一道圆锥曲线问题的多角度思考
一道圆锥曲线问题的多角度思考
江苏省姜堰中学 张圣官 （225500）
x 2y 2
题： 如图，在直角坐标系xoy 中，椭圆2+2=1(a >b >
0)
a b
过点ABCD 的对角线
1
4
AC 、BD 相交于P (1,) ，且AP =2PC , BP =2PD 。（1）求椭圆
方程；（2）求直线AB 的斜率。
分析：本题从叙述到图形都非常简洁、优美。这是2014届南通市高三一模考试第19
x 2
+y 2=1基本都正确。第（2）问参考答案是题，本题总分共16分，第（1）问椭圆方程43-x 13-4y 1x 12
, ) ，代入椭圆方程+y 12=1，由AP =2PC 得C (这样的：设A (x 1, y 1) 则
2841x 12319
+y 12(x 1+y 1) =0，即x 1+y 1=-。设B(x 2, y 2) 同理可得整理得，
842161y -y
x 2+y 2=-。从而k AB =21=-1。看似简单，但得分情况不好。不少同学仅得了第
8x 2-x 1
（1）问的分，第（2）问或者设出AB 方程转化为一元二次方程半途而废或者畏难不做，也
确实有少部分同学用以上设点法，也有同学通过其他方法完整解决但不多。问题究竟出在哪儿呢？其实本题椭圆上四个点A 、B 、C 、D 是定下来的，按理讲是可以很好解决的。
所谓“算理”，即合理地进行运算。对于解析几何中不少令人兴奋不已的运算技巧，应当通过典型问题的分析，让学生理解这些技巧的运算机理，理解它的每一步骤的几何意义与代数意义，要了解它成功应当具备的条件，也要了解它的局限性。理解运算技巧的本质，有利于从机理上发现相似，拓宽技巧的应用范围与深度，产生联想迁移的效果。因此，在进行试卷讲评时，我设法引导学生对该题进行多角度的思考。
生1：由AP =2PC , BP =2PD 易知AB //DC ，设AB :y =kx +m 代入椭圆方程整理
8km ⎧
x +x =-12⎪⎪1+4k 2222
得(1+4k ) x +8kmx +4(m -1) =0，由韦达定理得⎨。同样的设2
⎪x x =4(m -1) 12⎪1+4k 2⎩8kn ⎧
x +x =-34⎪⎪1+4k 2
DC:y =kx +n 代入一样有⎨。我知道还有点P
的条件要用，可是不敢2
⎪x x =4(n -1) ⎪341+4k 2⎩
再做下去了，总感到运算太繁了，没把握。
师：大家帮助看看，怎样化繁为简，减少运算量。
生2：根据图形，三角形APD 与三角形CPD 相似，由平几知识可得AB 中点M 、DC 中点N 与P 三点共线。根据刚才的结果M (程，将P 点坐标代入可得k AB =-1。
师：解析法的本质是用代数法研究几何问题，但解题时一定要注意对几何性质的挖掘。第一位同学已经得到了AB //DC 了，还要再挖掘得充分些。
生3：其实可以直接得MN 方程，由以上坐标知M 、N 都适合y =-
-4km m -4kn n
, ), N(, ) 求出MN 方2222
1+4k 1+4k 1+4k 1+4k
1
x ，这也即为直4k
线MN 的方程，而且由此可知直线MN 还一定经过坐标原点O 。 师：很好！在运算过程中我们要及时探究解题的合理途径。 生4：在考试时我一下想到的是“点差法”，本来还差一点的，这样思路终于打通了。设
⎧x 122
+y 1=1⎪(x +x 2)(x 1-x 2) ⎪4
+(y1+y 2)(y1-y 2) =0，，所以1A (x 1, y 1) 、B(x 2, y 2) ，则⎨2
4⎪x 2+y 2=1
2
⎪⎩4
x 0x 0'''+ky 0=0。设AB 中点M (x 0, y 0) ，即类似地，设DC 中点N (x 0, y 0) ，即+ky 0'=0。44
这样MN 方程就是
x
+ky =0，结合M 、N 、P 三点共线（其实还与O 共线）可得k =-1。 4
师：不要忘了解决椭圆弦中点问题时可尝试“点差法”的。这样连韦达定理也不需要了。这说明抓住问题本质，发现运算机理，解题会进一步优化的。
师：我们现在抱着欣赏的眼光来看看参考答案中的解法，确实简洁明快，好像神来之笔只是太不容易想到。我们班还真的有同学这样解的，请你谈谈当时的心路历程吧。 生5：我是从条件AP =2PC , BP =2PD 联想的。以前做过这道题：“直线l 与两直线
l 1:4x +y +3=0和l 2:3x -5y -5=0分别交于A 、B 两点，若P(-1,2)在线段AB 上并且满
足AP =2PB ，试求直线l 的方程”。刚开始我是通过设AB 方程为y -2=k (x +1) ，与两条已知直线方程分别联立求A 、B 的坐标，然后再代入AP =2PB 求k 的值。运算很烦，不忍做下去，后来发现用设点法，设A (x 1, y 1), B (-
x 1+36-y 1
, ) ，只要将它们代入两条已知22
直线方程很容易求出结果。这次一看到这个题目就促使我尝试用设点法看看。
师：吃一堑长一智。这也说明适当的加强训练可以熟能生巧的。一分耕耘一分收获嘛。 【巩固练习】
x 2y 2
1. （2015泰州高二期末联考高二理）如图所示，椭圆2+2=1(a >b >0) 的左顶点和上
a b
顶点分别为A , B ，D 为椭圆上一点，且2
OD //AB ．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵D ' 与D 关于x 轴对称，P 为线段OD ' 延长线上一点，直线PA 交椭圆于另外一点E ，直线PB 交椭圆于另外一点F ，①求直线PA 与PB 的斜率之积；②直线AB 与EF 是否平行？说明理由．
2. （2015泰州高二期末联考高二文）如图所示，椭圆
x 2y 2
椭圆过点且+2=1(a >b
>0) 的右焦点为F ，2
a b
⑴求椭圆的标准方程；
⑵A 为椭圆上异于椭圆左右顶点的任一点，B 与A 关于原点O 对称，直线AF 交椭圆于另外一点C , 直线BF 交椭圆于另外一点D ，①求直线DA 与DB 的斜率之积；②直线AD 与BC 的交点M 是否在一条定直线上？说明理由． 3. 直线l 1:ax +by +c =0(a , b 不同时为0）交抛物线
y 2=2px (p >0) 于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，直线AF 、BF 分别交抛物线于C 、D
两点，求直线CD
的方程。 【参考答案】
x 2
+y 2=1． 1．⑴椭圆的标准方程为4
1⑵①A (-2,0), B (0,1),D -，直线OD ' ：y =-x ，设P (x 0, y 0) ，则
22
1
y 0(y 0-1) x 0(x 0+2) 11y 0y 0-1
==． ，且y 0=-x 0，∴k PA ⋅k PB =k PA =, k PB =
2x (x +2) x (x +2) 4x 0+2x 00000
②设E (x 1, y 1), F (x 2, y 2) ，直线PA ：y =k 1(x +2) ，代入椭圆方程x +4y =4，解得
2
2-8k 124k 18k 21-4k 2E (2, ) 。同理设直线PB ：y =k 2x +1， F (-2, 2) 。 4k 1+14k 12+14k 2+14k 2+1
22
118k 14k 12-1由k 1k 2=，所以F (-2, 2) 。∴直线EF 的斜率为，所以直线AB //EF ．
424k 1+14k 1+1
x 2y 2
+=1。 2．⑴椭圆的标准方程为84
⑵①设A (x 1, y 1), D (x 2, y 2) ，则B (-x 1, -y 1) ，k DA ⋅k DB
2
y 2-y 1y 2+y 1y 2-y 121
=⋅=2=-
x 2-x 1x 2+x 1x 2-
x 122
②∵k DB =k BF =
y 1x +2x +2
，∴k DA =-1∴直线AD 的方程为y -y 1=-1 (x -x 1) ，x 1+22y 12y 1
x 1-2
(x +x 1) 。 2y 1
同理，直线BC 的方程为y +y 1=-∴2y 1=-
x 1-2x +2
(x +x 1) +1(x -x 1) ，即2x 12+4y 12=4x ，∴M 在定直线x =4上。 2y 12y 1
3．要得简解，我们进行深入观察、分析、比较、联想，可以发现C 、D 两点具有某种一致
性，可以设法找出C 、D 两点都满足的一次方程。设C 、D 的坐标分别为(x1,y 1) 、(x2,y 2) ，由
y A p 3p 2p 2p 3
抛物线性质知y 1y A =-p ，∴y A =-，∴A (2, -) 。∵A 在, x A ==2
y 1y 12p 2y 12y 1
2
2
ap 3bp 2
直线l 1:ax +by +c =0上，∴-+c =0⇒ap 3-2bp 2y 1+2cy 12=0， 将2
y 12y 1
y 1=2px 1代入得4pcx 1-2by 1p 2+ap 3=0，即4cx 1-2bpy 1+ap 2=0，所以C 点在直
线4cx -2bpy +ap 2=0上。同理D 点也在直线4cx -2bpy +ap 2=0上。而经过C 、D 两点的直线有且只有一条，故直线CD 的方程即为4cx -2bpy +ap 2=0。
2