 D 、m -n =0
(x ) ,且对于任意x ∈R ,总有f (x ) =f -1(x ) 成立.
2
29、已知:y =f (x )是最小正周期为2的函数,当x ∈[-1, 1]时,f (x )=x ,则函数y =f (x )
(x ∈R )图像与y =log 5x
图像的交点的个数是_______个.
30、在平面直角坐标系中,设点P (x , y ) ,定义[OP ]=|x |+|y |,其中O 为坐标原点.
对于以下结论:①符合[OP ]=1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2;
②设P 为直线x +2y -2=0上任意一点,则[OP ]的最小值为1;
③设P 为直线y =kx +b (k , b ∈R ) 上的任意一点,则“使[OP ]最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k =±1”;
其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)
31、若方程lg x +x -5=0在区间(k , k +1)(k ∈Z )上有零点,则所有满足条件的k 的值的和为______________.
a x
32、设[x ]表示不超过实数x 的最大整数,如[a >0 [-1. 5]=-2. 若f (x )=1. 5]=1,x
1+a
且a ≠1),则g (x ) =⎢f (x )-⎥+⎢f (-x )-⎥的值域为_______.
22
⎡
⎣1⎤⎡⎦⎣
1⎤⎦
33、符号[x ]表示不超过x 的最大整数,如[2.3]=2,[-1. 3]=-2, 定义函数{x }=x +[x ],
那么下列命题中所有正确命题的序号为_______.
①函数{x }的定义域是R ;②函数{x }的值域为R ; ③方程{x }=
3
有唯一解;④函数{x }是周期函数;⑤函数{x }是增函数. 2
34、已知函数f (x ) =x |x -1|-1.
(1)求满足f (x ) =x 的x 值; (2)写出函数f (x ) 的单调递增区间; (3)解不等式f (x )
35、[x ]表示不超过实数x 的最大整数. 设实数x 不是整数,且x +则x 的值为_______.
36、对于任意实数x ,符号[x ]表示x 的整数部分,即[x ]是不超过x 的最大整数”. 在实数轴
R (箭头向右)上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点,当x 是整数时[x ]就是x . 这个函数[x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用. 那么
9999=[x ]+,
x x
[l o 2g 1]+[l o 2g 2]+[l o 2g 3]+[l o 2g 4]+ +[l o 2g 102]4=_______.
37、给出定义:若m -
11
记作{x},即{x }=m . 给出下列关于函数f (x ) =|x -{x }|的四个命题:
①函数y =f (x ) 的定义域是R ,值域是[0,] ②函数y =f (x ) 的图像关于直线x =
1
2
k
(k ∈Z ) 对称; 2
③函数y =f (x ) 是周期函数,最小正周期是1; ④函数y =f (x ) 在[, ]上是增函数;
1122
则其中真命题的序号是 .
38、已知函数f (x )=(|x |-b ) 2+c ,函数g (x ) =x +m ,
(1)当b =2, m =-4时,f (x ) ≥g (x ) 恒成立,求实数c 的取值范围;
(2)当c =-3, m =-2时,方程f (x ) =g (x ) 有四个不同的解,求实数b 的取值范围.
39、设全集U =R ,关于x 的不等式x +2+a -2>0(a ∈R )的解集为A . (1)分别求出当a =1和a =3时的集合A ; (2
)设集合B =⎨⎧⎩ππ⎫
πx -) +cos(πx -) =0⎬,若(C U A ) B 中有且只有三
66⎭
个元素,求实数a 的取值范围.
40、已知函数f (x ) =x ⋅(a -x ) , a ∈R .
(1)当a =4时,画出函数f (x ) 的大致图像,并写出其单调递增区间; (2)若函数f (x ) 在x ∈[0, 2]上是单调递减函数,求实数a 的取值范围; (3)若不等式x ⋅(a -x ) ≤6对x ∈[0, 2]恒成立,求实数a 的取值范围.
41、已知函数f (x ) =x |x -a |-a ,x ∈R . (1)当a =1时,求满足f (x ) =x 的x 值; (2)当a >0时,写出函数f (x ) 的单调递增区间;
(3)当a >0时,解关于x 的不等式f (x )
42、若实数、(1)若
、
满足
,则称比
接近
.
比3接近0,求的取值范围;
,证明:
比
接近
;
(2)对任意两个不相等的正数、
43、已知函数f 1(x ) =e |x -2a +1|, f 2(x ) =e |x -a |+1, x ∈R .
⑴ 若a =2,求f (x ) =f 1(x ) +f 2(x ) 在x ∈[2,3]上的最小值;
⑵ 若f 1(x ) -f 2(x ) =f 2(x ) -f 1(x ) 对于任意的实数x ∈R 恒成立,求a 的取值范围; ⑶ 当1≤a ≤6时,求函数g (x ) =最小值.
44、已知函数
.
f 1(x ) +f 2(x ) |f 1(x ) -f 2(x ) |
-在x ∈[1,6]上的
22
(1)若(2)若
,求的值;
对于
恒成立,求实数
的取值范围.
45、对于定义在区间D 上的函数f (x ) ,若存在闭区间[a , b ]⊆D 和常数c ,使得对任意的
x 1∈[a , b ],都有f (x 1) =c ,且对任意的x 2∈D ,当x 2∉[a , b ]时,f (x 2) >c 恒成立,
则称函数f (x ) 为区间D 上的“平底型”函数.
(1)判断函数f 1(x ) =|x -1|+|x -2|和f 2(x ) =x +|x -2|是否为R 上的“平底型”函数?并说明理由;
(2)设f (x ) 是(1)中的“平底型”函数,k 为非零常数. 若不等式
|t -k |+|t +k |≥|k |⋅f (x ) 对一切t ∈R 恒成立,求实数x 的取值范围;
(3)
若函数g (x ) =mx 是区间[-2, +∞) 上的“平底型”函数,求实数m
和n 的值.
46、已知函数f (x ) =
(1)求实数m 的值;
2|x +m -1|
,m >0且满足f (2) =-2.
x -4
(2)判断函数y =f (x ) 在区间(-∞, m -1]上的单调性,并用单调性的定义证明; (3)若关于x 的方程f (x ) =kx 有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围.