随机事件及其运算

第一章 随机事件与概率

一、教材说明

本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。

1．教学目的与教学要求

本章的教学目的是：

（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；

（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；

（3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。

本章的教学要求是：

（１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；

（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；

（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。

２．本章的重点与难点

本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。

二、教学内容

本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。

1.1 随机事件及其运算

本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。

自然界里有两类不同性质的现象。有一类现象，在一定条件下必然发生：如

自由落体，1000C 时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。

概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。

1.1.1 随机现象

１．定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。 例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；

（２）掷一颗骰子，出现的点数；

（３）一天内进入某超市的顾客数；

（４）某种型号电视机的寿命；

（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。

随机现象到处可见。

２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。

３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。我们就是通过随机试验来研究随机现象的。

1.1.2 样本空间

１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为

Ω={ω}

其中，ω表示基本结果，称为样本点。

（１）执一枚硬币的样本空间为：Ω1={ω1, ω2}；

两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成，

，ω2=（正，反），ω3=（反，正），ω4=（反，反），则 ω1=（正，正）

A=“至少出现一个正面”={ω1, ω2, ω3}；B=“最多出现一个正面”={ω2, ω3, ω4}；C=“恰好出现一个正面”={ω2, ω3}；D=“出现两面相同”={ω1, ω4}。

（２）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：

Ω2={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}={1, 2, 3, 4, 5, 6}；两颗呢？

这时基本结果可以用一个数对（x,y ）表示，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子的点数，则其基本空间是

Ω1={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6},共有36个结果。则事件

A 1=“点数之和等于2”={（1，1）}，

B 1=“点数之和等于5”={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}

C 1=“点数之和超过9”={（4,6），（5,5），（5,6），(6,4),（6,5），（6,6）}

D 1=“点数之和不小于4也不超过6”={（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）}。

（３）一天内进入某超市的顾客数的样本空间为：

Ω3={ω0, ω1, ω2, ω3, }={0, 1, 2, 3, 4, 5, , 500, , 105, }；为什么这样处理？

（４）某种型号电视机的寿命样本空间为：Ω4={t , t ≥0}；

（５）测量误差的样本空间为：Ω5={x , -∞

２．离散样本空间和连续样本空间。

样本空间分类：有限和无限；无限又可以分为可列与不可列

有限与可列分为一类，称为离散样本空间；无限不可列属于另一类——连续样本空间。

1.1.3 随机事件

1．定义 随机现象的某些样本点组成的集合。

随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C …来表示事件。A=“出现奇数点”，A={1,3,5}等。

事件具有以下特征：

（1）任一事件A 是相应样本空间Ω的一个子集。

（2）事件A 发生当且仅当A 中某一结果发生，或者说，当ω1（∈A ）发生，则说世事件A 发生，当ω2（∈A ） 发生，则说A 不发生。

（3）事件A 的表示可用集合，也可以用语言，但要使大家明白。

2．维恩图 事件的集合表示。

基本事件

复合事件

必然事件

不可能事件

3．例 掷一颗骰子的样本空间为：Ω={1,2,3,4,5,6}。

事件A =“出现1点”，它由Ω的单个样本点“1”组成。

事件B =“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。

事件C =“出现的点数大于6”，Ω中的任意样本点都不在C 中，所以C 是空集，即不

可能事件∅。

事件D =“出现的点数不超过7”，Ω中的任意样本点都在D 中，所以D 是必然事件Ω。

样本空间与集合的关系，对应关系

1.1.4 随机变量

1．定义 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X , Y , Z , 等表示，也有的用希腊字母ξ, η, ζ, 等表示。很多随机事件都可以用随机变量来表达。

2．例 （1）掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量；

（2）掷两颗骰子，出现的点数之和也是是一个随机变量；

（3）检查10件产品，其中不合格产品数X 是一个随机变量，表示

（4）电视机的寿命T 是一个随机变量。此外射击次数、候车时间、购买某种股票的收益率等都是随即变量。

取值情况：有限、无限可列——离散型随机变量；

剩下的——非离散型随机变量（主要研究连续型随机变量）

有了随机变量，我们就可以用随机变量来表达随机事件，才可以用数学方法（分析方法）来研究随机性问题。

随机事件的三种表达形式：集合，语言描述，随机变量。

1.1.5 事件之间的关系

为以后的概率计算化繁为简，需要研究事件间的关系与事件的运算规则，这里先研究事件的关系，它与集合的运算有着相同之处。

事件之间的关系有：

一、包含关系

（1）事件的包含 设在同一个试验里有两个事件A ，B ，若事件A 中任一基本结果必在B 中，则称A 包含于事件B 或B 包含A ，记为A ⊂B,B ⊃A 。

此时若A 发生则必导致B 发生。如A=“出现4点”，B=“出现偶数点” 显然对于任意一个事件A 有 Ω⊃A ⊃Φ

二、相等关系

事件的相等 设在同一个试验里有两个事件A 与B ，，若AB 且BA ，则称事件A 与B 是相等的, 记为A=B。这时A 与B 必然包含相同的基本事件。

A = B ⇔ A ⊂ B 而且 B ⊂ A.

如掷两颗色子，观察它们出现的点数（x,y ），设A=“x+y=奇数”，B=“x 与y 的奇偶性不同”，则A=B.

三、互不相容关系

(3)事件的互不相容（互斥） 设在同一个试验里，若两个事件A 与B 没有相同的基本结果，则称事件A 与B 互不相容，这时事件A 与B 不可能同时发生。

如A=“出现点数为偶数”，B=“出现3点或5点”，则A 与B 互不相容。 同样可以推广到多个事件的互不相容性，若在一个试验里有几个事件

A 1,A 2, …,A n ，若其中任意两个事件都是互不相容的，则称这n 个事件是互不相容的。

各种关系的维恩图表示。

1.1.6 事件运算

1．事件运算：

一、事件A 与B 的并（和），记为：A B

“由事件A 与B 中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”“ 事件A 与B 中至少有一个发生”“ A 或B ”

举例

且：A B ⊃A ，A B ⊃B ；当A ⊃B 时，A B =?

A Φ=A , A Ω=Ω；

A 1 A 2 A n 表示A 1, A 2, , A n 中至少有一个发生。

A 称为有限并， A 称为可列并 i i

i =1i =1n +∞

二、事件A 与B 的交，记为：A B 或AB

“由事件A 与B 中公共样本点组成的新事件”“ 事件A 与B 中同时发生”“ A 且B ”

举例

且：A B ⊂A ，A B ⊂B ；当A ⊃B 时，A B =?

A Φ=Φ, A Ω=A ；

A 1 A 2 A n 表示A 1, A 2, , A n 全部发生。

若A 与B 互不相容（互斥），则A B =Φ；反之，亦然。

n +∞ A 称为有限交， A 称为可列交。 i i

i =1i =1

三、事件A 与B 的差，记为：A -B

“由事件A 中但不在B 中的样本点组成的新事件”“ 事件A 发生而B 中不发生”“ A 非B ”

举例：如A={1，3，5}，B={1，2，3}，则A －B=｛５｝，而B －A ＝｛２｝。一般情况下A -B =A -AB 这是在以后计算概率时常遇到的公式之一。

将A B 表示为互不相容事件的和：A B =(A -AB ) B =A (B -AB ) 等。

若X 为随机变量，则有：

{X =a }={X ≤a }-{X

{a

四、对立事件

设A 为试验里的事件，则由不在A 中的一切结果组成的事件称为A 的对立事件，记为, 就是“A 不发生”。

如 A=“出现偶数点”，则=“出现奇数点”。 对立事件是相互的，=A,Φ=Ω，Ω=Φ。

举例：

对立与互不相容的区别与联系，比较

举例：

设A ，B ，C 是某个试验中的三个事件，则

（1）事件“A 与B 发生，C 不发生”可以表示为。

（2）事件“A ，B ，C 中至少有一个发生”可以表示为A B C

(3)事件“A ，B ，C 中至少有两个发生” 可以表示为AB BC AC

（4）事件“A ，B ，C 中恰好有两个发生” 可以表示为 .

(5) 事件“A ，B ，C 中有不多于一个事件发生”可以表示

为

（6）事件“A ，B ，C 中至少有一个发生的对立事件”是A B C =。

2．事件的运算性质：

（1）交换律：

，A A B =B A ； A B =B

（2）结合律：

(A B ) C =

（3）分配律：

=(A C ) (B ，C ) (A B ) C =(A C ) (B C ) ； (A B ) C ，A (B C ) (A B ) C =A (B C ) ；

（4）对偶律（德莫根公式）：

A B =A , B A =B A 。B

证明：

A 1 A 2 ⋯ A n =12⋯n 或者 A i = i 、 A i = i

i =1

n i =1n i =1+∞i =1+∞n n +∞+∞

A 1A 2⋯A n =1 2 ⋯ n 或者 A i = i 、 A i = i

i =1i =1i =1i =1

完备事件组（或者称为样本空间的一个分割）

把样本空间Ω分成n 个事件B 1，B 2，„ ，B n ，假如

（1）P(B i )>0,i=1,2, „,n ; (2) B 1，B 2，„ ，B n 互不相容，；（3） B i =Ω。

i =1n

则称事件组B 1，B 2，„ ，B n 为Ω上的一个完备事件组。（Ω最简单的分割是B 和B ）

比较：

给出事件域的概念，目的是为下一节定义事件的概率作准备。

“事件域”—— 样本空间中某些子集组成的集合类，记为：F

可测集合才能定义概率，为此有以下的准备

F 应该包括：Φ, Ω, A , 以及相关事件的各种运算（并，交，差、对立），在运算之下应该具有封闭性

交的运算可以通过并与对立来实现（狄摩根对偶律）

差的运算可以通过对立事件与交来实现（A -B =A -AB =）

所以，对立事件与并的运算就可以解决任何问题

1．定义 设Ω为一样本空间， F 为Ω的某些子集组成的集合，如果F 满足：

（1）Ω∈F ;

（2）若A ∈F ，则A ∈F ；

（3）若A n ∈F ，n =1,2, , 则 A n ∈F 。

n =1+∞

则称F 为一事件域或σ-代数。

在概率论中，又称(Ω, F ) 为可测空间。

2．常见事件域

例 常见事件域：

F 1=σ(ω1, ω2) =∅, A , A , Ω; {}

F 2=σ(ω1, ω2, ωn ) ；

F 3=σ(ω1, ω2, ωn , ) ；

Ω=(-∞, +∞) ，取基本集合类

F 4={(-∞, x ); -∞

利用事件类的要求，首先把左闭右开的扩展近来

[a , b ) =(-∞, b ) -(-∞, a )

然后再把闭区间、单点集、左开右闭、开区间扩展近来

1⎫⎡[a , b ]= ⎢a , b +⎪，{b }=[a , b ]-[a , b ) n ⎭n =1⎣

(a , b ]=[a , b ]-{a }，(a , b ) =[a , b ) -{a } +∞

最后用（有限或可列个）并运算和交运算把实数中一切有限集、可列集、开集、闭集都扩展近来。这就是人们希望得到的：

3．波雷尔事件域： F =σ((-∞, x ), x ∈ℜ) 。