对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及应用 一、对勾函数y =ax +b (a >0, b >0) 的图像与性质: x
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞)
2. 值域:(-∞, -2ab ]⋃[2ab , +∞)
3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状,
且函数图像关于原点呈中心对称,即f (x ) +f (-x ) =0
4. 图像在一、三象限, 当x >0时,y =ax +且仅当x b ≥2ab (当
x ,即f (x ) 在x=b 时,取最小值2ab a
由奇函数性质知:当x
5. 单调性:增区间为(b , +∞),(-∞, -b ), 减区间是(0,b ),(-b ,0) a a a a
二、对勾函数的变形形式
b 类型一:函数y =ax +(a
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞)
2. 值域:(-∞, -2ab ]⋃[2ab , +∞)
3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4. 图像在二、四象限, 当x
最小值2ab ;当x >0时,f (x ) 在x=-b 时,取最大值-2ab a
5. 单调性:增区间为(0,b ),(-b ,0)减区间是(b , +∞),(-∞, -b ), a a a a
b 类型二:斜勾函数y =ax +(ab
①a >0, b
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞) 2.值域:R
3. 奇偶性:奇函数4. 图像在二、四象限,无最大值也无最小值.
5. 单调性:增区间为(-∞,0),(0,+∞).
②a 0作图如下:
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞) 2.值域:R
3. 奇偶性:奇函数 4. 图像在二、四象限,无最大值也无最小值.
5. 单调性:减区间为(-∞,0),(0,+∞).
2ax +bx +c 类型三:函数f (x ) =(ac >0) 。 x
c 此类函数可变形为f (x ) =ax +c +b ,可由对勾函数y =ax +上下平移得到 x x
x 2+x +1练习1. 函数f (x ) =的对称中心为 x
类型四:函数f (x ) =x +a (a >0, k ≠0) x +k
此类函数可变形为f (x ) =(x +k +
练习 1.作函数f (x ) =x +
2.求函数f (x ) =x +a a ) -k ,则f (x ) 可由对勾函数y =x +左右平移,上下平移得到 x +k x 1与f (x ) =x +3+x 的草图 x -2x +21在(2, +∞) 上的最低点坐标 2x -4
x 3. 求函数f (x ) =x +的单调区间及对称中心 x -1
ax a a 类型五:函数f (x ) =2此类函数定义域为R ,且可变形为f (x ) = (a ≠0, b >0) 。=2x +b b x +b x +x x
a. 若a >0,图像如下:
1.定义域:(-∞, +∞) 2. 值域:[-a ⋅1
2, a ⋅1
2]
3. 奇偶性:奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当x >0时,
f (x ) 在x =时,取最大值a ,当x
, ]
f (x ) =x
x 2+1的在区间[2, +∞)上的值域为 练习1. 函数
b. 若a
1.定义域:(-∞, +∞) 2. 值域:[-a ⋅1
23. 奇偶性:奇函数. 4. 图像在一、三象限.
当x >0时,f (x ) 在x =时,取最小值-a ,
2a 当x
5. 单调性:增区间为(, +∞),(-∞, -b );减区间是[-, ]
练习1. 如a +1=-
2a (x +m ) 2+s (x +m ) +t t ax +bx +c =a (x +m ) ++s (at >0) , (a ≠0) . 可变形为f (x ) =类型六:函数f (x ) =x +m x +m x +m 2x x ∈(-1,2),则的取值范围是x 2+4
则f (x ) 可由对勾函数y =ax +t 左右平移,上下平移得到 x
1x 2+x +1练习1. 函数f (x ) =由对勾函数y =x +向、“右”)平移单位,向 x x +1
(填“上”、“下”)平移 单位.
2x +7x +102. 已知x >-1 ,求函数f (x ) =的最小值; x +1
x 2+9x -93. 已知x
类型七:函数f (x ) =x +m (a ≠0) 2ax +bx +c
x -1在区间(1, +∞) 上的最大值;若区间改为[4, +∞) 则f (x ) 的最大值为 2x +x +2
2x 2. 求函数f (x ) =2+2x +3在区间[0, +∞) 上的最大值 x +x +2
x +a +b -a b -a 类型八:函数f (x ) =x +b . 此类函数可变形为标准形式:f (x ) ==x +a +(b -a >0)
x +a x +a x +a 练习1. 求函数f (x ) =
练习1. 求函数f (x ) =x +3的最小值;
x -1
2.求函数f (x ) =x +5的值域;
x +1
3. 求函数f (x ) =x +2的值域 x +3
类型九:函数f (x ) =x 2+b
x +a 2此类函数可变形为标准形式:f (x ) =(a >0) 。(x 2+a ) 2+b -a x +a 2=x 2+a +b -a x +a 2(b -a >o )
2练习 1.求函数f (x ) =x +5的最小值; x 2+4
2x 2. 求函数f (x ) =2+1的值域 x +17