五年级奥数第一讲整除及带余除法

第一讲 整除及带余除法

知识点：

1. 整除的概念

定义 ：如果整数a 除以整数b ，商是整数且余数为0，则称a 能被b 整除，或b 能整除a ，记作b a ，其中a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的约数。 注意：（1）0是任何整数的倍数

（2）1是任何整数的约数

2. 数的整除的性质

（1）如果数a 能被数c 整除，数b 能被数c 整除，那么它们的和（a+b）或差（a —b ）也能被c 整除，即c a , c b , c (a ±b ) ；

（2）几个数相乘，如果其中有一个因数能被某个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除；

（3）数a 能被b 整除，数a 能被c 整除，如果b 、c 互质，那么数a 能被b 与c 的积整除，即若b a , c a , 且(b,c)=1,则b c a 。

3. 数的整除特征

（1）一个整数的个位上是0，2，4，6，8中的某个数时，这个整数能被2整除；

（2）一个整数的个位上是0或5时，这个整数能被5整除；

（3）一个整数各数位上的和能被3或9整除，那么这个整数也能被3或9整除；

（4）一个整数的末两位能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除；

（5）一个整数的末三位能被8或125整除，那么这个数能被8或125整除。

（6）一个整数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除；反之，一个整数能被6整除，这个数就一定能被6的约数（1，2，3，6）整除。

（7）一个整数的奇数为（指个位、百位、万位···）上的数字之和与偶数位（指十位，千位，十万位···）上的数字之和的差（用较大数减较小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

（8）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数能被7（11或13）整除，

数的整除概念、性质及特征为解决一些整除问题带来很大方便，在实际问题中应用广泛。

4. 一般的除法式子是被除数÷除数=商，这个商称为完全商。

5. 有余数的除法式是被除数÷除数=商……. 余数（余数小于除数），这个商称为不完全商。用数学式子表示，可写作a=bq+r（0≤r ≤b -1），其中a 为被除数，b 为除数，q 为商，r 为余数。当r=0时，就是完全商，此时b 整除a ，当r 不等于0时，此时b 不整除a 。

6. 若a=bq+r，则a-r=bq，故a —r 是b 的倍数，因此不能整除的问题可以转换为能整除的问题。

7. 两个整数a ，b ，若它们除以自然数m （m 不等于0），所得的余数相等，则称a ，b 对于m 同余，记作a ≡(modm ) ，读作a 同余于b 模m ，或读作a 与b 关于

模m ，同余。

8. 同余有下列基本性质

性质1、如果a ≡b (modm ) ，那么a —b 的差能被m 整除。

性质2、如果b ≡a (modm ) ，b ≡c (modm ) ，那么a ≡c (modm ) 。

d ) ，c ≡d (modm ) ，那么a+c=b+d (modm ) ,a-c 性质3、如果a ≡b (m o m

≡b -d (modm ) ，a ⨯c ≡b ⨯d (modm ) ，a ÷c ≡b ÷d (modm ) 。

性质4、如果a ≡b (modm ) , 那么a n ≡b n (modm ) 。

性质5、若a 除以b 的余数为r1，c 除以b 的余数为r2，则a ×c 除以b 的余数就是r1×r2除以b 的余数。

经典例题：

1. 判断题

①．所有的自然数都是整数（ ）

②．一个整数不是正数，一定是负数（ ）

③．负整数中没有最大的数，也没有最小的数（ ）

④．2. 4÷1. 2=2，可以说成2.4被1.2整除（ ）

⑤．36的最小倍数和最大因数都是36。……………………（ ） ⑥．1没有因数。………………………………………………（ ） ⑦．不存在一个数，它既是a 的因数，又是a 的倍数（ ）

⑧．没有最大的奇数，但有最小的奇数（ ）

2. 用1、2、3这三个数字任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有?

3. 一个两位数，其中个位上的数字比十位上的数字小2，且这个两位数能被5整除，求符合上述条件的两位数。

4. 整数a 有两个因数，那么5a 有几个因数?

5. 用0、5、6、8按下列要求排成一个没有重复数字的四位数

（1）既能被2整除，有能被5整除的数

（2）不能被2整除，但能被5整除的数

（3）能被2整除，但不能被5整除的数

（4）既能被2整除，又能被3整除的数

6. 用2、0、5三个数组成的三位数是否能被3整除？

7. 在□5□的方框内填上哪些数字，能使这个三位数同时能被2、3、5整除？

8. 一个七位数22A 333A 能被4整除，且它的末两位数字组成的两位数3A 是6

的倍数，那么A= 。

9. . 有一个六位数2011□□能被99整除，这个六位数是多少？

10. 若A =2⨯3⨯5⨯7，那么A 共有 个因数。

11．一张长42厘米，宽30厘米的长方形纸片，要把它剪成大小相等的正方形纸片而没有剩余，剪成的正方形纸片至少有多少张？

12. 已知一个三位数能被7整除，且百位、十位上的数字分别为3、2，求这个三位数的个位数字。

13. .一个两位数，它的两个数位上的数之差是2，且能同时被2，3整除 ，这个两位数最小是多少？最大是多少？

14. 小明去书店买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的钱数□13.7□元，回来发现有两个数字看不清了，你能帮小明补上这

两个数字吗？

15. 在一个四位数的某位数字前添上小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1990.89，则原来的四位数是多少？

bc 为完全平方数，16. 已知四位数abcd 是11的倍数，且有b+c=a，求此四位数？

17. 在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？

18. 一个三位数xyz （其中x 、y 、z 互不相等），将其各位数码重新排列，若所得的最大三位数与最小三位数之差是xyz ，则原三位数xyz 是多少？

19. 两个四位数ACCC 和CCCB 满足

20. 六位数A 1993B 能被45整除，求所有满足条件的六位数。 ACCC 2=，求A ⨯B ⨯C 的值。 CCCB 5

21. 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16. 被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？

22. 某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？

23. 被3除余1，被5除余2，被7除余3的最小自然数是多少？

24. 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

25. 一个布袋中装有小球若干个. 如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个. 布袋中至少有小球多少个？

26. 69、90和125被某个正整数N 除时，余数相同，试求N 的最大值。

27. 求124×2133×3212除以7的余数。

28. 九只袋中分别装有12，15，17，19，21，24，27，28，31只球，甲取走几袋，乙也取走几袋，最后剩下一袋。已知甲取走的球的个数正好是乙的2倍，剩下一袋里有几只球?

29.. 求66 666 除以7所得的余数是多少？

2014个6

30. 一个整数分别去除75,125,201，三个余数的和是31，问，这三个余数中最小的一个是多少？