纳米铜晶胞体积弹性模量变化规律的分子动力学模拟

２００

９年１２月

农业机械学报

第４０卷第１２期

纳米铜晶胞体积弹性模量变化规律的分子动力学模拟＊

李冠楠

苗恩铭

费业泰

（合肥工业大学仪器科学与光电工程学院。合肥２３０００９）

【摘要】用分子动力学的方法详细模拟纳米铜晶胞随温度与压强变化的规律，得到了铜晶胞体积弹性模量突

变的敏感压强点。模拟结果表明：单晶铜的在压强小于７５ＧＰａ时体积弹性模量随温度升高而降低，随压强增大而增大；在压强大于７５ＧＰａ时，体积弹性模量随温度升高而增大，随压强增大而减小。

关键词：分子动力学纳米铜晶胞体积弹性模量中圈分类号：０７３３

文献标识码：Ａ

ＭｏｌｅｃｕｌａｒＤｙｎａｍｉｃｓＳｉｍｕｌａｔｉｏｎ

ＭｏｄｕｌｕｓｏｆＣｒｙｓｔａｌ

ｆｏｒＶａｒｉａｔｉｏｎＲｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆＶｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙＣｕｗｉｔｈＰｒｅｓｓｕｒｅａｎｄＴｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ

ＭｉａｏＥｎｍｉｎｇ

ＦｅｉＹｅｔａｉ

ＬｉＧｕａｎｎａｎ

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔＳｃｉｅｎｃｅａｎｄ

Ｏｐｔｏ－ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ

Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ２３０００９，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎ

ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ

ｏｆ

ｖｏｌｕｍｅ—ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｍｏｄｕｌ惦ｏｆｃｒｙｓｔａｌ

ｇａｉｎ

ａ

Ｃｕｗｉｔｈ

ｐｒｅｓｓｕｒｅ

ａｎｄ

ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅＷａｓａｎａｌｙｚｅｄｂｙｍｏｌｅｃｕｌａｒｄｙｎａｍｉｃｓｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｏ

ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ

ｐｏｉｎｔｏｆｐｒｅｓｓｕｒｅ

ｖａｌｕｅ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｓｔｈｅｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｍｏｄｕｌｕｓｏｆｃｒｙｓｔａｌＣｕｄｅｃｒｅａｓｅｓａｓｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｒｉｓｅｓ，ｂｕｔｉｎｃｒｅａｓｅｓａｓｐｒｅｓｓｕｒｅｒｉｓｅｓｂｅｆｏｒｅｔｈｅｐｏｉｎｔ７５ＧＰａ；ｗｈｅｒｅａｓ，ｅｘｃｅｅｄｉｎｇｔｈｅｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ

ｐｏｉｎｔ，ｔｈｅ

ｒｉｓｅｓ．

ｖｏｌｕｍｅ－

ｍｏｄｕｌｕｓ

ｏｆｃｒｙｓｔａｌＣｕｉｎｃｒｅａｓｅｓ

ａｓ

ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｒｉｓｅｓ。ｂｕｔｄｅｃｒｅａｓｅ

ａｓ

ｐｒｅｓｓｕｒｅ

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ

Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ

ｄｙｎａｍｉｃｓ，Ｎａｎｏ

ｃｒｙｓｔａｌＣｕ，ｖｏｌｕｍｅ—ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｍｏｄｕｌｕｓ

引言

常规的测量材料力学性能的试验受到高温和精确度的限制，而从微观角度进行模拟不仅可以排除常规试验中由于材料的错位、裂纹、气孔带来的诸多干扰，还能够实现高温与高压的监测【１－５】，使用分子动力模拟铜晶胞体积弹性模量具有较高的精确性和可靠性。在以往的研究中，研究人员通常通过控制其他变量来探究单一变量如温度或压强对单晶铜体积弹性模量的影响，本文在研究中综合考虑压强和温度的共同作用，通过分子动力模拟的方法，探讨了在不同温度和压强下的纳米铜晶胞的体积弹性模量规律，包括常温下模拟单晶铜体积弹性模量随压强变化的动力学模拟和不同压强下单晶铜体积弹性

收稿日期：２００８—１２—１７修回日期：２００９一０４—２２

模量随温度变化的情况。所得出的结论不仅可作为微观物理力学的研究数据参考，也可用于与常规试验得到的铜材料的力学性能进行对比。

１

分子动力学计算方法和模型的选择

ＬＪ势函数是最常用和普遍的势函数，可以广泛

地应用于各种体系。分子动力模拟正是应用这些力场并根据牛顿运动力学原理而发展的计算方法。其优点在于系统中粒子运动有正确的物理依据，精确性高，可同时获得系统的动态与热力学统计资料试验数据。故本文采用是Ｌｅｎａｒｄ－ｊｏｎｅｓ（ＬＪ）势函数［６】，其数学表达式为

附）－４ｅ［㈠１２一㈠６］

式中

（１）

ｒ——原子对间的距离

＊国家自然科学基金资助项目（５０４７５０６９）和国家科技重大专项（２００９ＺＸ０４０１４—０２３—０２）作者简介：李冠楠，硕士生．主要从事精密机械工程研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｕａｎｎａｎｌｉＳ７１３＠ｇｍａｉｌ．∞ｍ通讯作者：苗恩铭，副教授，主要从事精密机械工程研究，Ｅ．ｍａｒｌ：ｍｉａｏｅｍ＠１６３．ｃｏｉｎ

第１２期李冠楠等：纳米铜晶胞体积弹性模量变化规律的分子动力学模拟

２２９

ｅ、盯——势能参数

２９３Ｋ，然后每次模拟升高１０Ｋ．当目标温度达到先由系统中各原子的位置计算势能，再由

３７３

Ｋ时，每次升高１００Ｋ，直到９７３Ｋ。分子动力学

Ｒ—Ｖｔｕ一（ｚ毒＋Ｊ云＋志毒）ｕ（２）

计算时间步长取０．０１ｐｓ，每一次都要进行足够充分的弛豫时间１ｎｓ。最后得到单晶铜体积弹性模量在计算系统中各原子所受的力，由

真空下随温度变化曲线，如图２所示。

口ｉ

２ｉ

（３）

正

。裔

计算系统中各原子所受的加速度。然后由

翻

辎

ｆ口ｆ＝口？＋ａｉｒ

越被

１铲ｒ？＋铆缸＋号呼ｚ

‘４）

Ｚｕｕ

４００

６ｕｕ

甚‘，ｕ

ｌｕ‘，Ｕ

温度Ｔ／Ｋ

得到经过后各分子的位置和速度，不断重复以上步

图２真空下弹性模量随温度变化曲线

骤得到轨迹。

Ｆｉｇ．２

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆ

ｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｏｆ

在计算中，本文采用Ｖｅｌｅｒｔ［７１所发展的数值解ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇｉｎｖａｃｕｕｍ

法即跳蛙算法，此方法计算速度与位置的数学表达２．２常压状态

式为

模拟过程同样为先对理想初始构型进行自由弛让（ｔ＋号＆）＝口“ｔ一号＆）＋口；（ｔ）＆

豫，达到能量最低的温度构型，得到自由态的单晶

（５）铜。然后在常压下逐渐升高温度。初始温度２９３

Ｋ，

＿（￡＋＆）＝ｒｆ（￡）＋耽（￡＋丢＆）＆

（６）

然后每次模拟升高１０Ｋ，动力学计算时间步长

０．０１

ｐｓ，弛豫时间１ｎｓ。当目标温度达到４７３Ｋ后。计算时，设已知掣；ｔ－－丢＆）

ｒｉ（￡），则有≠时刻的

每次升高５０Ｋ，动力学计算步长０．０１ｐｓ，弛豫时间

位置以（￡）计算质点所受的力与加速度口；（ｔ），再依

２

１１８，直到达到目标温度９７３Ｋ。最后得到单晶铜体

式（６）预测时间为￡＋虿１＆时速度￡；（￡＋号＆），依

积弹性模量在常压下随温度变化曲线，如图３所示。

此类推。利用跳蛙算法仅需储存ｑ（￡一号＆）与心

两种资料，可节省存储空间。计算的铜晶胞模型为誊

面心立方的铜晶胞，如图１所示，晶格常数为口＝

萋

０．３６１

ｎｍ，Ｘ、Ｙ、Ｚ的坐标轴分别对应面心立方晶

体的［１０

０］、［０

１

０］、［０

０

１］晶向，共１４个原子，采

温厦Ｔ／Ｋ

用周期性边界条件。

图３常压下弹性模量随温度变化曲线

Ｆｉｇ．３

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆ

ｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇｉｎ

ｒｏｏｍ

ｐｒｅｓｓｕｒｅ

由图２～３大致可以看出在真空和常压下单晶铜的体积弹性模量随温度的升高而减小，大致呈线性下降。对应真空下的拟合直线斜率为一１．０５６×１０～，而对应常压下的拟合直线斜率为一１．０６７×１０～，相差并不太大，后续的试验将对拟合的斜率

图１铜晶胞模型

作进一步分析。

Ｆｉｇ．１

ＭｏｄｅｌｏｆｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕ

３常温下随压强变化的动力学模拟

２随温度变化的模拟

模拟过程先对理想的初始构型进行自由弛豫，２．１真空状态

设定目标温度为２９８Ｋ，达到能量最低的温度构型。模拟过程为先对理想的初始构型进行自由弛得到自由态的单晶铜。然后在常温下逐渐增加体系豫，达到能量最低的温度构型，得到自由态的纳米单的压强。初始压强为０ＧＰａ，即为真空下，第１步模晶铜，然后在真空条件下，逐渐升高温度。起始温度

拟目标压强为０．００１

ＧＰａ，第２步模拟目标压强为

２３０

农业机械学报

２００

９芷

０．０１

ＧＰａ，第３步的模拟目标压强为０．１ＧＰａ，第４

步的模拟目标压强为１ＧＰａ，第５步的模拟目标压强为１０ＧＰａ。以后每步增加５ＧＰａ。直到１００

ＧＰａ。

初始５步的动力学计算时间为０．０１ｐｓ，弛豫时间为１

ａｓ，以后每步的动力学时间为０．０１ｐｓ，弛豫时间为２Ｄ－￥。最后得到单晶铜体积弹性模量在常温下随压强变化的数值结果，如图４所示。

蛊

害

咖娜趟最

ＵｌＵＺ０）Ｕ

４０

５０００７０８０

９０

１００

压强Ｐ／ＧＰａ

图４常温下弹性模量随压强的变化曲线

Ｆｉｇ．４

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｖｏｌｕｍｅ—ｅｌａｓｔｉｃ

ｍｏｄｄ∞ｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈｐｒｅｓｓｔｌ：ｒｅ

ｃｈａｎｇｉｎｇｉｎｒｏｏｍｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ

由图所示，随着压强的增大，单晶铜的体积弹性模量显著增大，但是在７５ＧＰａ时发生跳变。开始随压强增大而减小。体积弹性模量增大时变化趋势呈线性，而越过临界点后，体积弹性模量快速下降。这种现象在以往体积弹性模量研究文献中都没有讨论，经分析，在以往的研究中由于大都采用了对体积弹性模量随压强变化数学模型的简化形式，造成了一定误差的存在，而这种误差影响在高压下可能会为了明确这一现象，并验证所发现的临界点是否真的存在，进行了后续的试验，在不同压强下模拟单晶铜体积弹性模量随温度的变化情况。

选取不同的压强环境，体系压强数值分别为１、１０、５０、７４、７５、７６和８０ＧＰａ。模拟过程同样为先对ＧＰａ下升Ｋ，初始温度设定为２７３Ｋ。分子动力ｐｓ，弛豫时间１ｎ８。最后观察由图５～１１可以发现，在７５ＧＰａ前单晶铜的体Ｋ范围内弹性模量集中在１０２～１０３ＧＰａ之间，图６中弹性ＧＰａ之间，如图７中弹性模量ＧＰａ之间。图８中弹性模量集中在

ＧＰａ之间，图９中弹性模量集中在３０６～

芒

童

蓁

氍

温度Ｔ／Ｋ

图５

１

ＧＰａ下弹性模具随温度的变化曲线

Ｆｉｇ．５

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｌｕｓ

ｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇｉｎｌＧＰａ

皇

量

蓁

最

温度Ｔ／Ｋ

图６

１０

ＧＰａ下弹性模量随温度的变化曲线

Ｆｉｇ．６

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆ

ｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃ

ｍｏｄｕｌｕｓ

ｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇ

ｉｎ１０ＧＰａ

叠童

篓

赦

温度Ｔ／Ｋ

图７

５０

ＧＰａ下弹性模量随温度的变化曲线

Ｆｉｇ．７

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆ

ｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃ

ｍｏｄｕｌｕｓｏｆｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕ

ｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ

ｃｈａｎｇｉｎｇ

ｉｎ

５０ＧＰａ

孟■塞

辎赳戢

湿厦Ｔ／Ｋ

图８

７４

ＧＰａ下弹性模量随温度的变化曲线

Ｆｉｇ．８

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆ

ｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃ

ｍｏｄｕｌｕｓ

ｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌ

ｏｆＣｕｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇｉｎ７４ＧＰａ

ＧＰａ之间等。而在同一压强下，体积弹性模量

ＧＰａ开始，体积ＧＰａ环境下的弹性模迅速增大。

４不同压强下随温度变化的动力学模拟

理想的初始构型进行自由弛豫，达到能量最低的温度构型，得到自由态的单晶铜。然后在１高温度，由于只需要验证体积弹性模量的变化趋势，每步升高１００学计算时间步长０．０１试验所的数据结果，如图５～１１所示。

积弹性模量随压强增大而增大，且弹性模量值分别集中在不同的区间范围内，如图５中，在５２７模量集中在１３２～１３３集中在２４３－－２４５３０３～３０５

３０７

都随温度升高呈减小趋势。但从７６弹性模量在同一压强下开始随温度上升而增加，如图１０显示的变化趋势，此时体积弹性模量随压强增大而减小（图４）。图１１为８０量随温度变化规律，其随温度上升而增加更加明显．呈线性增加状态，图１１对采集的数据点进行拟合所得直线与实测数据吻合较好。同时为了寻找拟合曲

第１２期

李冠楠等：纳米铜晶胞体积弹性模量变化规律的分子动力学模拟

２３１

芒■錾

端掣最

温度Ｔ／Ｋ

图９

７５

ＧＰａ下弹性模量随温度的变化曲线

Ｆｉｇ．９

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｈｌｓｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇｉｎ７５ＧＰａ

叠

量

篓

最

温度Ｔ／Ｋ

图１０

７６

ＧＰａ下弹性模量随温度的变化曲线

Ｆｉｇ．１０

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃ

ｍｏｄｕｌｕｓｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｉｎｇｉｎ７６ＧＰａ

罡

量

萋

融

温厦Ｔ／Ｋ

图１ｌ

８０

ＧＰａ下弹性模量随温度的变化曲线

Ｆｉｇ．１１

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃ

ｍｏｄｕｌｕｓｏｆ

ｃｒｙｓｔａｌｏｆＣｕｗｉｔｈ

ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇｉｎ８０ＧＰａ

ＧＰａ下的体积弹性模量随温度变化的趋

势，对其趋势进行拟合获得了一系列的拟合直线，各对表１数据进行综合处理可获得斜率的变化规由图中可知，在７５ＧＰａ前，拟合直线的斜率大ＧＰａ后，考虑到晶体Ｃｕ相互作用势遵从Ｍｏｒｓｅ势，即一个原子的平均相互作用势能为【８】

声（ｒ）＝Ｄｅｘｐ（Ｄ／２）∑［ｅｘｐ（一２ａ（ａｉｒ—

ｊ

ｒｏ））一２ｅｘｐ（一口（口，一ｒｏ））］（７）

式中包含指数函数，故进而将本文所模拟体积弹性模量随压强变化规律改以随压强对数关系变化规律

进行描述，如图１３所示，在接近１０．５ＧＰａ前变化规

表１拟合直线斜率随压强的变化趋势

Ｔａｂ．１

Ｖａｒｉａｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ

ｏｆｓｌｏｐｅ

ｏｆ

ｆｉｔｔｉｎｇ佃ｒｖ憾

ｗｉｔｈ

ｐｒｅｓｓｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇ

压强ｐ／ＧＰａ

拟合直线斜率

压强ｐ／ＧＰａ

拟合直线斜率

１

—１．１４３×１０－３７０—０．７４３×１０—３１０—Ｏ．７１４×１０—３７４—１．０００×１０—３２０—Ｏ．９１４×１０—３７５—０．９１４×１０—３３０—１．０００×１０—３７６３．５１１×１０—３４０—０．９１４×１０－３

８０３．６２９×１０—３５０—０．７４３×１０—３

８５２．０００×１０—３６０

—１．０３９×１０—３

９０

１．３７１×１０—３

表２弹性模量数值范围随压强的变化趋势

Ｔａｂ．２

Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｒａｎｇｅｏｆｍｏｄｕｌｕｓｗｉｔｈ

ｐｒｅｓｓｕｒｅｃｈａｎｇｉｎｇ

压强

Ｏｄ弹性模量压强Ｏｄ弹性模量ｐ／ＧＰａ

数值范围／ＧＰａ

ｐ／ＧＰａ

数值范围／ＧＰａ

１１０２．６—１０２．０７０２９４．３～２９３．９１０１３２．６～１３２．３７４３０４．１～３０３．６２０．１６２．７～１６２．２

７５３０６．５～３０６．０

３０１９１．１～１９０．６７６２８４．３～３０２．５４０２１８．３～２１７．８８０２０５．３～２０７．１５０２４４．３——２４３．９８５１６４．５～１６５．５６０

２６９．６～２６９．１

９０

１３７．７～１３８．４

褂孺

螂删

司Ⅱ

套

图１２各压强下弹性模量随温度变化拟合直线斜率

Ｆｉｇ．１２

Ｓｌｏｐｅｏｆｆｉｔｔｉｎｇ

ｃｕｒｖｅ

ｆｏｒｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｍｏｄｕｌｕｓｗｉｔｈ

ｐｒｅｓｓｕｒｅ

ｃｈａｎｇｉｎｇ

瑚姗

芒

塞

瑚删

辎瑚

趟被

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如

压强Ｐ／Ｐａ

图１３体积弹性模量随压强变化的趋势对数关系

Ｆｉｇ．１３

Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆ

ｖｏｌｕｍｅ－ｅｌａｓｔｉｃｍｏｄｕｈｌｓ

ｗｉｔｈ

ｐｒｅｓｓｕｒｅ

ｃｈａｎｇｉｎｇ

线的规律，又增加试验分别模拟了２０、３０、４０、６０、

７０、８５、９０

直线斜率如表１所示，其所属数值范围如表２所示。

律，如图１２所示。

致不变，约为一０．９×１０．３上下变动。而７５拟合直线的斜率迅速减小。

２３２

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２００

９拉

律与以前研究人员用统计物理计算得出的简化弹性模量随压强对数变化规律数学模型相同，但大于此值后，出现的模拟结果与传统结论认为弹性模量仍然以极快的速度无限变大相反，在经过一个最大值后出现了迅速下降现象。

一定时，单晶铜的体积弹性模量随温度升高而减小，减小趋势也大致呈线性，拟合直线的斜率约等于一０．９×１０＿３；而在这个临界点后，温度一定时，单晶铜的体积弹性模量压强增大而迅速减小，趋势不再为线性，而压强一定时，单晶铜的体积弹性模量随温度升高而增大，增大趋势仍然呈线性，但拟合直线的斜率变化显著。综合压强与温度的作用，发现压强改变对于单晶铜的体积弹性模量影响更为显著，而不同温度带来的弹性模量改变范围仅为１～

２ＧＰａ。

５结束语

通过使用分子动力学试验，发现了对体积弹性模量变化规律起重要影响的压强临界点７５

ＧＰａ。

在这个临界点之前，温度一定时，单晶铜的体积弹性模量随压强增大而增大。增大趋势近似为线性，压强

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纳米铜晶胞体积弹性模量变化规律的分子动力学模拟

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

李冠楠， 苗恩铭， 费业泰， Li Guannan， Miao Enming， Fei Yetai合肥工业大学仪器科学与光电工程学院,合肥,230009

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