勾股定理的这些美妙的证法你知道吗?
本文来源：《数学不了情》
作者：谈祥柏
如果直角三角形的直角边长为a和b，斜边长为c，那么，a2+b2=c2。公元前6世纪，古希腊杰出的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）首先从理论上证明了这个定理后，欣喜若狂，宰了100只牛来表示庆祝，因此这个定理又被人叫做“百牛定理”。不过，有些历史学家不以为然，认为不过是用面粉做了100头牛作为贡品来酬谢神明而已。
在我国，有一部流传下来的、最早的数学与天文著作。名叫《周髀算经》，成书于公元前100年左右，即西汉时期。书中有一段记载商高（生活在公元前11世纪的人）回答周公的话“勾广三，股修四，经隅五”，其意思是，如果直角三角形两条直角边长为3和4，则斜边长必定是5。书中还有一段陈子（公元前6世纪，周朝中期时人）答荣方问，他说：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。这就说得更清楚了，如果用现代记法，便是
的意思。我们知道，在古汉语中，“邪”与“斜”是通假字。陈子的话，已十分明确地表达了现代勾股定理的内容。
我国古代几何学不但有悠久历史和丰富内容，而且具有自己独特的风格，我国古代几何学的特色之一是从实践中总结提高所形成的“出入相补”原理。一个平面图形从一处移置他处，面积不变；把图形分割成几块，则各部分面积之和等于原来图形的面积。
三国时期魏人刘徽（公元3世纪）在注《九章算术》勾股术时说：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”。其意思就是将“出”的割下，补到“入的地方”，其余部分保留不动（图1颜色区域）。我国著名数学家华罗庚先生曾建议把“青朱出入图”带上宇宙飞船，让外星人知道我们还能证明勾股弦定理，这是一个非常聪明的想法。
图1 青朱出入图
赵爽的“弦图”，证法也极简单。如图2所示，以弦c为一边的正方形，含有4个以a和b为直角边的直角三角形与一个以b-a为边长的小正方形，于是有
图2 赵爽的“弦图”
勾股定理的证明引起了古今中外许多人的兴趣，寻找新的证明方法从来没有间断过。真是百花齐放，推陈出新，人人都想插上一手。有人声称，3000年来，已经找到了400多种不同证法，但这仅仅是极不完全的统计，无人知道确切数字。这些证明者中间，上至达官贵人，下及贩夫走卒，包括各个阶层的人物。在中国古代的“畴人”（数学家的别称，有一本名著叫《畴人传》）中，知名者就有梅文鼎、项名达、杨作枚、李锐、陈杰、安清翘、何梦瑶，华蘅芳等，大家都不甘示弱，各有各的证法。日本的和算圣人关孝和（1642~1708）在其专著《解见题之法》（1682年出版）中有图证，据近人李潢考据，其方法与“青朱出入图”大同小异。
号称趣味数学三大名家之一的英国人亨利?杜登尼（H.E.Dudeney,1857~1930）于1917年发表了一个勾股定理的“风车证法”，只要在“股”上的正方形剪两刀即可证出，可以看出，两线的交点在正方形的中心，分别与“弦”平行或垂直，所得出的4个图形完全一模一样，非常美丽，而且对称（图3）。
图3 风车证法
说起对称，不能不提一提文艺复兴时期的意大利大画家达芬奇（Leonardo da Vinci 1452-1519），他在欧几里得《几何原本》的插图上，下各添加一个直角三角形（图4），就不难看出六边形ABHKJG与六边形ACBDEF是纵横合同的，前者轴对称（对称轴为GH），而后者中心对称（对称中心是弦上正方形的中心）。
图4 画家的巧妙证法
只要把两个六边形分别减去三角形ABC面积的两倍，就能立即看出，两条直角边上小正方形面积之和等于斜边上的大正方形面积。
旋转变换与两种对称性的巧妙结合，充分显示了达芬奇这位大画家的数学直觉与对称美感，令人由衷叹服大师的超人想像力——别人无论如何也不会想到六边形啊！
美利坚合众国第20任总统加菲尔德（J.A. Garfied）对此定理也深感兴趣，他在担任众议院议员时，曾在《新英格兰数学学报》上发表过一个极简单的证法，见图5。
图5 一位美国总统的证法
由图立即看出AB平行CD，于是ABCD为梯形。从而根据梯形面积公式得出
整理简化后即得出 a2+b2=c2。
本文已经写下不短，下面再来说几个作图非常容易的证法。
图6 面积证法
显然极易证明△ADC与△CDB都同原来的直角三角形△ABC相似（图6），于是根据有名的几何定理：
“相似三角形面积之比等于对应边的平方之比”，
设△ADC,△CBD,△ABC的面积分别为S?，S?，S?，则
由于
所以 a2+b2=c2，证明完毕。
在平面几何这出大戏中，圆历来都是当主角的，它当然不甘寂寞，也要来表演一番。
由相交弦定理（图7），得
图7 相交弦定理
由于CB=CE，故有
所以
由于△ABC是直角三角形，当然存在着外接圆，现在把他作出来，见图8，AB为直径。
图8 利用托勒密定理的证法
显然，BD=AC，AD=BC,CD=AB。
托勒密（ptolemy）定理告诉我们
把等量代人，立即得出
另外，平面三角形中最重要的恒等式
其实也不过是勾股定理的乔装改扮而已！
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