3.3.1两条直线的交点坐标(课时训练及答案)
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标
【课时目标】 1.掌握求两条直线交点的方法.2.掌握通过求方程组解的个数,判定两直线位置关系的方法.3.通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想.
1.两条直线的交点
已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.
A1x+B1y+C1=0x=x0
若两直线方程组成的方程组有唯一解,则两直线______,交点
A2x+B2y+C2=0y=y0
坐标为________.
2
一、选择题
1.直线l1:2-1)x+y=2与直线l2:x+2+1)y=3的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.重合
2.经过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线的方程是( )
A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0
3.直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10相交于一点,则a的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值为( ) A.-24 B.6 C.±6 D.以上答案均不对
5.已知直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,l1∥l2,则m的值是( ) A.m=3 B.m=0
C.m=0或m=3 D.m=0或m=-1
6.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,-1),则直线l的斜率为( )
3232A. B. C.- D
2323二、填空题
7.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=x,y)|y=3x+b},则b=________. 8.已知直线l过直线l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,且平行于l3:x+2y-5=0,则直线l的方程是______________.
9.当a取不同实数时,直线(2+a)x+(a-1)y+3a=0恒过一个定点,这个定点的坐标为
________.
三、解答题
10.求经过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点,且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程.
11.已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(-2,-3),E(3,1),F(-1,2).先画出这个三角形,再求出三个顶点的坐标.
能力提升
12.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的角平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
13.一束平行光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线与直线l的交点坐标.
1.过定点(x0,y0)的直线系方程
y-y0=k(x-x0)是过定点(x0,y0)的直线系方程,但不含直线x=x0;A(x-x0)+B(y-y0)=0是过定点(x0,y0)的一切直线方程.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+D=0(D≠C).与y=kx+b平行的直线系方程为y=kx+m(m≠b).
3.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2
=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含l2;一般形式是m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0),是过l1与l2交点的所有直线方程.
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标
答案
知识梳理
1.相交 (x0,y0) 2.无 1 无数 作业设计
1.A [化成斜截式方程,斜率相等,截距不等.]
2.A [首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.]
4x+3y=10
3.B [首先联立,解得交点坐标为(4,-2),代入方程ax+2y+8=0得a
2x-y=10
=-1.]
m12
4.C [2x+3y-m=0在y轴上的截距为x-my+12=0在y轴上的截距为3m
12m
由=m=±6.] m3
5.D [l1∥l2,则1·3m=(m-2)·m2, 解得m=0或m=-1或m=3. 又当m=3时,l1与l2重合, 故m=0或m=-1.]
6.D [设直线l与直线y=1的交点为A(x1,1),直线l与直线x-y-7=0的交点为B(x2,1+y2
y2),因为M(1,-1)为AB的中点,所以-1y2=-3,代入直线x-y-7=0得
2
-3+12
x2=4,因为点B,M都在直线l上,所以kl=.故选D.]
34-17.2
x+y-2=0x=0
解析 首先解得方程组的解为,
x-2y+4=0y=2
代入直线y=3x+b得b=2.
8.8x+16y+21=0 9.(-1,-2)
解析 直线方程可写成a(x+y+3)+2x-y=0,则该直线系必过直线x+y+3=0与直线2x-y=0的交点,即(-1,-2).
10.解 (1)2x+y-8=0在x轴、y轴上的截距分别是4和8,符合题意. (2)当l的方程不是2x+y-8=0时, 设l:(x-2y+1)+λ(2x+y-8)=0, 即(1+2λ)x+(λ-2)y+(1-8λ)=0. 据题意,1+2λ≠0,λ-2≠0.
1-8λ1-8λ
令x=0,得y=-y=0,得x=-
λ-21+2λ
1-8λ1-8λ12
∴-=2·-解之得λ=8,此时y=3x.
λ-21+2λ
2
∴所求直线方程为2x+y-8=0或y=x.
3
11.解
如图,过D,E,F分别作EF,FD,DE的平行线,作出这些平行线的交点,就是△ABC的三个顶点A,B,C.
由已知得,直线DE的斜率 kDE=
1+344
=,所以kAB=
53+25
因为直线AB过点F,所以直线AB的方程为
4
y-2=x+1),即4x-5y+14=0.①
5由于直线AC经过点E(3,1),且平行于DF, 同理可得直线AC的方程 5x-y-14=0.②
联立①,②,解得点A的坐标是(4,6).
同样,可以求得点B,C的坐标分别是(-6,-2),(2,-4). 因此,△ABC的三个顶点是A(4,6),B(-6,-2),C(2,-4). 12.解
如图所示,由已知,A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点.
x-2y+1=0y=0由,得, y=0x=-1
故A(-1,0).
又∠A的角平分线为x轴,
故kAC=-kAB=-1,(也可得B关于y=0的对称点(1,-2). ∴AC方程为y=-(x+1), 又kBC=-2, ∴BC的方程为 y-2=-2(x-1),
y=-x+1x=5由,得, y-2=-2x-1y=-6
故C点坐标为(5,-6).
13.解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a,b),由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
b4
·-=-1a3
ab
826×225
a=4,解得,
b=3
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3),
又由反射光线过P(-4,3),两点纵坐标相等,故反射光线所在直线方程为y=3. 7y=3x=8
由方程组,解得,
8x+6y=25y=3
7
∴反射光线与直线l的交点坐标为8,3.