让学生学会数学地思考

让学生学会数学地思考

——四下“探索三角形边的关系”的教学案例

数学学习的本质是学生获取数学知识，形成数学技能和能力的一种思维过程。“思考”是学生学习数学过程中的本质特点。学生的数学思维是对自身活动的反思，是对已有经验的反思。所以我们应该把学生的数学思考作为整个数学学习活动的核心，更多地关注学生在思考什么，怎样思考的，思考的结果怎样。我想这样的课堂才是有效的、智慧的、精彩的。

我们先来看看一个教学片断。

[课堂写真]

出示一个这样的图形：

师：这是什么图形？

生1：三角形。

师：谁能说说三角形的定义？

生2：由三条线段围成的图形叫三角形。

接着再出示一组这样的图形：

A B C

让学生阐述它们是不是三角形，使学生明确三角形每相邻两条线段的端点要相连。

师：那我给你们三根小棒，你们都能围成一个三角形吗？ 几乎是全班学生不假思索地就回答能围，并纷纷举起小手。 老师抽一位学生上台操作演示，确实摆出了一个三角形。这名学生得意地走下台，其余学生很满意这个结果。

老师又给出三根小棒，问：谁愿意再来试试。

孩子们比上次更踊跃地举手。

一名学生上台，很自信地操作起来，但无论他怎样摆弄，就是不能围成三角形。

下面的学生很着急，有的说：我来，让我来„„也有部分学生看了刚才的过程不再那么兴奋，而是在思索着什么„„„

老师又抽了二、三名学生，但结果一样。

全班学生陷入疑惑，思考中。

师：任意给三根小棒，你还能说一定能围出三角形吗？

生：不能。

师：那能否围成三角形，和什么有关呢？有怎样的关系呢？这就是今天我们要研究的问题：探索三角形三边关系。接下来我们做一个实验。

教师讲明实验要求：用自己准备的长度分别是10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的4根小棒围三角形并完成下表。

在学生充分操作的基础上组织汇报。

生3：通过实验我发现任意的三条线段不一定能围成一个三角形。 生4：我还发现能围成三角形的有两组：10厘米、5厘米、6厘米；5厘米、6厘米、4厘米；不能围成三角形的也有两组：10厘米、4厘米、6厘米；10厘米、5厘米、4厘米。

生5：用长度分别是10厘米、4厘米、6厘米的三根小棒不能围成三角形。我可以到讲台前给大家摆摆看。

生5在实物投影前一边演示一边解释：我们知道由3条线段围成的图形是三角形。当长度是10厘米、4厘米、6厘米的三根小棒每相邻两根小棒的端点相连时，得到的是一组挨得很近的平行线。

生6：我用长度分别是10厘米、4厘米、6厘米的三根小棒怎么能围成三角形呢？我也想把我摆出的三角形给大家看一下。

生6果真摆出了一个三角形。看完他的演示有的学生表示赞同，有的陷入了思索之中，也有一部分学生高高地举手要发表自己的意见。

生7：我发现他的小棒有问题，一根小棒长10厘米，另外两根分别长4厘米、6厘米，4厘米+6厘米=10厘米,两根短的小棒接在一起的长度与最长的一根相等,如果用这样的三根小棒端点相连的话,

围成的结果应该和生5的一样。可现在他能围成三角形,说明两根较短的小棒的长度之和比10厘米长,不信我们比一比。

他边说边把两根短的小棒连在一起与第三根比较，结果真的比第三根长。看完他的演示教室里响起了一片掌声。

师：这位同学不仅善于观察，还非常善于揭示其中的道理。谁能解释一下为什么用长度分别是10厘米、5厘米、4厘米的三根小棒也不能围成三角形？

教室里小手如林，学生争先恐后的发表自己的意见。

生8：当长度是10厘米、4厘米、6厘米的三根小棒每相邻两根小棒的端点相连时，得到的是一组挨得很近的平行线。而长度是5厘米、4厘米的两根小棒长度之和是9厘米，小于10厘米，我们不能使这样的三根小棒每相邻的两根小棒的端点相连，这三根小棒围不成一个封闭图形。

他的话刚讲完，教室里就响起了热烈的掌声。

学9：我也明白了为什么长度分别是10厘米、5厘米、6厘米；5厘米、6厘米、4厘米的两组为什么能围成三角形。当两根较短的小棒长度之和等于、小于第三根小棒时，是围不成三角形的 ；而这两组中两根较短的小棒长度之和大于第三根小棒，5+6>10、5+4>6，所以能围成。

师：我们再来看一下能围成三角形的这两组小棒的长度，你发现了什么？

生10：第一组：5+6>10、5+10>6、10+6>5，第二组也是：5+4>6、5+6>4、6+4>5，随意的两条边相加，和都大于第三条边。

生11：三角形任意两边的和大于第三边，而6+4=10，所以用长度是10厘米、4厘米、6厘米的三根小棒围不成三角形。

„„„

[问题讨论]

1、问题情境激发学生的思维了吗？

问题激活思维，有数学思考的，富有挑战性的问题是引导学生探究知识的基础。教师要善于创设有效的问题情境，把静态的知识转化为动态的探索性问题。在上述片断中，先让学生由三角形的表象复习三角形的定义，明白三角形的正确围法，避免学生在操作过程中出现过失性错误。然后利用学生思维中容易出现的错误创设了一个认知 矛盾的冲突：给你三根小棒你一定能围成一个三角形吗？在学生看来，三角形不就是由三条线段围成的吗？用三根小棒当然能围成一个三角形。所以同学们总是会做出非常自信但却是错误的回答：能围。此时，教师并不急于表态，而是让学生在动手操作中去发现问题：有时就不能围。这样的事实推翻了学生头脑中以前的错误认识，激起了学生的认知冲突，矛盾起伏中充满了思维的碰撞。此时，学生已经拥有要重新认识三角形的心理需求，并带着好奇心主动去思考：能否围成三角形到底和什么有关呢？有怎样的关系呢？这为后面的学习，思考已经作好了积极的情感铺垫。

2、是否为学生提供了有思维含量的活动？

课程改革中特别强调对知识的过程性体验，即让学生亲身经历知识形成的过程。但如果这种“经历”缺乏数学思考的支撑，也就失去了本身的价值和意义。数学思考是学生经历一个观察、猜想、实验、判断、证明的思维过程，是用数学的方法去解决问题。数学思考不是指增加思考难度，而应是数学思考过程的增加，简单的问题中也能体现出数学思考的轨迹。上述片断中，学生探究活动的设计可看出教师是颇费心思的。教师没有像教材中那样，事先分好几组小棒，让学生操作，而是很开放地给出四根小棒：10厘米、6厘米、5厘米、4厘米，让学生每次只能从4根中选3根操作，这不正是对学生有序思维的训练吗？在操作过程中，学生很自然地都会经历10厘米、6厘米、4厘米这组数据，不管他们此时的想法怎样，都为后面的理性分析埋下伏笔，对学生的认知建构起了关键作用。

3、关注学生思考的过程了吗？

我们常说过程比结果重要，其实在数学学习活动中，关注学生思考的过程往往比关注学生最后思考的结果有价值得多。因为让学生充分暴露出他们的思维，在通过生与生、师与生之间的交流、碰撞（即思辨的过程）才能将学生的认知不断巩固、深化、提升，从而达到对学生数学思维训练的目的。在全班交流操作结果时，我们欣喜地感受到学生所经历的一场头脑风暴，特别是10厘米、6厘米、4厘米这组数据，由开始的有分歧，到中间的争辨，用数据说明，再到最后的一致认可，这个过程释放出了孩子们头脑中的理性光芒，展示了数学的真正魅力。

由于操作材料都有一定的粗细，对于“两边之和等于第三边时能否围成三角形”的问题，很多学生在实践操作时会产生“能围成三角形”的“误解”。这个问题通过实践操作往往很难解释清楚，如果教师关注学生的思考过程，抓住适当的时机，再利用动态的电脑媒体帮助学生理解、体会不能围的原因就更好了。