数列特征方程的来源与应用

关于一阶线性递推数列：a 1=b , a n +1=ca n +d (c ≠1), 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：

设a n +1+t =c (a n +t ), 则a n +1=ca n +(c -1) t ， 令(c -1) t =d ，即t =

d

，当c ≠1时可得 c -1

d d

a n +1+=c (a n +)

c -1c -1

⎩

知数列⎧⎨a n +

d d d ⎫

是以为公比的等比数列，∴a +=(a +) c n -1 c ⎬n 1

c -1c -1c -1⎭

bc n +(d -b )c n -1-d

将a 1=b 代入并整理，得a n =

c -1

对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：

设递推公式为a n +1=pa n +qa n -1, 其特征方程为x =px +q 即x -px -q =0， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则a n =c 1A +c 2B 2、 若方程有两等根A =B , 则a n =(c 1+nc 2) A

其中c 1、c 2可由初始条件确定。

很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。 设a n +1-ta n =s (a n -ta n -1) ，则a n +1=(s +t ) a n -sta n -1, 令⎨（1） 若方程组（*）有两组不同的解(s 1, t 1), (s 2, t 2) , 则a n +1-t 1a n =s 1(a n -t 1a n -1) , a n +1-t 2a n =s 2(a n -t 2a n -1) , 由等比数列性质可得a n +1-t 1a n =(a 2-t 1a 1) s 1

n -1

n n

n

22

⎧s +t =p

（*）

⎩st =-q

, a n +1-t 2a n =(a 2-t 21a 1) s 2

n -1

,

t 1≠t 2, 由上两式消去a n +1可得a n =

(a 2-t 1a 1)n a 2-t 2a 1n

. s 1-. s 2.

s 1t 2-t 1s 2t 2-t 1特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根r (cos θ±i sin θ), 通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为a n =r (c 1cos n θ+c 2sin n θ), 其中c 1、c 2可由初始条件求出。

n

（2） 若方程组（*）有两组相等的解⎨

2

⎧s 1=s 2

，易证此时s 1=t 1，则

⎩t 1=t 2

n -1

a n +1-t 1a n =s 1(a n -t 1a n -1)=s 1(a n -1-t 1a n -2) = =s 1(a 2-t 1a 1)，

∴

a n +1s 1

n +1

-

a n s 1

n

=

a 2-t 1a 1

s 1

2

⎧a n ⎫

, 即⎨n ⎬是等差数列， ⎩s 1⎭

由等差数列性质可知

a n s 1

n

=

a 1a -t a +(n -1). 2211， s 1s 1

⎡⎛⎤⎫

所以a n =⎢ a 1-a 2-t 1a 1⎪+a 2-t 1a 1. n ⎥s 1n ．

22 s ⎪s s 1⎢⎥11⎝⎭⎣⎦

这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去t （或s ）即得s -ps -q =0或t -pt -q =0, 此方程的两根即为特征方程x =px +q 的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。

例1、 斐波那契数列a 1=a 2=1, a n +1=a n +a n -1(n =2, 3, ) ，求通项公式a n 。 解 此数列对应特征方程为x =x +1即x -x -1=0，解得x =

2

2

2

2

2

1±， 2

设此数列的通项公式为a n =c 1(由初始条件a 1=a 2=1可知，

1+n 1-5n

) +c 2() ， 22

1⎧⎧1+51-5c =c +c 2=1⎪⎪⎪1⎪15， 2，解之得⎨⎨1

⎪c (1+) 2+c (1-5) 2=1⎪c 2=-12⎪⎪5⎩22⎩5所以a n =

5

⎡1+5n 1-5n ⎤

）-() ⎥。 ⎢(22⎣⎦

例2、 已知数列a 1=1, a 2=5, 且a n +1=4a n -4a n -1(n ≥2) ，求通项公式a n 。 解 此数列对应特征方程为x =4x -4即x -4x +4=0，解得x 1=x 2=2， 设此数列的通项公式为a n =(c 1+nc 2) ⋅2，

n

22

1⎧c =-1⎪⎧(c 1+c 2) ⋅2=14， 由初始条件a 1=1, a 2=5, 可知，⎨，解之得⎨

3⎩(c 1+2c 2) ⋅4=5⎪c 2=4⎩

所以a n =(3n -1) ⋅2

n -2

。

例3 已知数列a 1=0, a 2=1, 且a n +1=2a n +2a n -1(n ≥2) ，求通项公式a n 。 解 此数列对应特征方程为x =2x +2即x -2x +2=0，

2

2

±sin ) ，

44

n πn πn

设此数列的通项公式为a n =(2) (c 1cos +c 2sin ) ，

44

由初始条件a 1=0, a 2=1, 可知，

解得x =1±i =

2(c 1cos

ππ

ππ1⎧⎧

2(c cos +c sin ) =0c =-12⎪⎪1

442， ，解之得⎨⎨2π2π1

⎪(2) 2(c 1cos ⎪c 2=+c 2sin ) =1

442⎩⎩

(2) n n πn π(sin-cos ) 。 所以a n =244

最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比

（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。 例4、设数列{a n }满足a 1=2, a n +1= 解： 对等式两端同加参数t 得

5a n +4

, 求a n

2a n +7

7t +4

(2t +5)a n +7t +45a +4, 令t =7t +4, 解之可得a n +1+t =n +t ==(2t +5)⋅

2a n +72a n +72a n +72t +5

a n +

t =-1，2，代入a n +1+t =(2t +5) ⋅

a n +t

，

2a n +7

得a n +1-1=3⋅

a n -1a +2a -11a n -1

, a n +1+2=9⋅n , 相除得n +1=⋅,

2a n +72a n +7a n +2+23a n +2

即⎨

⎧a n -1⎫a 1-111是首项为=, 公比为的等比数列， ⎬

a 1+243⎩a n +2⎭

a n -111-n 4⋅3n -1+2

=⋅3, 解得a n =。 n -1

a n +244⋅3-1