人造卫星轨道要素的计算
第18卷 第2期
1999年 6月
吉 林 地 质 Vol118,No12
Jun1, 1999JILINGEOLOGY
文章编号:1001O2427(1999)02O0066O07
人造卫星轨道要素的计算
王 侠,于相慧,赵明晶,王宸生
业部长春试验机研究所,吉林长春130021)
摘要:本文阐述了人造卫星的轨道计算方法。内容包括轨道的形成、分类与要素以及椭圆轨道与圆轨道的设计计算方法。
关 键 词:真近点角;偏近点角;平近点角;升交点;近地点中图分类号:P17311 文献标识码:A
1
1
1
2
(11长春大学机械工程学院,吉林长春130012;21机械工
1 引 言
轨道要素是卫星的重要指标之一,必须给予恰当选择和精确计算,以便保证卫星准确入轨实现其职能。为此,本文对轨道的形成进行了分析,按入轨速度划分了轨道类型,列出了轨道方程和运行速度公式,并阐述了椭圆轨道和圆轨道的设计计算方法。
2 符号与定义
a 椭圆轨道半长径;双曲线轨道半主径。
Eef
GHhiMmmsnP
偏近点角,即以椭圆中心为顶点,由近地点起算的随真近点角增大而增大的中心角。离心率。
真近点角,即由近地点起算的向径转角。
万有引力常数,G=6167@10-20km3/kg#s2。卫星地面发射高度。
卫星沿椭圆轨道运行时,向径扫过面积速度的2倍。
轨道倾角。
平近点角,即由近地点起算的随时间变化而均匀增大的向径转角。地球质量,m=51976@1024kg。卫星质量,与地球质量m相比,可忽略。卫星沿椭圆轨道运行时,向径的平均角速度。圆锥曲线参变量;抛物线轨道半通径。
收稿日期:1998O08O04;修订日期:1999O03O18
作者简介:王 侠(1960-),男,吉林长春人,长春大学机械工程学院讲师.
第2期
王 侠等:人造卫星轨道要素的计算 67
QRr
riTttitpvvivevcvpvhwAKLU8X
轨道面同入轨点子午面的交角;轨道面同卫星所通过的子午面的交角。地球平均半径,R=6367km。卫星沿轨道运行的向径变量。卫星入轨点向径。
卫星运行周期。
时间变量;某一时刻;给定时刻。卫星入轨时刻,也称发射窗口。卫星通过近地点时刻。卫星沿轨道运行的速度变量。卫星入轨速度,即地面发射的末速度。卫星沿椭圆轨道运行的速度变量。卫星沿圆轨道运行的速度。
卫星沿抛物线轨道运行的速度变量,也称逃逸速度。卫星沿双曲线轨道运行的速度变量。近点角距,即升交点至近地点角距。
卫星入轨方向,即入轨点的速度方向与向径的交角。卫星入轨点的经度;卫星通过点的经度。开普勒常数,L=398603km3/s2。卫星入轨点的纬度;卫星通过点的纬度。升交点的经度。
卫星沿轨道运行的角速度变量。
3 轨道分类
在万有引力作用下,把地球与人造卫星简化为两个质点并作为无摄动的二体问题来考虑,则人造卫星的运行轨道就是一组以地球中心为原点暨焦点的圆锥曲线族。这组圆锥曲线族如图1所示,可有四种类型,即圆、椭圆、抛物线和双曲线。其轨道方程和运行速度可表述如下[1]:
r=
1ecosf
(1)(2)
图1 人造卫星的运行轨道
v2=-ra
其中
2
P=a(1-e)=
2
(3)
Fig11 Themovingorbitoftheartificialsatellite
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h=wr2
L=G(m+ms)=Gm
(4)(5)
卫星在运行中究竟取何种轨道,这取决于卫星的地面发射高度、末速度和入轨方向。若卫星入轨方向平行地面,则按入轨速度划分的轨道类型如表1所述。必须说明,表中给出的运行速度是指卫星在轨道上的运行速度,而不是地面发射速度。若在地面发射卫星,则r=R,a=R,此时,沿圆轨道的运行速度vc即为地面发射人造卫星的最小速度v1:
v1=
=R
=719km/s6367
(6)
v1称为地球的环绕速度,也称第一宇宙速度。而抛物线轨道由于是开放曲线,因此沿抛物线轨道的运行速度vp即为人造卫星能脱离地球引力场的最小速度v2:=2v1=1112km/sR
v2称为地球的逃逸速度,也称第二宇宙速度。
v2=
表1 按入轨速度划分的轨道类型
Table1 Theorbittypesdividedaccordingtoorbitspeed
入轨速度
vivi
形成轨道类
型
ve=
运行速度
轨道方程a(1-e2)1+ecosfr=ar=
1+ecosfr=
p1+cosfa(1-e2)1+ecosf
2
(7)
离心率ee
半长径aa>0
轨道图样(图1)A轨道(入轨点S为远地点)B轨道
C轨道(入轨点S为近地点)D轨道
椭圆轨道
L
-rar-ra-ra
r=
vi=vc
圆轨道
vc=
e=0a=r
vc
ve=L
e0
vi=vp
抛物线轨道
vp=
e=1a=]
vi>vp
双曲线轨道
vh=L
r=e>1a
4 轨道要素
轨道要素就是确定卫星位置和速度的必要参数。在四种轨道中,每种轨道均有六要素,即升交点经度8、轨道倾角i、半长径a、离心率e、近点角距w、过近地点时刻tp。它们相互间都
是完全独立的,其中,8、i是确定轨道方位的要素;a、e是确定轨道形状和大小的要素;w是确定近地点位置的要素;tp是确定卫星位置和速度的要素。
如图2所示,在以地球为中心的天球坐标系中,以赤道面作参考面,以地球中心F为原点,则赤道面和格林尼治(本初)子午圈在天球上的交线为两个大圆,两圆的交点X为经度的起算,c
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王 侠等:人造卫星轨道要素的计算 69
的交点。Pce点为卫星近地点在天球上的投影。N为卫星由南向北穿过赤道面所经过的交点,也在天球上,称为
升交点,8=XN即为升交点经度。在N点处,轨道正方向与天赤道正方向的球面交角i即为轨道倾角。若i90b,则轨道称为逆行轨道;若i=90b,则轨道称为极轨道。
如图2所示,a为椭圆轨道半长径(在抛物线轨道中为半通径P,在双曲线轨道中为半主径)。e为离心率,e愈大,椭圆轨道愈扁平,双曲线轨道开
图2 地心天球坐标系
Fig12 Thecoordinatesystemofthegeocentriccelestialsphere
口愈大。w为近点角距,即升交点N至近地点Pe的角距。过近地点时刻tp是由发射窗口ti起算的时刻,可用平
近点角M来代替。
5 轨道计算
轨道计算就是根据已知的发射条件来计算卫星轨道要素和卫星在给定时刻t时的位置和速度。通常已知的发射条件有入轨点向径ri(ri=R+H)、入轨速度vi、入轨方向A、入轨点经度K、入轨点纬度
U、轨道面同卫星入轨点子午面的交角Q、入轨时刻ti。这里只讨论椭圆轨道情况。
如图3所示,F为椭圆焦点,地球位于椭圆焦点上,O为椭圆中心,在时刻tp时,卫星位于近地点Pe,在某一时刻t时卫星位于S点。今以O为中心,以a为半径作外接圆,过S点作垂线SA垂直于OPe,延长SA交外接圆于B点,连接OB,则BOPe角即为t时刻的偏近点角E。这可由图3并利用开普勒第二定律得到证明[1],即
E-esinE=n(t-tp)
(8)
图3 人造卫星的椭圆轨道
Fig13 Theellopticorbitoftheartificialsatellite
(8)式是开普勒首先推出的,因此又
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公式。今定义
M=n(t-tp)
则
511 轨道要素计算
(9)(10)
E-esinE=M
由(9)式可知,M是由近地点Pe起算的平均近点角,简称平近点角。
由(2)式可以解出椭圆轨道半长径a
a=
Lri2L-v2iri
由(4)式可得
h=virisinA
代入(3)式可得椭圆轨道离心率e
e-virisin=
aL
根据开普勒第二定律可知,在周期T时间内,卫星向径r扫过的面积就是椭圆的面积Pa2
1-e,故有
h=
2
T
代入(3)式得
T=2Pn=
=T
a3
(15)式即为计算卫星周期T的公式。由图3可得
cosf=
r
(cosE-e)将(3)式代入(1)式得椭圆轨道方程
r=
21+ecosf
将(17)式代入(18)式得
r=a(1-e#cosE)
将(18)式代入(19)式得
cosE=
1+e#cosf
由(19)式可得
cosE=
a-riae
由(20)式或(21)式可得偏近点角E;(20)式中的f可由下式求得,即改写的(18)式
cosf=
a(1-e2)-ri
rie
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)(16)
(17)
(18)
(19)(20)(21)
(22)
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于是,将求得的E值代入(8)式并引入(16)式,便可解出过近地点时刻tp
tp=ti-(E-esinE)
(23)
应该注意,E是由近地点Pe起算的中心角,卫星在入轨时刻ti时E为负值。
由图2的球面直角三角形ScDN可得i、w和8
cosi=cosU#sinQsin(w+f)=sini
sin(K-8)=sin(w+f)#sinQ
512 在任意给定时刻t时的卫星位置和速度的计算
今讨论由已知的轨道要素来计算在任意给定时刻t时的卫星位置和速度的方法。
当给定时刻为t时,则由(9)式和(16)式可得平近点角M
M=
(t-tp)a3
(27)(24)(25)(26)
将求得的M值代入(10)式可得E,即重写(10)式
M=E-esinE
显然,(10)式是E的超越方程,不宜直接解出E值,故可用下述迭代法求之
对(10)式求导数
=1-ecosEdE
取E的初始近似值E0为
E0=M
第1次迭代求E的近似值E1
E1=E0+
0(0)dE
(10)
(28)
M0=E0-esinE0dE
第2次迭代求E的近似值E2
E2=E1+
-M1(1)dE
(0)
=1-ecosE0
M1=E1-esinE1
(1)
=1-ecosE1
dE
依此类推,逐次迭代,直至第n次迭代,En-1趋近于En并满足要求为止。此时的En即为给定时刻t时的偏近点角E。
由(20)式可得
cosf=
eE
(29)
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由(29)式可求得给定时刻t时的真近点角f。此后,将f代入(18)式可得给定时刻t时的向径r;再将r代入(2)式可得给定时刻t时的速度v。至此,即可确定在任意给定时刻t时的卫星位置和速度。参考文献:
[1] 易照华等.天体力学引论[M].北京:科学出版社,1978.[2] S.J.Inglis.行星恒星星系[M].北京:科学出版社,1979.
Thecalculationoftheorbitofanartificialsatellite
WANGXia1,YUXiangOhui1,ZHAOMingOjing1,WANGHuanOsheng2
(11CollegeofMechanicalEngineering,ChangchunUniversity,Changchun130022China;21ChangchunTestingMachineInstitute,MinistryofMachineBuilding,Changchun130021,China)
Abstract:Thecalculationoftheorbitofanartificialsatelliteisdiscussedinthispaper1Itcontainstheformation,theclassificationandparametersoforbitsaswellascalculationoftheellipticorbit,thecircularorbit1
Keywords:trueanomaly;eccentricanomaly;meananomaly;ascendingnode;perigee
(上接第33页)
TheformationofÑanditscontrolfactors
ZENG ZhaoOhua
(InstituteofEnvironmentalGeology,BureauofgeologyandMineralResourcesofJiangxiProvince,Nanchang330012,China)
Abstract:Inthispaper,themaincontrolfactorsofformationofÑingroundwateranditsdistributiveregularityarestudied1TheresultshowsthattheformationofÑingroundwateris
closelytotheorganicmatteroftheaqueousmedium,i1e1therunoffcondition,oxidation-reductionenvironmentaswellastheacidity-akalinity1
Keywords:groundwater;Ñ;formation;controlfactors;distributiveregularity